GOS / dismat_8_surak

Френе үшжақтығының жазықтықтарына қисықтың проекциялары.

натурал параметризацияланған қисықтың теңдеуін үшінші туындысына дейін Тейлор қатарына жіктейік

_{Векторлық функцияның туындыларының Френе үштігі арқылы жазылуын қолданып}

деп алып,

екенін ескеріп, Тейлор қатарында - векторларының бойындағы коэффициенттерін бөлектеп, жазатын болсақ

- Френе реперін үш өлшемді кеңістігіміздің базисі ретінде алайық. Ол үшін базисін нүктесіне көшіру және айналдыру жасасаймыз, сонда болады. Онда боладыда, Тейлор қатарымыз келесі түрде жазылады

_{Енді -ті координаталық түрде жазайық}

,бұл векторлық функцияның годографын деп белгілейік

Әр функцияның тек бірінші қосындысын ғана алып қарастырсақ,

- бұл қисығы жеткілікті дәлдікпен берілген қисықпен беттеседі кезде.

Осы екі қисықтың жанасушы, нормаль және түзетуші жазықтықтарына проекцияларын қарастырайық.

1. векторларымен құралатын жанасушы жазықтығына проекцияласақ

теңдеуі шығады. Айқындалған функция түрінде жазатын болсақ

параболасы шығады. Әрқашанда болғандықтан, параболаның бұтақтары төбеге қарап тұрады.

2) векторларымен құралатын нормаль жазықтығына проекцияласақ

теңдеуі шығады. Біріншісінен -ті өрнектеп алып, екіншіге қоямыз

жартылай кубтық парабола деп аталатын қисық шығады.

3) векторларымен құралатын түзетуші жазықтығына проекцияласақ

теңдеуі шығады. Айқындалған функция түрінде жазатын болсақ z

кубтық парабола шығады.

Бұл зерттеулер қисықтың нүктесінің бір аймағында өзінің Френе үшжақтығының жазықтықтарына проекциялары әрқашанда парабола, кубтық парабола немесе жартылай кубтық парабола болатынын көрсетеді.