1. Векторлар жүйесінің рангы. Матрицалардың рангы туралы теоремалар.

---------------------------------------------------------------------------------------

Егер векторлар жүйесінің әрбір векторы

векторлар жүйесі арқылы, ал жүйесінің әрбір векторывекторлар жүйесі арқылы сызықтық өрнектелетін болса, онда осы екі жүйеэквивалент жүйелер деп аталады.

Келесі екі шартты қанағаттандыратын векторлар жүйесініңішкі жүйесінбаза дейміз:

(1) сызықтық тәуелсіз,

(2) .

векторлар жүйесінің кез келген базасының қуатын арқылы белгілейміз де оныжүйесініңрангі деп атаймыз.

Егер жүйесінің қандайда бір сызықтық тәуелсізішкі жүйесінің қуаты жүйенің рангіне тең болса, онда сол ішкі жүйе база болады.

Тұжырым. Эквивалент жүйелердің рангілері бірдей болады.

Лемма 1. Сатылы матрицаның жолдар рангі бағандар рангіне тең және ол бастауыш элементтер санына тең болады.

Теорема 1. Кез келген матрицаның жолдар рангі бағандар рангіне тең болады.

Теорема 2. Матрицалардың көбейтіндісінің рангі көбейткіштердің рангілерінен аспайды. Матрицаны керіленетін матрицаға көбейткенде оның рангі өзгермейді.

Дәлелдеу. қандайда бір матрицалар болсын

теңсіздіктерін дәлелдеуіміз керек.

болсын. Онда матрицасыныңбағандарыматрицасының бағандары арқылы сызықтық өрнектеледі.матрицаларының бағандар жүйелері өздерінің базалары эквивалент болады.

Осыдан бағандарының кез келген базасы сызықтық тәуелсіз жәнебағандарының базасы арқылы сызықтық өрнектеледі. Ендеше,бағандарының базасындағывекторлар

саны бағандарының базасындағывекторлар санынан кіші немесе тең болады. Демек,

Енді кез келген, алкеріленетін матрица болсын. Ондатеңсіздігін біз жоғарыда дәлелдедік. Егертеңдігін пайдалансақ, ондатеңсіздігін шығарамыз. Демек,

Егер керіленетін матрица болса, онда

және Демек.

Теорема дәлелденді.

2. Характеристикалық көпмүше және сызықтық оператордың өзіндік мәндері мен векторлары

Анықтама. сызықтық кеңістік, алқандайда бір сызықтық түрлендіру болсын. Онда

1)

болатын табылады,

шарттарын қанағаттандыратын векторыоператорыныңөзіндік векторы деп, ал коэффициентіөзіндік векторына сәйкес келетіноператорыныңөзіндік мәні деп аталады.

Матрицаның характеристикалық көпмүшесі деп, өзіндік мәндерін анықтайтын көпмүшені айтамыз.

3. Түйіндес оператор. Сызықтық оператордың және оның түйіндесінің матрицалары арасындағы байланыс

Теорема 1. жәнеекеуі де унитар немесе екеуі де Евклид кеңістік болсын. Онда кез келгенсызықтық операторы үшін барлықвекторларынатеңдігі орындалатын жалғызсызықтық операторы табылады.

Дәлелдеу.

Ақырлы өлшемді сызықтық кеңістікті бейнелейтін сызықтық оператор базистік векторлардың бейнелерімен толық анықталады. Сондықтан, жәнекеңістіктерінің қандай да біржәнеортонормаланған базистерін белгілеп,, бейнелерін анықтайық.векторы өзініңбазисіндегікоординаталарымен бірден-бір анықталады.

Бұл жерде немесе оған пара-пар болатыншартының дербес жағдайларындағы

(1)

теңдіктерін пайдаланып, бейнесін

деп анықтаймыз.

Теореманың дәлелдеуін аяқтау үшін теңдігінің жалпы жағдайда да орындалуын көрсетуіміз керек.жәнекез келген векторлар, алжәнеолардың координаталық бағандары болсын. Онда

.

Теорема дәлелденді.

Ескерту 1. Теорема 1 – дің дәлелдеуінде біз операторлардың теңдігін көрсетуіне қолданылатын келесі жалпы тәсілді пайдаландық:

егер операторлары үшінтеңдігі барлықжәневекторлары үшін орындалса, онда жәнеоператорлары тең болады.

Анықтама. жәнеекеуі де бірдей унитар немесе Евклид кеңістігі, алқандай да бір сызықтық оператор болсын. Кез келген, векторларына теңдігі орындалатыноператоры- ныңтүйіндес операторы деп аталады.

Ескерту 2. Түйіндес оператордың анықтамасынан:

және екі формула шығады. Оларды: осы формулаларындағы операторды скаляр көбейтіндісінің бір аргументінен екіншісіне көшіріп апарса, ол не жұлдызшасын жоғалтады, не бір жұлдызша қосылады дегендей ереже ретінде қолдануға болады.

Мысал 1. . Шынында да, кез келген үшін . Ендеше, . Бұл теңдіктіңжәнеболғандағы дербес жағдайларыболады.

Мысал 2. Егер жазықтықтыбұрышына бұру операторы болса, ондатүйіндес операторы сол жазықтықтыңбұрышына бұру операторы болады, яғни. Шынында да,теңдігі жазықтықтағы кез келген екібағытталған кесінді үшін орындалады.

Мысал 3. Егер операторы кез келгенжәне бірвекторлары үшінережесімен анықталған болса, онда. Кез келгенбағытталған кесінділер үшін

Демек, .

Оператор мен оның түйіндес оператордың өзара қарапайым байланыстары

• мен векторларыменоператорларыныңөзіндік мәндеріне сәйкес келетін өзіндік векторлар болса, онда.

Шынында да, . Онда . Осыдан .

• ішкі кеңістігі операторының инвариант ішкі кеңістігі болса, онда оныңортогонал толықтауышыоператорының инвариант ішкі кеңістігі болады.

кез келген вектор болсын. болуывекторыныңішкеңістігінің кез келгенвекторына ортогональ болуына пара-пар. Ендеше,теңдігін көрсетуіміз керек. Түйіндес оператордың анықтамасы бойынша,, ал. Демек,.

Бұл байланыстар анықтамадан тікелей шығады.

Түйіндестіктің қасиеттері.

Теорема 1 бойынша, әр сызықтық операторға оның түйіндес операторын сәйкес қоятын ереже бейнелеу болады. Сол түйіндестік бейнелеуінің қасиеттерін қарастырайық. Тек алдын-ала операторлардың теңдігін көрсетуіне қолданылатын келесі жалпы тәсілді берейік:

Теорема 2. Кез келген жәнеоператорлары үшінтеңдігі барлықжәневекторлары үшін орындалған жағдайда және тек сол жағдайда ғанажәнеоператорлары тең болады.

Дәлелдеу. Теореманың жеткіліктік тұжырымы айқын, оның қажеттілігін көрсетейік.

Шынында да, теңдігінтүрінде жазып алып, өрнектейік:

. Енді векторы ретіндевекторын алсақ, одан кез келгенвекторына

орындалатын теңдігіне келеміз. Демек, кез келгенвекторы үшін, яғни . Теорема дәлелденді.

Кез келген сызықтық операторлары және қандай да біркомплекс саны үшін келесі теңдіктер мен тұжырымдар орындалады:

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) ,

(5) операторы ерекше емес болса, онда операторы да ерекше емес болады және.

Дәлелдеу.

1. Жоғарыдағы тәсіл бойынша, теңдігінің орнына қандай да бірвекторларын алып,теңдігін дәлелдеуіміз керек. Онда ескерту 2 –дегі ереже бойынша,. Бұдан бұлай операторын арқылы белгілейміз де, операторды өзінің орынынан қозғамай оның екі жұлдызшасын түсіріп тастауға, не оған екі жұлдызша тағуға болады дегендей ережені қолданамыз.

2. Кез келген үшінболғандықтанболады.

3. Кез келген үшін, ендеше, .

4. Дәлеледеуі жоқ. Ренжімендер!

5. Алдымен, сызықтық операторы ерекше емес болсын деп, операторы да ерекше емес болатынын дәлелдейік. Кез келген және векторлары үшін. операторы ерекше емес болғандықтан оның бейнесі кеңістігіне тең. Демек, кемінде бірүшінболады.

Осыдан

, ендеше, операторы ерекше емес болады.

Енді теңдігінің барлықүшін орындалатынын дәлелдейік.жәнеарқылыжәневекторларын белгілейік. Онда. Осыдан

, яғни .

Түйіндес оператордың матрицасы

Анықтама 3. қандай да бір комплекс матрица болсын. матрицасын аударып алып, оның әрбір элементін оған түйіндес болатынын санына ауыстырсақ, ондаарқылы белгіленетін матрицаны аламыз. Әлбетте,және.матрицасы матрицасының түйіндес матрицасы деп аталады.

нақты матрицасының түйіндесін табу үшін оны аудара салу керек, яғни .

Операторлардың түйіндестік амалына сәйкес болатын матрицалардың түйіндестік амалының:

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) ,

(5) егер матрицасы ерекше емес болса, онда матрицасы да ерекше емес болады және.

Сызықтық оператордың және оның түйіндесінің матрицалары арасындағы байланыс

Теорема 3. Ортонормаланған базистерде сызықтық оператор мен оның түйіндес операторының матрицалары өзара түйіндес болады.

Дәлелдеу. жәнеекеуі де унитар (екеуі де Евклид) кеңістіктері, алжәнеолардың ортонормаланған базистері болсын.жәнеарқылы осы екі оператордыңжәне,сәйкесінше,базистер жұптарындағы матрицаларын белгілейік.теңдігін дәлелдеуіміз керек.

элементі векторыныңортонормаланған базисіндегі– координатасы болғандықтан

формуласы бойынша есептеледі, ал . Онда барлық үшін болады. Демек, .

Салдар 1. жәнеоператорларының рангілері өзара тең.

Бұл салдар оператордың рангі оның матрицасының рангіне тең болатынын ескерсе, теоремадан бірден шығады.

Салдар 1. Кез келген операторы үшінжәнекеңістіктерін:

ортонональ қосындылар ретінде жіктеуге болады.

Дәлелдеу. өзегі жәнебейнесі өзара ортогональ болатынын көрсетейік. Ол үшін қандай да бір

алып және кем дегенде бірүшін болатынын ескере отырып,скаляр көбейтіндісін есептейміз:.

Әрине, . Ондатеңдігін дәлелдеу үшін оның екі жағындағы кеңістіктердің өлшемдіктері тең болатындығын көрсету жеткілікті. Сонымен,. .Демек,

. Енді бұл теңдікте кеңістігінкеңістігіне, алоператорыноператорына ауыстырып,

теңдігін аламыз.

Теорема 4. Унитар (Евклид) кеңістігінің қосалқы базистерінде сызықтық түрлендіру мен оған түйіндес түрлендірудің матрицалары өзара түйіндес болады.

Дәлелдеу.

векторлар жүйесі унитар немесе Евклид кеңістігінің қандай да бір базисі, алсол кеңістіктің ортоноралаған базисі болсын.жәнеарқылы сол базистердегісызықтық түрлендіруінің матрицаларын белгілейік. Ондабазисіненбазисінекөшу матрицасы үшінтеңдігі орындалады.матрицасының бағандарывекторларының ортонормаланғанбазисіндегі координаталық бағандары болатынын еске салайық.

Теорема 3 бойынша, матрицасы операторыныыңбазисіндегі матрицасы болады.

болғандықтан матрицасыоператорының бірбазисіндегі матрицасы болады. Солбазисінің ортонормаланғанбазисіндегі координаталық бағандарыматрицасының бағандары болады.

Енді тек жәнебазистерінің қосалқы болатынын көрсету керек. Ол үшінболғанда, ал

теңдіктерінің орындалуын көрсетуіміз керек. Бұл теңдіктердің бәрі бір матрицалық теңдігіне пара-пар. Оның себебіматрицасының жолдарывекторларының, алматрицасының бағандарывекторларының ортонормаланғанбазисіндегі координаталары болуынан.көбейтіндісін есептеп:

керекті теңдікті аламыз. Теорема дәлелденді.

Салдар 2. операторы қарапайым құрылысты болған жағдайда және тек сол жағдайда ғанаоператоры қарапайым құрылысты болады. Сонымен бірге, егероператоры қарапайым құрылысты болса, онда оның жәнеоператорының өзіндік векторларынан тұратын базистерін қосалқы болатындай құрастыра аламыз.

Салдар 3. сызықтық түрлендіруінің (жоғарғы) Жордан түріндегі матрицасыболса,түрлендіруінің (төменгі) Жордан түріндегі матрицасыболады. Сонымен,жәнеоператорларының өзіндік мәндері өзара түйіндес, ал канондық базистері бір-біріне қосалқы болады.