7.Кеңістіктегі түзулердің және жазықтықтардың өзара орналасуы

1. Екі жазықтықтың өзара орналасуы.

Π₁: А₁х+В₁у+C₁z+D₁=0. N₁={A₁,B₁,C₁}

Π₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0. N₂={A₂,B₂,C₂}

1. Π₁ Π₂ , ===

2. Π₁ Π₂, ==

3. Π₁ Π₂, , ,

2. Екі түзудің өзара орналасуы.

P₁: ==M₁=(x₁,y₁,z₁), a₁={e₁,m₁,n₁}

P₂: ==M₂=(x₂,y₂,z₂), a₁={e₂,m₂,n₂}

1. P₁ a₁a₂ колленеар және M₁P₂ немесе (M₂P₁) = =

және ==( ==)

2. P₁ a₁a₂ колленеар және M₁P₂ немесе (M₂P₁) = =

және ( )

3. P₁ мен P₂ айқас a₁a₂ және M₁M₂,a₁,a₂ – компланар емес және (M₁M₂,a₁,a₂)

4. P₁ a₁a₂ және M₁M₂,a₁,a₂ – компланар және (M₁M₂,a₁,a₂)

3. Түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы.

P: ==M₀=(x₀,y0,z₀), a={e₀,m₀,n₀}

Π: Ax+By+Cz+D=0 N={A,B,C}

1. PΠ (N,a)=0 және M₀ Π

Ae+Bm+Cn=0

Ax₀+By₀+Cz₀+D=0

2. PΠ Ae+Bm+Cn=0

Ax₀+By₀+Cz₀+D₀

3. PΠ (N,a)Ae+Bm+Cn

8. Кәдімгі нүктенің ақырсыз аз маңайындағы қисықтың құрылымы

Френе үшжақтығының жазықтықтарына қисықтың проекциялары.

натурал параметризацияланған қисықтың теңдеуін үшінші туындысына дейін Тейлор қатарына жіктейік

_{Векторлық функцияның туындыларының Френе үштігі арқылы жазылуын қолданып}

деп алып,

екенін ескеріп, Тейлор қатарында - векторларының бойындағы коэффициенттерін бөлектеп, жазатын болсақ

- Френе реперін үш өлшемді кеңістігіміздің базисі ретінде алайық. Ол үшінбазисіннүктесіне көшіру және айналдыру жасасаймыз, сондаболады. Ондаболадыда, Тейлор қатарымыз келесі түрде жазылады

_{Енді -ті координаталық түрде жазайық}

,бұл векторлық функцияның годографын деп белгілейік

Әр функцияның тек бірінші қосындысын ғана алып қарастырсақ,

- бұл қисығы жеткілікті дәлдікпен берілгенқисықпен беттеседікезде.

Осы екі қисықтың жанасушы, нормаль және түзетуші жазықтықтарына проекцияларын қарастырайық.

1. векторларымен құралатын жанасушы жазықтығына проекцияласақ

теңдеуі шығады. Айқындалған функция түрінде жазатын болсақ

параболасы шығады. Әрқашанда болғандықтан, параболаның бұтақтары төбеге қарап тұрады.

2)векторларымен құралатын нормаль жазықтығына проекцияласақ

теңдеуі шығады. Біріншісінен -ті өрнектеп алып, екіншіге қоямыз

жартылай кубтық парабола деп аталатын қисық шығады.

3) векторларымен құралатын түзетуші жазықтығына проекцияласақ

теңдеуі шығады. Айқындалған функция түрінде жазатын болсақ z

кубтық парабола шығады.

Бұл зерттеулер қисықтың нүктесінің бір аймағында өзінің Френе үшжақтығының жазықтықтарына проекциялары әрқашанда парабола, кубтық парабола немесе жартылай кубтық парабола болатынын көрсетеді.

9.Бинар қатынастар және оларға қолданылатын амалдар. Бинар қатынастардың қасиеттері. Бинар қатынастың матрицасы

Анықтама. Бос емес A_1, A_2,... A_n жиындары берiлсiн. Онда реттелген элементтер жиыны

A1 A2 ...An {< a_1, a₂,.. a_n > : a₁ A₁ , a₂ A₂ және a_n A_n }

жиыны A_1, A_2,… A_n жиындарының декарттық көбейтiндiсi деп аталады.

Олардың элементтерiн n-дiктер (эндiктер, ұзындғы n-ге тең кортеж) деп атаймыз.

Жалпы жағдайда кез келген I индекстік жиыны үшін бұл көбейтiндi

түрiнде жазылады. Мұндағы I жиыны ақырсыз жиын болуы да мүмкiн

Ал ⁿAA...A арқылы А жиынын өзiне өзiн n рет көбейткеннен пайда болған жиын белгіленеді. Ол жиын А жиынының декарттық n-шi дәрежесi деп аталады..

Арнайы бинарлық қатынастар.

Анықтама. Бос емес А жиыны берiлсiн. Мұндағы n – оң бүтiн сан, онда Aⁿ жиынының кез келген iшкi жиынын А жиынында анықталған n-орынды қатынас деп атаймыз. 1-орынды қатынастар унарлық, 2-орынды қатынастар бинарлық, 3-орынды қатынастар тернарлық қатынастар деп аталады.

R арқылы А жиынында анықталған бинарлық қатынасты белгiлейміз. Сонымен бірге, (a,b) парының R қатынасына тиістілігін (а,b)R, R(a,b)немесе aRb таңбалаулардың бірімен белгілейміз.

Қасиеттері:

1. Егер кез келген xэлементi үшiн (x,x)R болса, онда R қатынасы рефлексивтi қатынас деп аталады.

2. Егер кез келген x,yэлементтерi үшiн (x,y)шарты орындалса, ондаR қатынасы симметриялы деп аталады.

3. Егер кез келген x,y,z элементтерi үшiн (x,y)және (y,z)шарты орындалса, онда қатынасытранзитивтi деп аталады.

4. Кез келген x үшiн (x,x)R болса, онда қатынасы иррефлексивтi деп аталады.

5. Кез келген x,yүшiн (x,y)және (y,x)болғандығынанx=y теңдiгi орындалса, онда қатынасы антисимметриялы деп аталады.

Анықтамадан рефлексивті және иррефлексивті, симметриялы және антисимметриялы қатынастар біріне бірі толықтауыш жиындар болуы міндетті емес екенін көреміз.

Мысалдар

• Ешбір элементі жоқ қатынас, яғни бос қатынас иррефлексивті, симметриялы, антисимметриялы және транзитивті қатынас болады.

• Жиын элементтерiнiң теңдiгi және жазықтықтағы немесе кеңiстiктегi түзулердiң параллелдiк қатынастары рефлексивтi, симметриялы және транзитивті қатынастар болады.

• Үшбұрыштар арасындағы теңдiк немесе ұқсастық қатынастары рефлексивтi, симметриялы және транзитивтi қатынастар болады.

• Жиындар арасындағы ⊆ (iшкi жиын болу) қатынасы мен нақты сандар арасындағы (кiшi немесе тең) қатынастары рефлексивтi, антисимметриялы және транзитивтi қатынастарМысалдары. Ал (кiшi ) қатынасы иррефлексивтi, транзитивтi, бiрақ симметриялы да, антисимметриялы да емес қатынас болады.

Теорема(бөліктеу туралы) .А жиынында анықталған кез келген эквиваленттік қатынас үшін оның эквиваленттілік класстары А жиынының бөліктеуін анықтайды.Керісінше, жиынның әрбір бөліктеуі осы жиындағы өзіне сәйкес эквиваленттілік қатынасты анықтайды.

Дәлелдеуі: (⇒)‒A жиынында анықталған эквиваленттік қатынас болса, онда оның А жиынының бөліктеулерін анықтайтын жоғарыда келтірілген төрт қасиеттен тікелей шығады.

(): А жиыны мен оның бөліктеуін құратын ішкі жиындарының тізбегі А₁ А₂ ,... А_m,...

x, y Aүшін x y⇔ i∊I табылып, x, y A_i

шартымен анықтайық. Бұл қатынастың рефлексивті және симметриялы болатыны анықтамадан айқын көрініп тұр. Сондықтан оның транзитивтілігін көрсетсек жеткілікті.

Транзитивтілік. Қандайда да бір x, y, A элементтері үшін, анықтама бойынша x y және yz болсын. Онда i, j ∊ I нөмірлері табылып, x, y A_i және y, z A_i болады. Яғни, y∊A_i ∩A_j . Ал (1) бөліктеу болғандықтан , A_i =A_j немесе i=j. Яғни x, y, A_i . Онда x Теорема дәлелденді.

a_00, a₀₁, a_10, a₂₀, a₁₁, a₀₂, a₀₃, a₁₂, a₂₁, a₃₀ (1)

Егер ‒ А анықталған эквиваленттілік қатынас болса, онда А/ = эквиваленттілік кластар жиынын экв.қатынастар бойынша А жиынында анықталған фактор – жиын деп атайды.

Бинарлық қатынастарға келесі амалдар қолдануға болады. R – A жиынында анықталған бинарлық қатынас болсын. Онда

R^-1={(a,b): a,b ∊A, (b,a) ∊R}

R_{1 ,} R₂ – А жиынында анықталған бинарлық қатынастар болса, онда

R₁*R₂ = {(a,b):c∊A ⇒(a,c)∊R₁ R₂}

Осы амалдардан басқа бинарлық қатынастардың жиын болатынын ескеріп, олардың бірігуін, қиылысуын, айырмаларын , симметриялық айырмаларын және берілген қатынасқа А² жиынындағы толықтауышын қарастыруға болады.Оларды жиындарға қолданылатын амалдардың

белгілеулеріне сәйкес ∩,⋃, \ және ⊕ таңбаларымен белгілейміз.

Мысалы: ⊕ амалы төмендегідей анықталады.

А⊕В={(a,b): (a,b)}∊A\B немесе (a,b)∊B\A}

Бинарлық қатынастардың матрицасы

2 3 0 1 0 1

0 0 1 0

1 4 0 0 0 0

0 0 1 0

a_i,j =