72. Екінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін шекаралық есебін шешудің қуалау әдісі

Қарапайым екінші ретті дифференциялдық теңдеулерді шешудің сандық, қуалау әдісі

, (1)_

_{y(a)+y(a)=A, (2)}

_{y(b)+y’(b)=B,}

есебін қарастырайық. p(x), q(x) және f(x) функциялары [a,b] аралығында үзіліссіз болсын.Енді [a,b] аралығын h=(b-a)/n қадамымен бірдей n бөлікке бөлеміз: x_i=x₀+ih, x₀=a,x_n=b,i=0,1,…,n. [a,b] аралығының ішкі нүктелері x=x_i,i=1,2,…,n-1 үшін келесі белгілеулерін p(x_i)=p_i,q(x_i)=q_i,f(x_i)=f_i,y(x_i)=y_i енгізейік. Онда (1) теңдеуінің орнына келесі ақырлы айырымды теңдеулерін аламыз

++

Немесе

, i=1,2,…,n-1, (3)

мұндағы ,(4)

және нүктелеріндегі y функциясының туындысын бір жақты айырымдылық туындысымен аппроксимациялаймыз

, =.(**)

Ендеше (2) шекаралық шартын былайша жазуға болады

= A, .(5)

(3),(5) сызықты жүйесі белгісіздері дәрежеліn+1 теңдеулерден тұрады.

Енді (3) теңдеуінен белгісізін өрнектейік, яғни алатынымыз

(6)

Айталық, (3) және (5) толық жүйесінің көмегімен, (6) жүйесінен белгісізін (біртіндеп жойып) шығарып тастадық дейік. Онда осы (6) жүйесі келесі түрге келеді

, (7)

мұндағы және(i=1,…,n-1) кейбір коэффициенттер. Енді (7) формуласынан (i=i-1) табамыз. Осы өрнекті (3)-ке қойсақ, алатынымыз ұнан

(8)

Енді (7) мен (8)-ді салыстырып, рекуренттік формуласын аламыз

. Немесе бұдан шығатыны

=. (9)

Енді (9)-шы рекуренттік формуласымен есептеу үшінанықтайық. Ол үшін(5) шекаралық шартының біріншісін келесі түрде жазайық

Енді (7) формуласынан i=0 деп алып, алатынымыз

-ді салыстыра отырып алатынымыз

, . (10)

Ал (9) және (10) формулаларынан біртіндеп

табамыз. Осы коэффициенттерін табуды дейді.

Кері жол.Алдымен . Ол үшін (5)-ші шекаралық шартының екіншісін пайдаланып, (7) формуласындаi=n-1 десек, келесі екі теңдеуден тұратын жүйе аламыз

(11)

Енді (11)-ден

. (12)

(7) формуласында, яғни формуласындаi=n-1,n-2,…,1,0 десек, онда барлық мәндерін табамыз.

73. Жылуөткізгіштік теңдеуінің айқындалған, айқындалмаған схемалары және салмақтары бар схемалары. Аппроксимация реті және орнықтылығы. Жинақтылығы.

Бірінші шекаралық есеп төмендегіше қойылады:

Дәлірек айтқанда ,тіктөртбұрышында анықталған жәнеболғанда (2) бастапқы (3)шекаралық шарттарын қанағаттандыратын (1) теңдеуініңшешімін анықтау керек. Айырымдық әдістерді қолдпнудан бұрын (1)-(3) есебініңтіктөртбұрышында анықталған жалғыз шешімі бар деп есептеледі. Айырымдық әдістің бірінші сатысына сайтіктөртбұрышында

айырымдық торы енгізіледі.сонда нүктелерден тұратынтор облысын аламыз. Бұл облыс

Шекаралық және ішкі тораптардан тұрады.

Есептің (2) және (3) шарттарына сай шекаралық тораптарда (1)-(3) есебінің шешімдері берілген. Мұндағы мақсат ішкі тораптарға сәйкес келетін (2)-(3) есебінің жуық шешімін табу.

айырымдық торын енгізгеннен кейін, екінші сатыда тор облысыныңнүктелерінде анықталған екі вектор функция қарастырылады.

тор облысындағы белгісіз дәл шешімінің мәндері;

әзірге анықталмаған вектор функция. Соңғы вектор функция айырымдық әдістер арқылы анықталады.

Үшінші сатыда (2)-(3) есебі әрбір ішкі торапта айырымды шекаралық есебімен жуықталады. Бұл есепжағдайда қосымша орнықтылық шартын қанағаттандыруы тиіс. Содан кейін айырымдық есептіңшешімі анықталады. егерде жуықтау және орнықтылық шарттары орындалса, ондажәнепараметрлерінің осы шарттарға сай келетін кіші мәндерінде есептелгенвектор функция берілген (1)-(2) есебінің жуық шешімі деп қабылданады.

(1)-сурет (2)-сурет

(3)-сурет

1) Айқындалған схема (1)-суретте көрсетілген үлгі арқылы құрылады.

(3)

(k=0,1,…,N-1;n=-,1,...,M-1)

(5) Мұнда

Біріншіден ,(3)-(5)айырымдық есебі (1) теңдеуінің бойынша төртінші,албойынша екінші үзіліссіз дербес туындылары бар

шешімдер жиынында (1)-(3) есебін дәлдікпен жуықтайды.

Екіншіден егер жәнеқадамдарыКурант шартына сәйкес таңдап алынса (3)-(5) орнықты схема болады. Демек ,(3)-(5) шартты орнықты схема.

Үшіншіден ,(3)-(5) есебінің шешімі төмендегі айқын формула арқылы оңай есептеледі)

) (n=0,1…,M)

Сондықтан (3)-(5) айқындалған схема деп аталады.

2) айқындалмаған схема 2-суреттегі үлгі арқылы құрылады.

(6)

(7)

(8)

Бұл схема (1)-(3)есебін шешімдер жиынындадәлдікпен жуықтайды. Сондай-ақ ол абсалютты орнықты схема. Демекжәнеқадамдарын қалауымызша нөлге ұмтылдыруымызға болады.

Схеманың шешімі қуалау әдісі арқылы анықталады. бұл әдісті қолдану үшін (6)-(8) айырымдық есебі төмендегіше үшнүктелі айырымдық теңдеуге қойылған шекаралық есеп түрінде көшіріліп жазылады.

(9)

,

(10)

,

Содан кейін -нің әрбір мәндерінде(9)-(10) үшнүктелі айырымдық есебінің шешімін анықтау үшін қуалау әдісі қолданылады.ол әдіс қарастырылып отырған есеп үшін орнықты әдіс себебі .

(I)

Схемасын айнымалыларды бөлу әдісімен орнықтылығын ,біртекті шекаралық шарты орындалғанда зерттейік. Ол үшін теңдіктерін қолданып (I) схемасын біртекті шекаралық шартымен келесі түрде жазамыз

(1)

(1)орнықты ,егер оның шешімі үшін

(2)

Бағасы орындалса ,мұндағы қабаттағы кейбір нормалары, яғниторындағы нормалары. Айталық болсын.онда

бағасы (1) схемасының бастапқы мәні бойынша орнықтылығын көрсетеді.

Егер y(x,0)=0 болса,онда

(4)

Теңсіздігі (1) схемасының оң жағы бойынша орнықтылығын көрсетеді.

Анықтама 1. Айырымдылық схемасы шартты орнықты дейді,егер ол ментың арасында байланыс болғанда ғана орнықты болса,ал кері жағдайда шартсыз орнықты болады. Кез келгенменүшін орнықты болса,онда схема абсалютті орнықты дейді.