Geom / AnGeom_2_12
.pdf
Прямолинейные образующие гиперболического параболоида Вспомагательные леммы
Поверхности вращения
Приведение к каноническому виду
Теорема
Теорема о приведении уравнения поверхности II порядка к каноническому виду.
Пусть дана поверхность II порядка. Тогда существует декартова система координат, называемая канонической, в которой поверхность имеет одно из следующих уравнений:
1. |
x2 |
y2 |
||
|
+ |
|
||
a2 |
b2 |
|||
|
|
|||
2. |
x2 |
y2 |
||
|
+ |
|
||
a2 |
b2 |
|||
|
|
|||
3. |
x2 |
y2 |
||
|
+ |
|
||
a2 |
b2 |
|||
|
|
|||
4. |
x2 |
y2 |
||
|
+ |
|
||
a2 |
b2 |
|||
|
|
|||
5. |
x2 |
y2 |
||
|
− |
|
||
a2 |
b2 |
|||
z2
+ c2 = 1, эллипсоид.
z2
− c2 = 1, однополостный гиперболоид.
z2
− c2 = −1, двуполостный гиперболоид.
= 2z, эллиптический параболоид.
= 2z, гиперболический параболоид.
Аналитическая геометрия. Лекция 27
Прямолинейные образующие гиперболического параболоида Вспомагательные леммы
Поверхности вращения
Приведение к каноническому виду
Теорема
Теорема о приведении уравнения поверхности II порядка к каноническому виду.
Пусть дана поверхность II порядка. Тогда существует декартова система координат, называемая канонической, в которой поверхность имеет одно из следующих уравнений:
1. |
x2 |
y2 |
||
|
+ |
|
||
a2 |
b2 |
|||
|
|
|||
2. |
x2 |
y2 |
||
|
+ |
|
||
a2 |
b2 |
|||
|
|
|||
3. |
x2 |
y2 |
||
|
+ |
|
||
a2 |
b2 |
|||
|
|
|||
4. |
x2 |
y2 |
||
|
+ |
|
||
a2 |
b2 |
|||
|
|
|||
5. |
x2 |
y2 |
||
|
− |
|
||
a2 |
b2 |
|||
z2
+ c2 = 1, эллипсоид.
z2
− c2 = 1, однополостный гиперболоид.
z2
− c2 = −1, двуполостный гиперболоид.
= 2z, эллиптический параболоид.
= 2z, гиперболический параболоид.
Аналитическая геометрия. Лекция 27
Прямолинейные образующие гиперболического параболоида Вспомагательные леммы
Поверхности вращения
Приведение к каноническому виду
Теорема
6.
x2
a2
7.
x2
a2
8.
x2
a2
9. y2
x2
10. a2
11.
x2
a2
12.
x2
a2
y2 |
|
z2 |
|||
+ |
|
− |
|
= 0, эллиптический конус. |
|
b2 |
c2 |
||||
y2 |
= 1, эллиптический цилиндр. |
||||
+ |
|
||||
b2 |
|||||
|
|
|
|
||
y2 |
= 1, гиперболичекий цилиндр. |
||||
− |
|
||||
b2 |
|||||
= 2px, p ≥ 0, параболический цилиндр.
y2 |
|
z2 |
= 0, точка. |
||
+ |
|
+ |
|
||
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|||
y2 |
= 0, прямая. |
||||
+ |
|
||||
b2 |
|||||
|
|
|
|
||
y2 |
= 0, пара пересекающихся плоскостей. |
||||
− |
|
||||
b2 |
|||||
Аналитическая геометрия. Лекция 27
Прямолинейные образующие гиперболического параболоида Вспомагательные леммы
Поверхности вращения
Приведение к каноническому виду
Теорема
6.
x2
a2
7.
x2
a2
8.
x2
a2
9. y2
x2
10. a2
11.
x2
a2
12.
x2
a2
y2 |
|
z2 |
|||
+ |
|
− |
|
= 0, эллиптический конус. |
|
b2 |
c2 |
||||
y2 |
= 1, эллиптический цилиндр. |
||||
+ |
|
||||
b2 |
|||||
|
|
|
|
||
y2 |
= 1, гиперболичекий цилиндр. |
||||
− |
|
||||
b2 |
|||||
= 2px, p ≥ 0, параболический цилиндр.
y2 |
|
z2 |
= 0, точка. |
||
+ |
|
+ |
|
||
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|||
y2 |
= 0, прямая. |
||||
+ |
|
||||
b2 |
|||||
|
|
|
|
||
y2 |
= 0, пара пересекающихся плоскостей. |
||||
− |
|
||||
b2 |
|||||
Аналитическая геометрия. Лекция 27
Прямолинейные образующие гиперболического параболоида Вспомагательные леммы
Поверхности вращения
Приведение к каноническому виду
Теорема
6.
x2
a2
7.
x2
a2
8.
x2
a2
9. y2
x2
10. a2
11.
x2
a2
12.
x2
a2
y2 |
|
z2 |
|||
+ |
|
− |
|
= 0, эллиптический конус. |
|
b2 |
c2 |
||||
y2 |
= 1, эллиптический цилиндр. |
||||
+ |
|
||||
b2 |
|||||
|
|
|
|
||
y2 |
= 1, гиперболичекий цилиндр. |
||||
− |
|
||||
b2 |
|||||
= 2px, p ≥ 0, параболический цилиндр.
y2 |
|
z2 |
= 0, точка. |
||
+ |
|
+ |
|
||
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|||
y2 |
= 0, прямая. |
||||
+ |
|
||||
b2 |
|||||
|
|
|
|
||
y2 |
= 0, пара пересекающихся плоскостей. |
||||
− |
|
||||
b2 |
|||||
Аналитическая геометрия. Лекция 27
Прямолинейные образующие гиперболического параболоида Вспомагательные леммы
Поверхности вращения
Приведение к каноническому виду
Теорема
6.
x2
a2
7.
x2
a2
8.
x2
a2
9. y2
x2
10. a2
11.
x2
a2
12.
x2
a2
y2 |
|
z2 |
|||
+ |
|
− |
|
= 0, эллиптический конус. |
|
b2 |
c2 |
||||
y2 |
= 1, эллиптический цилиндр. |
||||
+ |
|
||||
b2 |
|||||
|
|
|
|
||
y2 |
= 1, гиперболичекий цилиндр. |
||||
− |
|
||||
b2 |
|||||
= 2px, p ≥ 0, параболический цилиндр.
y2 |
|
z2 |
= 0, точка. |
||
+ |
|
+ |
|
||
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|||
y2 |
= 0, прямая. |
||||
+ |
|
||||
b2 |
|||||
|
|
|
|
||
y2 |
= 0, пара пересекающихся плоскостей. |
||||
− |
|
||||
b2 |
|||||
Аналитическая геометрия. Лекция 27
Прямолинейные образующие гиперболического параболоида Вспомагательные леммы
Поверхности вращения
Приведение к каноническому виду
Теорема
6.
x2
a2
7.
x2
a2
8.
x2
a2
9. y2
x2
10. a2
11.
x2
a2
12.
x2
a2
y2 |
|
z2 |
|||
+ |
|
− |
|
= 0, эллиптический конус. |
|
b2 |
c2 |
||||
y2 |
= 1, эллиптический цилиндр. |
||||
+ |
|
||||
b2 |
|||||
|
|
|
|
||
y2 |
= 1, гиперболичекий цилиндр. |
||||
− |
|
||||
b2 |
|||||
= 2px, p ≥ 0, параболический цилиндр.
y2 |
|
z2 |
= 0, точка. |
||
+ |
|
+ |
|
||
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|||
y2 |
= 0, прямая. |
||||
+ |
|
||||
b2 |
|||||
|
|
|
|
||
y2 |
= 0, пара пересекающихся плоскостей. |
||||
− |
|
||||
b2 |
|||||
Аналитическая геометрия. Лекция 27
Прямолинейные образующие гиперболического параболоида Вспомагательные леммы
Поверхности вращения
Приведение к каноническому виду
Теорема
6.
x2
a2
7.
x2
a2
8.
x2
a2
9. y2
x2
10. a2
11.
x2
a2
12.
x2
a2
y2 |
|
z2 |
|||
+ |
|
− |
|
= 0, эллиптический конус. |
|
b2 |
c2 |
||||
y2 |
= 1, эллиптический цилиндр. |
||||
+ |
|
||||
b2 |
|||||
|
|
|
|
||
y2 |
= 1, гиперболичекий цилиндр. |
||||
− |
|
||||
b2 |
|||||
= 2px, p ≥ 0, параболический цилиндр.
y2 |
|
z2 |
= 0, точка. |
||
+ |
|
+ |
|
||
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|||
y2 |
= 0, прямая. |
||||
+ |
|
||||
b2 |
|||||
|
|
|
|
||
y2 |
= 0, пара пересекающихся плоскостей. |
||||
− |
|
||||
b2 |
|||||
Аналитическая геометрия. Лекция 27
Прямолинейные образующие гиперболического параболоида Вспомагательные леммы
Поверхности вращения
Приведение к каноническому виду
Теорема
6.
x2
a2
7.
x2
a2
8.
x2
a2
9. y2
x2
10. a2
11.
x2
a2
12.
x2
a2
y2 |
|
z2 |
|||
+ |
|
− |
|
= 0, эллиптический конус. |
|
b2 |
c2 |
||||
y2 |
= 1, эллиптический цилиндр. |
||||
+ |
|
||||
b2 |
|||||
|
|
|
|
||
y2 |
= 1, гиперболичекий цилиндр. |
||||
− |
|
||||
b2 |
|||||
= 2px, p ≥ 0, параболический цилиндр.
y2 |
|
z2 |
= 0, точка. |
||
+ |
|
+ |
|
||
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|||
y2 |
= 0, прямая. |
||||
+ |
|
||||
b2 |
|||||
|
|
|
|
||
y2 |
= 0, пара пересекающихся плоскостей. |
||||
− |
|
||||
b2 |
|||||
Аналитическая геометрия. Лекция 27
Прямолинейные образующие гиперболического параболоида Вспомагательные леммы
Поверхности вращения
Приведение к каноническому виду
Теорема
x2
13. a2
x2
14. a2
x2
15. a2
x2
16. a2
x2
17. a2
=1, пара параллельных плоскостей.
=0, пара совпадающих параллельных плоскостей.
y2 |
|
z2 |
= −1, мнимый эллипсоид. |
|
+ |
|
+ |
|
|
b2 |
c2 |
|||
y2 |
= −1, мнимый эллиптический цилиндр. |
|||
+ |
|
|||
b2 |
||||
= −1, пара мнимых параллельных плоскостей.
Аналитическая геометрия. Лекция 27