Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Geom / AnGeom_2_1

.pdf
Скачиваний:
80
Добавлен:
23.03.2015
Размер:
467.27 Кб
Скачать

Приведение к каноническому виду

Вспомагательные леммы Теорема

 

a

b

f1

 

af1 + bf2

 

С другой стороны, Af~ = b

c

f2

= bf1 + cf2

~

(af1+bf2)+e2(bf1+cf2) = ae1f1

+be1f2+be2f1+ce2f2

(~e, Af) = e1

~

~

 

 

 

 

 

Т.о. (A~e, f) = (~e, Af)

 

 

 

 

 

Аналитическая геометрия. Лекция 16

Приведение к каноническому виду

Вспомагательные леммы Теорема

~ ~

(A~e, f) = (~e, Af)

Пусть λ1 6= λ2 два собственных значения матрицы A, ~e,

~

 

 

f собственные векторы, отвечающие λ1 и λ2,

соответственно.

 

 

~

~

 

Тогда равенство (A~e, f) = (~e, Af) можно переписать в виде

 

~

~

1~e, f) = (~e, λ2f)

1

 

~

λ2)(~e, f) = 0

λ1 6= λ2

 

~

(~e, f) = 0

Т.о. векторы ~. Что и требовалось доказать.

~e f

Аналитическая геометрия. Лекция 16

Приведение к каноническому виду

Вспомагательные леммы Теорема

~ ~

(A~e, f) = (~e, Af)

Пусть λ1 6= λ2 два собственных значения матрицы A, ~e,

~

 

 

f собственные векторы, отвечающие λ1 и λ2,

соответственно.

 

 

~

~

 

Тогда равенство (A~e, f) = (~e, Af) можно переписать в виде

 

~

~

1~e, f) = (~e, λ2f)

1

 

~

λ2)(~e, f) = 0

λ1 6= λ2

 

~

(~e, f) = 0

Т.о. векторы ~. Что и требовалось доказать.

~e f

Аналитическая геометрия. Лекция 16

Приведение к каноническому виду

Вспомагательные леммы Теорема

~ ~

(A~e, f) = (~e, Af)

Пусть λ1 6= λ2 два собственных значения матрицы A, ~e,

~

 

 

f собственные векторы, отвечающие λ1 и λ2,

соответственно.

 

 

~

~

 

Тогда равенство (A~e, f) = (~e, Af) можно переписать в виде

 

~

~

1~e, f) = (~e, λ2f)

1

 

~

λ2)(~e, f) = 0

λ1 6= λ2

 

~

(~e, f) = 0

Т.о. векторы ~. Что и требовалось доказать.

~e f

Аналитическая геометрия. Лекция 16

Приведение к каноническому виду

Вспомагательные леммы Теорема

~ ~

(A~e, f) = (~e, Af)

Пусть λ1 6= λ2 два собственных значения матрицы A, ~e,

~

 

 

f собственные векторы, отвечающие λ1 и λ2,

соответственно.

 

 

~

~

 

Тогда равенство (A~e, f) = (~e, Af) можно переписать в виде

 

~

~

1~e, f) = (~e, λ2f)

1

 

~

λ2)(~e, f) = 0

λ1 6= λ2

 

~

(~e, f) = 0

Т.о. векторы ~. Что и требовалось доказать.

~e f

Аналитическая геометрия. Лекция 16

Приведение к каноническому виду

Вспомагательные леммы Теорема

Лемма о приведении симметрической матрицы к диагональному виду

Пусть A симметрическая матрица. Тогда всегда существует такая ортогональная матрица T , что T tAT диагональная матрица.

Аналитическая геометрия. Лекция 16

Приведение к каноническому виду

Вспомагательные леммы Теорема

Доказательство для матриц размера 2 × 2.

 

 

 

 

 

a

b

имеет

Во-первых, покажем, что матрица A = b

c

собственные значения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Характеристический многочлен матрицы A имеет вид

 

 

 

b

c

 

λ

 

 

CA(λ) = det(A

 

λE) =

 

a −

λ

b

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (a − λ)(c − λ) − b2 = λ2 − (a + c)λ + (ac − b2)

Найдем корни многочлена.

Аналитическая геометрия. Лекция 16

Приведение к каноническому виду

Вспомагательные леммы Теорема

λ2 − (a + c)λ + (ac − b2) = 0

D = (a + c)2 − 4(ac − b2) = a2 + 2ac + c2 − 4ac + 4b2 =

= a2 − 2ac + c2 + 4b2 = (a − c)2 + 4b2 ≥ 0

D = 0 a = c и b = 0. В этом случае A диагональная

матрица. Возьмем T =

1

0

.

0

1

 

 

D > 0. Тогда существуют два различных корня λ1 6= λ2.

Аналитическая геометрия. Лекция 16

Приведение к каноническому виду

Вспомагательные леммы Теорема

λ2 − (a + c)λ + (ac − b2) = 0

D = (a + c)2 − 4(ac − b2) = a2 + 2ac + c2 − 4ac + 4b2 =

= a2 − 2ac + c2 + 4b2 = (a − c)2 + 4b2 ≥ 0

D = 0 a = c и b = 0. В этом случае A диагональная

матрица. Возьмем T =

1

0

.

0

1

 

 

D > 0. Тогда существуют два различных корня λ1 6= λ2.

Аналитическая геометрия. Лекция 16

Приведение к каноническому виду

Вспомагательные леммы Теорема

λ2 − (a + c)λ + (ac − b2) = 0

D = (a + c)2 − 4(ac − b2) = a2 + 2ac + c2 − 4ac + 4b2 =

= a2 − 2ac + c2 + 4b2 = (a − c)2 + 4b2 ≥ 0

D = 0 a = c и b = 0. В этом случае A диагональная

матрица. Возьмем T =

1

0

.

0

1

 

 

D > 0. Тогда существуют два различных корня λ1 6= λ2.

Аналитическая геометрия. Лекция 16

Соседние файлы в папке Geom