Geom / AnGeom_2_1
.pdf
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
|
a |
b |
f1 |
|
af1 + bf2 |
|
С другой стороны, Af~ = b |
c |
f2 |
= bf1 + cf2 |
|||
~ |
(af1+bf2)+e2(bf1+cf2) = ae1f1 |
+be1f2+be2f1+ce2f2 |
||||
(~e, Af) = e1 |
||||||
~ |
~ |
|
|
|
|
|
Т.о. (A~e, f) = (~e, Af) |
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
~ ~
(A~e, f) = (~e, Af)
Пусть λ1 6= λ2 два собственных значения матрицы A, ~e,
~ |
|
|
f собственные векторы, отвечающие λ1 и λ2, |
||
соответственно. |
|
|
~ |
~ |
|
Тогда равенство (A~e, f) = (~e, Af) можно переписать в виде |
||
|
~ |
~ |
(λ1~e, f) = (~e, λ2f) |
||
(λ1 − |
|
~ |
λ2)(~e, f) = 0 |
||
λ1 6= λ2 |
|
~ |
(~e, f) = 0 |
||
Т.о. векторы ~. Что и требовалось доказать.
~e f
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
~ ~
(A~e, f) = (~e, Af)
Пусть λ1 6= λ2 два собственных значения матрицы A, ~e,
~ |
|
|
f собственные векторы, отвечающие λ1 и λ2, |
||
соответственно. |
|
|
~ |
~ |
|
Тогда равенство (A~e, f) = (~e, Af) можно переписать в виде |
||
|
~ |
~ |
(λ1~e, f) = (~e, λ2f) |
||
(λ1 − |
|
~ |
λ2)(~e, f) = 0 |
||
λ1 6= λ2 |
|
~ |
(~e, f) = 0 |
||
Т.о. векторы ~. Что и требовалось доказать.
~e f
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
~ ~
(A~e, f) = (~e, Af)
Пусть λ1 6= λ2 два собственных значения матрицы A, ~e,
~ |
|
|
f собственные векторы, отвечающие λ1 и λ2, |
||
соответственно. |
|
|
~ |
~ |
|
Тогда равенство (A~e, f) = (~e, Af) можно переписать в виде |
||
|
~ |
~ |
(λ1~e, f) = (~e, λ2f) |
||
(λ1 − |
|
~ |
λ2)(~e, f) = 0 |
||
λ1 6= λ2 |
|
~ |
(~e, f) = 0 |
||
Т.о. векторы ~. Что и требовалось доказать.
~e f
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
~ ~
(A~e, f) = (~e, Af)
Пусть λ1 6= λ2 два собственных значения матрицы A, ~e,
~ |
|
|
f собственные векторы, отвечающие λ1 и λ2, |
||
соответственно. |
|
|
~ |
~ |
|
Тогда равенство (A~e, f) = (~e, Af) можно переписать в виде |
||
|
~ |
~ |
(λ1~e, f) = (~e, λ2f) |
||
(λ1 − |
|
~ |
λ2)(~e, f) = 0 |
||
λ1 6= λ2 |
|
~ |
(~e, f) = 0 |
||
Т.о. векторы ~. Что и требовалось доказать.
~e f
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
Лемма о приведении симметрической матрицы к диагональному виду
Пусть A симметрическая матрица. Тогда всегда существует такая ортогональная матрица T , что T tAT диагональная матрица.
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
Доказательство для матриц размера 2 × 2.
|
|
|
|
|
a |
b |
имеет |
|||
Во-первых, покажем, что матрица A = b |
c |
|||||||||
собственные значения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характеристический многочлен матрицы A имеет вид |
||||||||||
|
− |
|
|
b |
c |
|
λ |
|
|
|
CA(λ) = det(A |
|
λE) = |
|
a − |
λ |
b |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (a − λ)(c − λ) − b2 = λ2 − (a + c)λ + (ac − b2)
Найдем корни многочлена.
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
λ2 − (a + c)λ + (ac − b2) = 0
D = (a + c)2 − 4(ac − b2) = a2 + 2ac + c2 − 4ac + 4b2 =
= a2 − 2ac + c2 + 4b2 = (a − c)2 + 4b2 ≥ 0
D = 0 a = c и b = 0. В этом случае A диагональная
матрица. Возьмем T = |
1 |
0 |
. |
|
0 |
1 |
|||
|
|
D > 0. Тогда существуют два различных корня λ1 6= λ2.
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
λ2 − (a + c)λ + (ac − b2) = 0
D = (a + c)2 − 4(ac − b2) = a2 + 2ac + c2 − 4ac + 4b2 =
= a2 − 2ac + c2 + 4b2 = (a − c)2 + 4b2 ≥ 0
D = 0 a = c и b = 0. В этом случае A диагональная
матрица. Возьмем T = |
1 |
0 |
. |
|
0 |
1 |
|||
|
|
D > 0. Тогда существуют два различных корня λ1 6= λ2.
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
λ2 − (a + c)λ + (ac − b2) = 0
D = (a + c)2 − 4(ac − b2) = a2 + 2ac + c2 − 4ac + 4b2 =
= a2 − 2ac + c2 + 4b2 = (a − c)2 + 4b2 ≥ 0
D = 0 a = c и b = 0. В этом случае A диагональная
матрица. Возьмем T = |
1 |
0 |
. |
|
0 |
1 |
|||
|
|
D > 0. Тогда существуют два различных корня λ1 6= λ2.
Аналитическая геометрия. Лекция 16