Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Geom / AnGeom_2_3

.pdf
Скачиваний:
71
Добавлен:
23.03.2015
Размер:
476.77 Кб
Скачать

Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка

Ортогональные инварианты кривых второго порядка

Доказательство

Пусть новая прямоугольная система координат связана со старой уравнением

y

= T

y00

+

y0

,

x

 

x

 

x0

 

где T ортогональная матрица, т.е. T t = T −1.

В новой системе координат уравнение кривой примет вид:

x0 y0

T tAT

y00

+ 2(b10 b20 )

y00

+ c0

= 0.

 

 

x

 

x

 

 

Аналитическая геометрия. Лекция 18

Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка

Ортогональные инварианты кривых второго порядка

A0 = T tAT

Характеристический многочлен det(A0 − λE) = det(T tAT − λE) =

=det(T tAT − T −1λET ) = det(T −1AT − T −1λET ) =

=det(T −1(A − λE)T ) = det(T −1) · det(A − λE) · det T =

1

= det T det T · det(A − λE) = det(A − λE).

Что и требовалось показать.

Аналитическая геометрия. Лекция 18

Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка

Ортогональные инварианты кривых второго порядка

A0 = T tAT

Характеристический многочлен det(A0 − λE) = det(T tAT − λE) =

=det(T tAT − T −1λET ) = det(T −1AT − T −1λET ) =

=det(T −1(A − λE)T ) = det(T −1) · det(A − λE) · det T =

1

= det T det T · det(A − λE) = det(A − λE).

Что и требовалось показать.

Аналитическая геометрия. Лекция 18

Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка

Ортогональные инварианты кривых второго порядка

A0 = T tAT

Характеристический многочлен det(A0 − λE) = det(T tAT − λE) =

=det(T tAT − T −1λET ) = det(T −1AT − T −1λET ) =

=det(T −1(A − λE)T ) = det(T −1) · det(A − λE) · det T =

1

= det T det T · det(A − λE) = det(A − λE).

Что и требовалось показать.

Аналитическая геометрия. Лекция 18

Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка

Ортогональные инварианты кривых второго порядка

A0 = T tAT

Характеристический многочлен det(A0 − λE) = det(T tAT − λE) =

=det(T tAT − T −1λET ) = det(T −1AT − T −1λET ) =

=det(T −1(A − λE)T ) = det(T −1) · det(A − λE) · det T =

1

= det T det T · det(A − λE) = det(A − λE).

Что и требовалось показать.

Аналитическая геометрия. Лекция 18

Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка

Ортогональные инварианты кривых второго порядка

A0 = T tAT

Характеристический многочлен det(A0 − λE) = det(T tAT − λE) =

=det(T tAT − T −1λET ) = det(T −1AT − T −1λET ) =

=det(T −1(A − λE)T ) = det(T −1) · det(A − λE) · det T =

1

= det T det T · det(A − λE) = det(A − λE).

Что и требовалось показать.

Аналитическая геометрия. Лекция 18

Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка

Ортогональные инварианты кривых второго порядка

Обозначим

через T r

a11

a12

след матрицы, равный a11

+ a22.

a21

a22

 

 

 

Следствие

det A и T r(A) являются ортогональными инвариантами кривой второго порядка.

Аналитическая геометрия. Лекция 18

Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка

Ортогональные инварианты кривых второго порядка

Доказательство

Так как характеристический многочлен det(A − λE) является ортогональным инвариантом, то все коэффициенты этого многочлена также являются инвариантами.

Заметим, что det(A − λE) = λ2 − T r(A)λ + det A.

Аналитическая геометрия. Лекция 18

Соседние файлы в папке Geom