Geom / AnGeom_2_3
.pdf
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Доказательство
Пусть новая прямоугольная система координат связана со старой уравнением
y |
= T |
y00 |
+ |
y0 |
, |
x |
|
x |
|
x0 |
|
где T ортогональная матрица, т.е. T t = T −1.
В новой системе координат уравнение кривой примет вид:
x0 y0 |
T tAT |
y00 |
+ 2(b10 b20 ) |
y00 |
+ c0 |
= 0. |
|
|
x |
|
x |
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
A0 = T tAT
Характеристический многочлен det(A0 − λE) = det(T tAT − λE) =
=det(T tAT − T −1λET ) = det(T −1AT − T −1λET ) =
=det(T −1(A − λE)T ) = det(T −1) · det(A − λE) · det T =
1
= det T det T · det(A − λE) = det(A − λE).
Что и требовалось показать.
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
A0 = T tAT
Характеристический многочлен det(A0 − λE) = det(T tAT − λE) =
=det(T tAT − T −1λET ) = det(T −1AT − T −1λET ) =
=det(T −1(A − λE)T ) = det(T −1) · det(A − λE) · det T =
1
= det T det T · det(A − λE) = det(A − λE).
Что и требовалось показать.
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
A0 = T tAT
Характеристический многочлен det(A0 − λE) = det(T tAT − λE) =
=det(T tAT − T −1λET ) = det(T −1AT − T −1λET ) =
=det(T −1(A − λE)T ) = det(T −1) · det(A − λE) · det T =
1
= det T det T · det(A − λE) = det(A − λE).
Что и требовалось показать.
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
A0 = T tAT
Характеристический многочлен det(A0 − λE) = det(T tAT − λE) =
=det(T tAT − T −1λET ) = det(T −1AT − T −1λET ) =
=det(T −1(A − λE)T ) = det(T −1) · det(A − λE) · det T =
1
= det T det T · det(A − λE) = det(A − λE).
Что и требовалось показать.
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
A0 = T tAT
Характеристический многочлен det(A0 − λE) = det(T tAT − λE) =
=det(T tAT − T −1λET ) = det(T −1AT − T −1λET ) =
=det(T −1(A − λE)T ) = det(T −1) · det(A − λE) · det T =
1
= det T det T · det(A − λE) = det(A − λE).
Что и требовалось показать.
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Обозначим
через T r |
a11 |
a12 |
след матрицы, равный a11 |
+ a22. |
|
a21 |
a22 |
||||
|
|
|
Следствие
det A и T r(A) являются ортогональными инвариантами кривой второго порядка.
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Доказательство
Так как характеристический многочлен det(A − λE) является ортогональным инвариантом, то все коэффициенты этого многочлена также являются инвариантами.
Заметим, что det(A − λE) = λ2 − T r(A)λ + det A.
Аналитическая геометрия. Лекция 18