Geom / AnGeom_2_3
.pdf
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Доказательство
Пусть центральная кривая второго порядка задана в некоторой системе координат уравнением
x y |
A |
y |
|
|
x |
x
+ 2(b1 b2) + c = 0. y
Так как det A 6= 0, то система линейных уравнений
x |
|
b1 |
= |
0 |
имеет единственное решение, |
A y |
+ b2 |
0 |
обозначим его (x0, y0).
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Выполним параллельный перенос исходной системы координат
|
|
|
y = y00 |
+ y0 . |
|
|
|
|
|
|
x = x + x0 |
|
|
|
|
В новой системе координат кривая задается уравнением |
|||||||
x0 + x0 |
y0 + y0 |
A |
y00 + y0 |
+2(b1 |
b2) |
y00 + y0 |
+c = 0. |
|
|
|
x + x0 |
|
|
x + x0 |
|
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Выполним параллельный перенос исходной системы координат
x = x0 + x0
y = y0 + y0 .
В новой системе координат кривая задается уравнением
x0 |
+ x0 |
y0 + y0 |
A y00 |
+ y0 |
+2(b1 |
b2) |
y00 |
|||
|
|
|
|
x + x0 |
|
|
|
x |
||
x0 |
y0 |
A |
y00 |
+ x0 |
y0 |
A |
y0 |
+ x0 |
||
|
|
|
x |
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+ y0 |
+c = 0. |
+ x0 |
|
x0
y0 A y0 +
+2(b1 |
b2) |
y00 + x0 |
y0 |
A |
y0 |
+2(b1 |
b2) |
y0 |
+c = 0. |
|
|
x |
|
|
x0 |
|
|
x0 |
|
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
x0 |
y0 A |
y00 + x0 |
y0 |
A y0 |
+ x0 y0 |
At |
y0 |
+ |
||
|
|
x |
|
|
|
x0 |
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
+2 x0 |
y0 b2 |
|
+ x0 |
y0 A y0 |
+ |
|
|
||
|
|
|
b1 |
|
b2 |
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
+2 x0 y0 |
+ c = 0. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
x0 y0 A y00 +2 x0 |
y0 |
|
A y0 |
+ b2 |
+c0 |
= 0. |
||
|
x |
|
|
x0 |
|
b1 |
|
|
Так как (x0, y0) решение системы |
|
|
|
|
||||
x |
b1 |
0 |
, то последнее уравнение |
|
||||
A y |
+ b2 = |
0 |
|
|||||
примет вид |
A |
y00 + c0 |
|
|
|
|||
|
x0 y0 |
= 0. |
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
x0 y0 A y00 +2 x0 |
y0 |
|
A y0 |
+ b2 |
+c0 |
= 0. |
||
|
x |
|
|
x0 |
|
b1 |
|
|
Так как (x0, y0) решение системы |
|
|
|
|
||||
x |
b1 |
0 |
, то последнее уравнение |
|
||||
A y |
+ b2 = |
0 |
|
|||||
примет вид |
A |
y00 + c0 |
|
|
|
|||
|
x0 y0 |
= 0. |
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
x0 y0 |
A |
y00 |
+ c0 |
= 0. |
|
|
x |
|
|
Заметим, что если (x0, y0) какое-то решение уравнения, то (−x0, −y0) также является решением. Действительно,
−x0 |
−y0 |
A |
−y00 +c0 |
= (−1)2 |
x0 |
y0 A |
y00 +c0 |
= 0. |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
− |
|
|
|
Таким образом, исходная кривая имеет центр в точке
(x0, y0).
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Пример
Найдите центр кривой второго порядка
5x2 + 4xy + 8y2 − 32x − 56y + 80 = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Определение
Ортогональным инвариантом кривой второго порядка называется объект, связанный с уравнением кривой и не изменяющийся при ортогональной замене системы координат.
Аналитическая геометрия. Лекция 18
Центральные кривые второго порядка Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Пусть в некоторой прямоугольной системе координат кривая второго порядка задана уравнением
x y |
A |
y |
+ 2(b1 b2) |
y |
+ c = 0. |
|
|
x |
|
x |
|
Лемма о характеристическом многочлене матрицы квадратичной части
Характеристический многочлен det(A − λE) является ортогональным инвариантом кривой второго порядка.
Аналитическая геометрия. Лекция 18