Geom / AnGeom_2_15

Ортогональные инварианты и полуинварианты

Ортогональные полуинварианты поверхностей

λ1, λ2, λ3 одного знака

Рассмотрим инвариант = λ1λ2λ3c.

Аналитическая геометрия. Лекция 30

Ортогональные инварианты и полуинварианты

Ортогональные полуинварианты поверхностей

λ1, λ2, λ3 разных знаков

Этот случай возможен тогда и только тогда, когда S ≤ 0 или

δ · T r(A) ≤ 0.

Рассмотрим случай, когда λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0.

=λ1λ2λ3c.

•Если > 0, то λ3 и c одного знака. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает однополостный гиперболоид.

•Если < 0, то λ3 и c разных знаков. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает двуполостный гиперболоид.

•Если = 0, то c = 0. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = 0 задает эллиптический конус.

Аналитическая геометрия. Лекция 30

Ортогональные инварианты и полуинварианты

Ортогональные полуинварианты поверхностей

λ1, λ2, λ3 разных знаков

Этот случай возможен тогда и только тогда, когда S ≤ 0 или

δ · T r(A) ≤ 0.

Рассмотрим случай, когда λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0.

=λ1λ2λ3c.

•Если > 0, то λ3 и c одного знака. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает однополостный гиперболоид.

•Если < 0, то λ3 и c разных знаков. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает двуполостный гиперболоид.

•Если = 0, то c = 0. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = 0 задает эллиптический конус.

Аналитическая геометрия. Лекция 30

Ортогональные инварианты и полуинварианты

Ортогональные полуинварианты поверхностей

λ1, λ2, λ3 разных знаков

Этот случай возможен тогда и только тогда, когда S ≤ 0 или

δ · T r(A) ≤ 0.

Рассмотрим случай, когда λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0.

=λ1λ2λ3c.

•Если > 0, то λ3 и c одного знака. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает однополостный гиперболоид.

•Если < 0, то λ3 и c разных знаков. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает двуполостный гиперболоид.

•Если = 0, то c = 0. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = 0 задает эллиптический конус.

Аналитическая геометрия. Лекция 30

Ортогональные инварианты и полуинварианты

Ортогональные полуинварианты поверхностей

λ1, λ2, λ3 разных знаков

Этот случай возможен тогда и только тогда, когда S ≤ 0 или

δ · T r(A) ≤ 0.

Рассмотрим случай, когда λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0.

=λ1λ2λ3c.

•Если > 0, то λ3 и c одного знака. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает однополостный гиперболоид.

•Если < 0, то λ3 и c разных знаков. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает двуполостный гиперболоид.

•Если = 0, то c = 0. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = 0 задает эллиптический конус.

Аналитическая геометрия. Лекция 30

Ортогональные инварианты и полуинварианты

Ортогональные полуинварианты поверхностей

λ1, λ2, λ3 разных знаков

Аналогично, рассмотрим случай, когда λ1 < 0, λ2 < 0,

λ3 > 0.

=λ1λ2λ3c.

•Если > 0, то λ3 и c одного знака. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает однополостный гиперболоид.

•Если < 0, то λ3 и c разных знаков. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает двуполостный гиперболоид.

•Если = 0, то c = 0. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = 0 задает эллиптический конус.

Аналитическая геометрия. Лекция 30

Ортогональные инварианты и полуинварианты

Ортогональные полуинварианты поверхностей

λ1, λ2, λ3 разных знаков

Аналогично, рассмотрим случай, когда λ1 < 0, λ2 < 0,

λ3 > 0.

=λ1λ2λ3c.

•Если > 0, то λ3 и c одного знака. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает однополостный гиперболоид.

•Если < 0, то λ3 и c разных знаков. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает двуполостный гиперболоид.

•Если = 0, то c = 0. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = 0 задает эллиптический конус.

Аналитическая геометрия. Лекция 30

Ортогональные инварианты и полуинварианты

Ортогональные полуинварианты поверхностей

λ1, λ2, λ3 разных знаков

Аналогично, рассмотрим случай, когда λ1 < 0, λ2 < 0,

λ3 > 0.

=λ1λ2λ3c.

•Если > 0, то λ3 и c одного знака. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает однополостный гиперболоид.

•Если < 0, то λ3 и c разных знаков. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает двуполостный гиперболоид.

•Если = 0, то c = 0. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = 0 задает эллиптический конус.

Аналитическая геометрия. Лекция 30

Ортогональные инварианты и полуинварианты

Ортогональные полуинварианты поверхностей

λ1, λ2, λ3 разных знаков

Аналогично, рассмотрим случай, когда λ1 < 0, λ2 < 0,

λ3 > 0.

=λ1λ2λ3c.

•Если > 0, то λ3 и c одного знака. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает однополостный гиперболоид.

•Если < 0, то λ3 и c разных знаков. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = −c задает двуполостный гиперболоид.

•Если = 0, то c = 0. Уравнение λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = 0 задает эллиптический конус.

Аналитическая геометрия. Лекция 30

Ортогональные инварианты и полуинварианты

Ортогональные полуинварианты поверхностей

2. Пусть данная поверхность не является центральной, т.е. δ = 0, однако 6= 0. Так как δ является ортогональным

инвариантом, то δ = λ1λ2λ3 = 0, следовательно, хотя бы одно из собственных значений, можем считать, что λ3, равно 0.

С другой стороны, так же является инвариантом,

0 b2 b3 c

λ1, λ2 и b3 отличны от нуля.

Аналитическая геометрия. Лекция 30