Geom / AnGeom_2_7
.pdf
Аффинная классификация кривых
Аффинная классификация кривых второго порядка
Доказательство.
1. Докажем, что все кривые одного типа аффинно
эквивалентны между собой. |
|
||||||||||
Докажем, что эллипсы |
x2 |
y2 |
= 1, a ≥ b ≥ 0, эквивалентны |
||||||||
|
+ |
|
|
||||||||
a2 |
b2 |
||||||||||
эллипсу x2 + y2 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x = ax |
|
||||
При преобразовании y = by00 |
уравнение |
||||||||||
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ |
|
|
= 1 перейдет в x02 |
+ y02 |
= 1. |
||||
2 |
b |
2 |
|||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Аффинная классификация кривых второго порядка
Данное преобразование является аффинным, так как задается уравнением
y |
= |
0 |
b |
y00 , |
|
|
x |
|
a |
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
= ab 6= 0. |
где a 6= 0 и b 6= 0. Следовательно, det 0 |
b |
|||||
Для всех остальных кривых доказывается аналогично.
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Аффинная классификация кривых второго порядка
2. Докажем, что кривые разных классов аффинно не эквивалентны.
1)Заметим, что при аффинном преобразовании мнимые кривые переходят в мнимые, а действительные в действительные. Поэтому мнимый эллипс и пара мнимых параллельных прямых аффинно не эквивалентны остальным кривым.
2)Центральные кривые при аффинном преобразовании переходят в центральные. Поэтому мнимый эллипс и пара мнимых параллельных прямых аффинно не эквивалентны.
3)При аффинном преобразовании точка переходит в точку. Поэтому точка аффинно не эквивалентна ни одной из остальных кривых.
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Аффинная классификация кривых второго порядка
2. Докажем, что кривые разных классов аффинно не эквивалентны.
1)Заметим, что при аффинном преобразовании мнимые кривые переходят в мнимые, а действительные в действительные. Поэтому мнимый эллипс и пара мнимых параллельных прямых аффинно не эквивалентны остальным кривым.
2)Центральные кривые при аффинном преобразовании переходят в центральные. Поэтому мнимый эллипс и пара мнимых параллельных прямых аффинно не эквивалентны.
3)При аффинном преобразовании точка переходит в точку. Поэтому точка аффинно не эквивалентна ни одной из остальных кривых.
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Аффинная классификация кривых второго порядка
2. Докажем, что кривые разных классов аффинно не эквивалентны.
1)Заметим, что при аффинном преобразовании мнимые кривые переходят в мнимые, а действительные в действительные. Поэтому мнимый эллипс и пара мнимых параллельных прямых аффинно не эквивалентны остальным кривым.
2)Центральные кривые при аффинном преобразовании переходят в центральные. Поэтому мнимый эллипс и пара мнимых параллельных прямых аффинно не эквивалентны.
3)При аффинном преобразовании точка переходит в точку. Поэтому точка аффинно не эквивалентна ни одной из остальных кривых.
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Аффинная классификация кривых второго порядка
2. Докажем, что кривые разных классов аффинно не эквивалентны.
1)Заметим, что при аффинном преобразовании мнимые кривые переходят в мнимые, а действительные в действительные. Поэтому мнимый эллипс и пара мнимых параллельных прямых аффинно не эквивалентны остальным кривым.
2)Центральные кривые при аффинном преобразовании переходят в центральные. Поэтому мнимый эллипс и пара мнимых параллельных прямых аффинно не эквивалентны.
3)При аффинном преобразовании точка переходит в точку. Поэтому точка аффинно не эквивалентна ни одной из остальных кривых.
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Аффинная классификация кривых второго порядка
4)Пара действительных пересекающихся прямых при аффинном преобразовании переходит в пару действительных пересекающихся прямых.
5)Пара действительных параллельных прямых при аффинном преобразовании переходит в пару действительных параллельных прямых.
6)Пара совпадающих прямых при аффинном преобразовании переходит в пару совпадающих прямых.
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Аффинная классификация кривых второго порядка
4)Пара действительных пересекающихся прямых при аффинном преобразовании переходит в пару действительных пересекающихся прямых.
5)Пара действительных параллельных прямых при аффинном преобразовании переходит в пару действительных параллельных прямых.
6)Пара совпадающих прямых при аффинном преобразовании переходит в пару совпадающих прямых.
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Аффинная классификация кривых второго порядка
4)Пара действительных пересекающихся прямых при аффинном преобразовании переходит в пару действительных пересекающихся прямых.
5)Пара действительных параллельных прямых при аффинном преобразовании переходит в пару действительных параллельных прямых.
6)Пара совпадающих прямых при аффинном преобразовании переходит в пару совпадающих прямых.
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Аффинная классификация кривых второго порядка
7)Среди все действительных кривых второго порядка только эллипс лежит в ограниченной части плоскости (эллипс можно вписать в прямоугольник). При аффинном преобразовании это свойство сохраняется. Поэтому эллипс аффинно не эквивалентен ни одной из кривых.
8)Гипербола и парабола аффинно не эквивалентны, так как первая является центральной, а вторая нет.
Теорема доказана.
Аналитическая геометрия. Лекция 22