Geom / AnGeom_2_7

Аффинная классификация кривых

Аффинная классификация кривых второго порядка

7)Среди все действительных кривых второго порядка только эллипс лежит в ограниченной части плоскости (эллипс можно вписать в прямоугольник). При аффинном преобразовании это свойство сохраняется. Поэтому эллипс аффинно не эквивалентен ни одной из кривых.

8)Гипербола и парабола аффинно не эквивалентны, так как первая является центральной, а вторая нет.

Теорема доказана.

Аналитическая геометрия. Лекция 22

Аффинная классификация кривых

Алгоритм определения аффинного класса кривых второго порядка (Лагранжа)

Пусть в некоторой аффинной системе координат кривая второго порядка имеет уравнение

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0.

1.Если уравнение содержит хотя бы один квадрат, можем считать, что a11 6= 0.

Группируем все слагаемые, содержащие x, и выделяем полный квадрат.

Аналитическая геометрия. Лекция 22

Аффинная классификация кривых

Алгоритм определения аффинного класса кривых второго порядка (Лагранжа)

Пусть в некоторой аффинной системе координат кривая второго порядка имеет уравнение

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0.

1.Если уравнение содержит хотя бы один квадрат, можем считать, что a11 6= 0.

Группируем все слагаемые, содержащие x, и выделяем полный квадрат.

Аналитическая геометрия. Лекция 22

Аффинная классификация кривых

Алгоритм определения аффинного класса кривых второго порядка (Лагранжа)

Пусть в некоторой аффинной системе координат кривая второго порядка имеет уравнение

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0.

1.Если уравнение содержит хотя бы один квадрат, можем считать, что a11 6= 0.

Группируем все слагаемые, содержащие x, и выделяем полный квадрат.

Аналитическая геометрия. Лекция 22

Аффинная классификация кривых

Алгоритм определения аффинного класса кривой второго порядка (Лагранжа)

Аналитическая геометрия. Лекция 22

Аффинная классификация кривых

Алгоритм определения аффинного класса кривой второго порядка (Лагранжа)

Аналитическая геометрия. Лекция 22

Аффинная классификация кривых

Алгоритм определения аффинного класса кривой второго порядка (Лагранжа)

Аналитическая геометрия. Лекция 22

Аффинная классификация кривых

Алгоритм определения аффинного класса кривой второго порядка (Лагранжа)

После замены получим уравнение

a11(x0)2 + a022y2 + 2b02y + c0 = 0,

в которое x0 входит только в квадрате. Аналогично работаем

сдругой переменной y0.

2.Пусть a11 = 0 и a22 = 0. В этом случае a12 6= 0.

аффинным преобразованием, так как

xy при такой замене перейдет в (x0)2 − (y0)2. Появились квадраты. Переходим к пункту 1.

Аналитическая геометрия. Лекция 22

Аффинная классификация кривых

Алгоритм определения аффинного класса кривой второго порядка (Лагранжа)

После замены получим уравнение

a11(x0)2 + a022y2 + 2b02y + c0 = 0,

в которое x0 входит только в квадрате. Аналогично работаем

сдругой переменной y0.

2.Пусть a11 = 0 и a22 = 0. В этом случае a12 6= 0.

аффинным преобразованием, так как

xy при такой замене перейдет в (x0)2 − (y0)2. Появились квадраты. Переходим к пункту 1.

Аналитическая геометрия. Лекция 22

Аффинная классификация кривых

Алгоритм определения аффинного класса кривой второго порядка (Лагранжа)

После замены получим уравнение

a11(x0)2 + a022y2 + 2b02y + c0 = 0,

в которое x0 входит только в квадрате. Аналогично работаем

сдругой переменной y0.

2.Пусть a11 = 0 и a22 = 0. В этом случае a12 6= 0.

аффинным преобразованием, так как

xy при такой замене перейдет в (x0)2 − (y0)2. Появились квадраты. Переходим к пункту 1.

Аналитическая геометрия. Лекция 22