§3. Линейная зависимость векторов

1. Коллинеарные векторы.

Теорема 3. Если векторы иколлинеарны, то существует единственное числотакое, что

, (1)

и наоборот.

∆ , тогда ; если, то

Обратное очевидно. ▲

3.2..Компланарные векторы

Опр. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.

Теорема 4. Если векторы компланарны и векторынеколлинеарны, то

∆ Отложим векторы от одной точки:

Проведем .(т.3)

(т.3). По правилу параллелограмма:

Допустим, что числа не единственные:вычитая, получим:

Если тоОтсюда следует, чтои

коллинеарны, что противоречит условию. Аналогично при ▲

3.3.Линейная зависимость

Возьмем конечную систему векторов ичисел

Опр. Вектор называетсялинейной комбинацией векторов

!Опр. Векторы называютсялинейно зависимыми, если существуют такие числа не все равные нулю, что выполняется условие:

(2)

Если равенство (2) выполняется только при нулевых коэффициентах, то векторы называютсялинейно независимыми.

Теорема 5. (необх. и дост. условие л\зав.) Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных.

∆ л\к остальных.

Имеет место равенство (2). Пусть тогда

очевидно ▲

3.4. Свойства линейных систем векторов

1. Если подсистема линейно зависима, то и вся система векторов л\з..

2. Если система л\нз, то любая её подсистема л\нз.

3. Всякая система, содержащая 0-вектор, линейно зависима.

Теорема 6. Два вектора л\з тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Теорема 7. Три вектора л\з тогда и только тогда, когда они компланарны.

§4. Координаты вектора

4.1. Разложение вектора по трем некомпланарным

Теорема 8. Если некомпланарные векторы, то для любого векторасуществуют единственные числатакие, что

(3)

Запись (3) называется разложением вектора по векторам

Следствие. Система, содержащая более трех векторов, л\з.

4.2. Базис векторного пространства

!Опр. Базисом векторного пространства называется упорядоченная система векторов, удовлетворяющая двум условиям:

1. они линейно независимы; 2)любой вектор пространства является их линейной

комбинацией.

Опр. Число векторов в базисе называется размерностью пространства.

Из теоремы 8 следует, что любые 3 некомпланарные вектора образуют базис 3-хмерного векторного пространства.

Обозначение базиса

4.3. Координаты вектора

Пусть - базис,произвольный вектор. По теореме 8 существуют единственные числатакие, что

Это представление называется разложением вектора по базису.

Опр. Коэффициенты разложения называютсякоординатами вектора в базисе

Задачи. 1) Запишите координаты векторов в базисе

2) Каков базис на прямой? На плоскости?

Свойства координат векторов

С1. При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются).

С2. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

С3. Равные векторы имеют соответственно равные координаты.

С4. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

4.4. Ортонормированный базис

В геометрии часто решаются задачи метрического характера: вычисление длин, площадей, углов. Эти задачи проще решать, выбирая специальный базис.

О

пр. Базис 3-хмерного векторного пространства, состоящий из 3-х взаимно ортогональных и единичных векторов, называется ортонормированным.

Теорема 9. Длина вектора в ортонормированном базисеравна

Указание. При доказательстве используется теорема: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов 3-х его измерений.