§5. Скалярное произведение векторов

Опр. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

Свойства скалярного произведения

1. (очевидно из определения).

2. , то есть числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

∆

а) Правые части равны,

значит, равны и левые.

б) ,

И в этом случае правые части равны, значит, равны и левые. Свойство доказано.

3. (признак перпендикулярности векторов).

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

5. Скалярное произведение векторов и, заданных в ортонормированном базисе, выражается формулой:

∆ Пусть не нулевые и не коллинеарные векторы. Отложим их от одной точки пространства.

Применим к теорему косинусов:

,

Подставляя в равенство получим:

▲

Задача. Рассмотрите случай

6. При доказательстве используется свойство 5.

7.

§6. Направляющие косинусы вектора

. Умножим скалярно на вектор .

Аналогично получим:

Обозначим углы:

(4)

Числа называютсянаправляющими косинусами вектора

Из равенств (4) следует, что каждая координата вектора равна произведению его модуля на соответствующий направляющий косинус (в ортонормированном базисе).

Из (4): то есть

(5)

§7. Векторное произведение векторов.

7.1. Правые и левые тройки векторов.

Три произвольных вектора , рассматриваемые в определенном порядке, называютсяупорядоченной тройкой. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов считаетсяправой, если эти векторы расположены так же, как большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если они располагаются, как те же пальцы левой руки, то тройка называется левой.

7.2. Определение и свойства векторного произведения.

Опр. Векторным произведением вектора на векторназывается такой третий вектор, который

1. имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторахи:;

2. ортогонален каждому из векторов и;

3. направлен так, что тройка векторов - правая.

Обозначение векторного произведения: или.

Свойства векторного произведения.

1. (антикоммутативность),

2. (распределительный закон),

3. Если и, то, в частности,

4. Векторное произведение ортов: ,,.

Вообще произведение любых смежных векторов в последовательности дает следующий вектор со знаком «+», а в обратной последовательности – со знаком «-».

5. Для любого вещественного числа справедливы соотношения:

6. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей ,в декартовой прямоугольной системе координат.

=

7. Геометрический смысл модуля векторного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и:;

Площадь треугольника, построенного на векторах и, равна.

Пример 1. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах ,, если,,.

Решение. .

1)

2) .

Пример 2. Найдите площадь треугольника, построенного на векторах ,

Решение.

1. Найдем вектор .

2. .