§7. Прямая линия на плоскости

7.1.Различные уравнения прямой

Будем рассматривать прямую в некоторой аффинной системе координат.

7.1.1.Каноническое уравнение прямой

Опр. Ненулевой вектор, параллельный прямой,

называется направляющим вектором прямой.

Зададим прямую на плоскости точкой и направляющим вектором

Возьмем на прямой произвольную точкуЭто каноническое уравнение прямой.

7.1.2.Параметрические уравнения

Параметрические уравнения.

7.1.3. Уравнение прямой через две точки.

7.1.4. Уравнение прямой в отрезках

Точки пересечения прямой с осями координат

Какую прямую нельзя задать уравнением в отрезках?

7.1.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Опр. Назовем отношение -угловым коэффициентом прямой

Можно доказать, что угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора прямой и в дпск он равен тангенсу угла наклона прямой к оси

7.1.6. Общее уравнение прямой

Преобразуем каноническое уравнение прямой:

Ax+By+C=0. (11)

Итак, всякая прямая на плоскости определяется уравнением 1 степени относительно переменных

Направляющий вектор

Обратно: всякое уравнение (11), где определяет на плоскости прямую, параллельную вектору

Следовательно, справедлива

Теорема 9. Всякое уравнение 1 степени с двумя переменными определяет на плоскости прямую и только прямую.

Иначе: всякая алгебраическая линия 1 порядка есть прямая линия.

7.1.7. Неполные уравнения прямой. Построение прямой.

Уравнение прямой все коэффициенты которого отличны от 0, называется полным. Если же какие-то коэффициенты в нем равны 0, имеем неполное уравнение. Для построения прямой по уравнению достаточно знать две её точки или точку и направляющий вектор

1. Пусть Имеем полное уравнениеПриведем его к уравнению в отрезках:

Пример.

2) прямая проходит через начало координат.

Пример.

3)

Пример.

4)

5)

6)

Задача. Найдите направляющие векторы и постройте в аффинной системе координат прямые:

7.2. Геометрический смысл знака трехчлена

Прямая делит плоскость на две полуплоскости. Координаты точек, принадлежащих прямой, обращают уравнение в тождество. Можно доказать, что для координат точек из одной полуплоскости (той, куда направлен вектор) выполняется неравенстводля координат точек другой полуплоскостиВ этом состоит геометрический смысл знака трехчлена

Задача. Пересекает ли прямая отрезок с концами

7.3. Взаимное расположение двух прямых

7.3.1. Выясним, при каких условиях два уравнения

определяют одну и ту же прямую?

Теорема 10. Для того, чтобы уравнения (1) и (2) определяли одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны.

∆ Пусть (1) и (2) определяют одну и ту же прямую.

Необходимость Направляющие векторы этих прямых:

и коллинеарны, следовательно,

Возьмем на прямой точку , подставим её координаты в уравнения (1) и (2) и вычтем, умножив (1) на

√

ДостаточностьЕсли коэффициенты уравнений (1) и (2) пропорциональны, то (2) можно записать так:

Но уравнениям (2) и (3) удовлетворяют координаты одних и тех же точек, следовательно, они определяют одну и ту же прямую. ▲

7.3.2. Выясним взаимное расположение двух прямых, заданных в некоторой аффинной системе координат уравнениями (1) и (2).Возможны два случая.

1.В этом случае прямые пересекаются, и для нахождения их точки пересечения надо решить систему уравнений (1),(2).

2.или

При При

Вывод. 1)

2)

3)

Задача. Через точку провести прямую, параллельную прямой

Решить двумя способами.