Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Аналитическая геометрия (конспект лекций).doc
Скачиваний:
39
Добавлен:
21.03.2015
Размер:
3.56 Mб
Скачать

5.5 Однополостный гиперболоид

Эта поверхность определяется уравнением

(28)

Из уравнения вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат – центром симметрии однополостного гиперболоида.

Рассмотрим сечения его плоскостями

1)

2)

3) этогорловой эллипс.

4)

С увеличением размеры этого эллипса неограниченно увеличиваются.

Однополостный гиперболоид представляет собой поверхность, состоящую из одной полости и подобную трубке, неограниченно расширяющейся в положительном и отрицательном направлении оси

Поверхность имеет 3 плоскости симметрии, полуоси.

Если , имеем однополостный гиперболоид вращения.

5.6. Двуполостный гиперболоид

Эта поверхность определяется уравнением:

(29)

Координатные плоскости являются осями симметрии, начало координат – центром симметрии.

1)

2)

3) Имеем мнимый эллипс:

4) Это эллипсы с полуосями:

В слое между плоскостями точек поверхности нет. Поверхность состоит из двух полостей, расположенных вне этого слоя.

Задача. Постройте поверхности:

1)

2)

5.7. Эллиптический параболоид

Эта поверхность задается уравнением:

(30)

Из уравнения видно, что плоскости являются для поверхности

плоскостями симметрии, а линия их пересечения – ось осью эллиптического параболоида. Из уравнения также следует, что он весь расположен в полупространстве

Рассмотрим сечения координатными плоскостями.

1)

2)

3) Линии пересечения представляют собой эллипсы с полуосямии. Эти формулы показывают, что при увеличенииэллипсы неограниченно увеличиваются, та что эллиптический параболоид представляет собой бесконечную чашу.

При имеем параболоид вращения.

Задача. Постройте поверхность

5.8. Гиперболический параболоид

Каноническое уравнение этой поверхности:

(31)

Из уравнения следует, что плоскости являются плоскостями симметрии, осьось гиперболического параболоида.

1) Линии пересечения гиперболического параболоида плоскостями

представляют собой пригиперболыс полуосямиа присопряженные для них гиперболыс полуосями

Сечение плоскостью пересекает поверхность по двум прямым

2) парабола в плоскости

3)

Можно убедиться в том, что гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью , когда её вершина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболоида плоскостью

Варианты индивидуальных заданий

Постройте тело, ограниченное данными поверхностями. Назовите

Поверхности.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. (внутри цилиндров),

9.

10.

11.

12.

13.

14. (вне цилиндра),

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.