- •Безверхняя и. С.
- •§2. Линейные операции над векторами
- •§3. Линейная зависимость векторов
- •§4. Координаты вектора
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •§6. Направляющие косинусы вектора
- •§7. Векторное произведение векторов.
- •§8. Смешанное произведение векторов.
- •Раздел 2. Метод координат на плоскости
- •§1. Аффинная система координат
- •§ 2. Деление отрезка в данном отношении
- •§3. Декартова прямоугольная система координат
- •§ 4. Ориентация плоскости
- •§5. Полярные координаты
- •§6. Алгебраическая линия
- •§7. Прямая линия на плоскости
- •7.1.Различные уравнения прямой
- •7.3. Взаимное расположение двух прямых
- •7.4. Прямая в декартовой прямоугольной системе координат
- •§8. Формулы преобразования координат
- •§ 9. Линии 2-го порядка
- •9.1. Эллипс
- •9.2. Гипербола
- •9.3. Парабола
- •9.4. Кривые 2-го порядка как конические сечения
- •§10. Общее уравнение линии 2-го порядка
- •Часть 1. Преобразуем систему координат поворотом на угол вокруг начала.
- •Часть 2. Исследуем уравнение (17):
- •Раздел 3. Система координат в пространстве
- •§1. Плоскость
- •§2. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§3.Плоскость в дпск. Основные задачи.
- •§4. Прямая в пространстве.
- •§5. Поверхности 2-го порядка
- •5.1. Понятие поверхности 2-го порядка
- •5.2. Цилиндрические поверхности.
- •5.3. Конические поверхности
- •5.4. Эллипсоид
- •5.5 Однополостный гиперболоид
- •5.6. Двуполостный гиперболоид
- •5.7. Эллиптический параболоид
- •5.8. Гиперболический параболоид
- •Вариант индивидуального задания.
- •Литература
7.4. Прямая в декартовой прямоугольной системе координат
7.4.1. Нормальный вектор прямой.
Прямаязадана в системе
Опр. Нормальным вектором прямой называется
любой ненулевой вектор , перпендикулярный
направляющему вектору.
В аффинной системе координат, в частности в дпск, общее уравнение прямой направляющий вектор.
Возьмем вектор как видно,
нормальный вектор. Отсюда ясен геометрический смысл коэффициентов если прямая задана в дпск уравнением
Пусть прямая проходит через точкутогдаВычитая из уравнения прямой, получим:
(11)
Это уравнение прямой с нормальным вектором и проходящей через точку
7.4.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
где или
7.4.3. Расстояние от точки до прямой
Пусть в дпск заданы прямая и точка
Найдем расстояниеот точки до прямой.
Вычислим скалярное произведение
(12)
Задача. Найдите расстояние от точки до прямой
Задача. Найдите расстояние между прямыми:
7.4.4. Угол между прямыми.
Опр. Углом между двумя прямыми называется угол между их направляющими векторами.
Из определения следует, что углом между двумя прямыми является один из 4-х углов при их пересечении.
Опр. Угол называется направленным, если указан порядок его сторон.
Пусть
или (13)
Условие параллельности : или
Условие перпендикулярности: .
Задача. Найдите проекцию точки на прямую
7.4.5. Решение задач.
№1. Составьте уравнения прямых, параллельных прямой и отстоящих от точкина расстояние
№2. Найдите точку симметричную точкеотносительно прямой
№3. Точка является вершиной правильного треугольника, её противоположная сторона:Составьте уравнения двух других сторон.
№4. Составьте уравнение биссектрисы того угла между прямыми внутри которого лежит точка
№5. Центр симметрии квадрата есть точка уравнение одной стороныСоставьте уравнения других сторон.
№6. Докажите, что ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности треугольника лежат на одной прямой –прямой Эйлера.
№7. Составьте уравнение биссектрисы острого угла между прямыми
№8. Составьте уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину
уравнения биссектрисы и медианыпроведенными из различных вершин.
№9. Определите, лежит ли точка внутри или вне треугольника со сторонами
Отв.Вне.
§8. Формулы преобразования координат
8.1. Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат:
(старая и новая системы координат).
Пусть точкаи
Задача преобразования координат состоит в
следующем: выразить старые координаты
точки через новые
Зададим систему относительно
(1)
По правилу треугольника получим: или(используем (1))
(2)
Формулы (2) называются формулами преобразования координат.
Заметим, что матрица перехода от базисак базисув точности совпадает с матрицей из коэффициентов при
в формулах (2). Определитель этой матрицы поэтому система (2) разрешима относительно
Интересны два частных случая.
(А) Перенос начала.
(В) Замена координатных векторов.
Пример. Написать формулы преобразования координат в аффинной системе, если
∆ ▲
8.2. Рассмотрим преобразование прямоугольных координат. Дпск есть частный случай аффинной системы, поэтому можно использовать формулы (2). На коэффициенты матрицы перехода С накладываются определенные условия.
Возможны два случая.
С) Системы ориентированы одинаково (обе правые).
Формулы (2) запишутся так:
D) Системы ориентированы противоположно.
Формулы (2) запишутся так:
Объединим Формулы
. (3)
(«+» для одинаково ориентированных систем).
Задача. Определите координаты новых векторов и нового начала, если формулы преобразования имеют вид:
отв.
Задача. Напишите формулы преобразования прямоугольных декартовых координат, если и системыодинаково ориентированы.
Отв.