Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Аналитическая геометрия (конспект лекций).doc
Скачиваний:
39
Добавлен:
21.03.2015
Размер:
3.56 Mб
Скачать

Часть 2. Исследуем уравнение (17):

Случай 1.

Преобразуем уравнение (17), выделяя полные квадраты.

(18)

Перенесем начало координат в точку то есть выполним преобразование «перенос начала координат»:

Уравнение (18) примет вид:

(19)

а) б)

Вывод. Если корни характеристического уравнения не равны 0, то линия 2-го порядка является линией одного из следующих видов:

Каноническое уравнение

Название линии

1.

+

-

+

-

-

+

Эллипс

2.

+

-

+

-

+

-

Мнимый эллипс

3.

+

-

+

-

0

0

Точка пара мнимых прямых, пересека-

ющихся в этой точке

4.

+

-

-

+

Гипербола

5.

+

-

-

+

0

0

Пара пересекающихся

прямых

Случай 2.

(17)

(17)

Перенос начала в точку

В случае получим уравнение параболы:

Случай 3.

Параллельный перенос в точку преобразует уравнение:

а) две

действительные параллельные прямые.

б) две мнимые параллельные прямые.

в) 2 совпавшие прямые.

Вывод: уравнение (11) определяет одну из 9-ти линий:

  1. эллипс,

  2. гипербола,

  3. парабола,

  4. мнимый эллипс,

  5. пара пересекающихся прямых,

  6. пара параллельных прямых,

  7. пара совпавших прямых,

  8. пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке,

  9. пара мнимых параллельных прямых.

Алгоритм приведения общего уравнения линии

2-го порядка к каноническому виду

  1. Составим характеристическое уравнение:

и найдем его корни.

2. Совершим поворот данной системы координат на уголопределяемый по формуле:

Формулы преобразования координат:

3.Запишем уравнение кривой в новой системе координат

(*)

где

4.Совершив параллельный перенос системы координат, получим из уравнения (*) каноническое уравнение кривой в системе

5. Построим системы ии по каноническому уравнению данную

линию.

Пример. Преобразованием прямоугольной системы координат приведите уравнение линии второго порядка к каноническому виду.

Решение

  1. Запишем и решим характеристическое уравнение кривой:

, отсюда

  1. Находим угол поворота системы координат:

Тогда cos

3. Запишем формулы преобразования координат при повороте системы координат на угол

4. После поворота осей координат уравнение линии запишется в виде:

Найдем коэффициенты и

Уравнение принимает вид:

5.Преобразуем уравнение, используя параллельный перенос осей в новое начало.

Выполним параллельный перенос системы координат в точку

Уравнение кривой запишется в виде: или

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Построение графика

  1. Строим исходную систему координат Оху.

  2. Поворачиваем Оху на угол ,

получим систему О

  1. Переносим параллельно в точку

Получим систему

4. В последней системе строим гиперболу