Погрешности результатов измерений

Под измерением понимают сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения. Измерения подразделяются на прямые и косвенные.

Припрямыхизмерениях определяемую величину сравнивают с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах.

При косвенных измерениях искомая величина определяется (вычисляется) из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определённой функциональной зависимостью.

Истинное значение физической величины обычно абсолютно точно определить нельзя. Каждое измерение даёт значение определяемой величины Х c некоторой погрешностью Х. Это значит, что истинное значение лежит в интервале

Х_изм – Х,

где Х_изм  – значение величины x, полученное при измерении;

Х характеризует точность измерения Х. ВеличинуХ называютабсолютной погрешностью, с которой определяется Х.

Все погрешности подразделяются на систематические, случайные и промахи (ошибки).

Систематическойназывают такую погрешность, которая остаётся постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Такие погрешности возникают в результате конструктивных особенностей измерительных приборов, неточности метода исследования, каких-либо упущений экспериментатора, а также при применении для вычислений неточных формул, округлённых констант.

Случайныепогрешности – это ошибки, появление которых не может быть предупреждено. Поэтому они могут оказать определённое влияние на отдельное измерение, но при многократных измерениях они подчиняются статистическим законам и их влияние на результаты измерения можно учесть или значительно уменьшить.

Промахии грубые погрешности – это чрезмерно большие ошибки, явно искажающие результат измерения. Этот класс погрешностей вызван чаще всего неправильными действиями наблюдателя. Измерения, содержащие промахи и грубые погрешности, следует отбрасывать.

При лабораторных методах измерений проводят несколько замеров и вычисляют среднее арифметическое полученных значений, которое принимают за наиболее достоверное значение измеряемой величины. Затем производят оценку точности результата измерений (учёт случайных погрешностей).

Пусть в результате nпрямыхизмерений физической величины Х в одинаковых условиях получили некоторые значения: Х₁, Х₂,…..Х_n(n– число измерений). Наилучшей оценкой Х_истявляется среднее арифметическое найденных значений Х_i:

Х_ист1 + Х₂ +…+ Х_n) (1)

Результат измерений записывают в виде:

Х = , (2)

где Х – погрешность измерения.

При наличии случайных погрешностей появление того или иного значения х_iв процессе измерения является случайным событием. Существует некоторая вероятность появления этого значения Х_iв интервале, Х_i +. Надёжностью результата серии измерений называют вероятностьтого, что истинное значение Х измеряемой величины попадает в данный интервал, называемый доверительным. Выражаетсяили в долях единицы, или в процентах.

Чем больше доверительный интервал, т.е. чем больше задаваемая погрешность результата измерений Х, тем с большей надежностью искомая величина Х попадает в этот интервал. Естественно, что величиназависит от числаnпроведённых измерений, а также от задаваемой погрешностиХ. В лабораторных условияхрекомендуется выбирать в интервале 0,9 – 0,99. Существуют специальные таблицы коэффициентов Стьюдентаt_n, по которым можно определить, во сколько раз нужно увеличить стандартный доверительный интервал [], чтобы при определённом числе измеренийnполучить заданную надёжность.

За стандартный принимают интервал [], где

(3)

Тогда

Х = t_nS_x(4)

Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность(в %):

(5)

Обратную ей величину называютточностьюизмерений.

Таким образом, порядок обработки результатов прямыхизмерений следующий:

1. Выполняют nизмерений величины Х и записывают их результаты в таблицу.

2. Вычисляют по формуле (1) .

3. По формуле (3) вычисляют S_x.

4. Находят по таблице коэффициент Стьюдента t_nв зависимости от заданной надёжностии числа измеренийn.

5. Определяют абсолютную погрешность измерений по формуле (4).

6. Результат записывают в виде Х=.

7. Определяют относительную погрешность по формуле (5).

ПрикосвенныхизмеренияхХявляется некоторой функциейyиz, т.е.Х =f(y,z). Тогда наилучшее значение при оценке Х равно

(6)

где инаходятся по формуле (1). Так как сами величиныyиzнаходятся путём прямых измерений, то их погрешностиyи zможно оценить по формуле (4). Так как, то простой оценкой дляявляется разность

(7)

т.е. ошибка косвенного измерения находится через ошибки прямых измерений по правилу дифференцирования. Часто этой оценки оказывается достаточно. Более точным является следующее выражение:

(8)

где и– частные производные от функции Х =f(y,z) поyиz, взятые при значенияхy=

Таким образом, порядок обработки результатов косвенныхизмерений следующий:

1. Определяют вид функции зависимости искомой величины Х от непосредственно измеряемых величин yиzХ=f(y,z).

2. Выполняют nизмерений непосредственно измеряемых величинyиzи записывают их результаты в таблицу.

3. По формуле (1) находят средние значения непосредственно измеряемых величин и.

4. По формуле (6) определяют среднее значение искомой величины.

5. По формуле (4) рассчитывают абсолютные погрешности yи zизмерения непосредственно измеряемых величин.

6. По формуле (8) определяют абсолютную погрешность измерения искомой величины.

7. Рассчитывают относительную погрешность измерений (5).

В процессе выполнения лабораторных работ рекомендуется проводить не менее 5 измерений каждой величины.