Контрольные вопросы

1. Объясните механизм возникновения биений.

2. Как по виду фигур Лиссажу определить соотношение частот слагаемых колебаний?

3. Выведите обобщенное уравнение эллипса получаемого при сложении взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами.

4. От каких параметров зависит вид траектории движения материальной точки при сложении взаимно перпендикулярных колебаний?

5. Исследуйте уравнение движения в зависимости от разности фаз: а) ; б).

6. Выведите уравнение траектории движения материальной точки, совершающей взаимно перпендикулярные колебания, если и.

Лабораторная работа № 11. Определение момента инерции шаров малого радиуса

Цель работы:экспериментальным путём определить моменты инерции шара, выяснить физический смысл этой величины.

Приборы и принадлежности:штатив, два желоба, шары малых радиусов, линейка, штангенциркуль.

Краткая теория

При изучении вращения твёрдых тел пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

J=².

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

J=,

где интегрирование производится по всему объёму тела. Величина rв этом случае есть функция положения точки с координатамиx,y,z.

В

r

качестве примера найдём момент инерции однородного сплошного цилиндра высотойhи радиусомRотносительно его геометрической оси. Разобьём цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщиныdrс внутренним радиусомrи внешнимr+dr. Момент инерции каждого полого цилиндраdJ=r²dm(так какdr<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равноr), гдеdm– масса всего элементарного цилиндра; его объем. Если– плотность материала, тоdm= 2иdJ= 2.

Тогда момент инерции сплошного цилиндра:

J=.

Так как – масса цилиндра, то момент инерции

J=

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела Jотносительно произвольной оси равен моменту его инерцииJ_cотносительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массыmтела на квадрат расстояния а между осями:

J=J_c +ma²;

Значения моментов инерции для некоторых тел приводятся в таблице 1.

Таблица 1

Тело	Положение оси	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии.	mR2
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	То же.
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину.
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец.
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси Z, проходящей через него. Мысленно разобьем это тело на малые объёмы с элементарными массамиm₁,m₂, …,m_n, находящиеся на расстоянииr₁,r₂,…r_nот оси.

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси отдельные его элементарные объёмы массами m_iопишут окружности различных радиусовr_iс различными линейными скоростямиv_i. Но так как мы рассматриваем абсолютное твёрдое тело, то угловая скорость вращения этих объёмов одинакова:

(1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдём как сумму кинетических энергий его элементарных объёмов:

или

Используя выражение (1), получаем:

где J_z– момент инерции тела относительно осиZ.

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела:

. (2)

Из сравнения формулы (2) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно (Е_пост =mv²/2) следует, что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении. Формула (2) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

(3)

где m– масса катящегося тела;v_c– скорость центра масс тела;J_с– момент инерции тел относительно оси, проходящей через его центр масс;– угловая скорость тела.