Контрольные вопросы

1. Что называют гармоническим колебанием?

2. Запишите уравнение гармонических колебаний и дайте характеристику всех величин, входящих в уравнение.

3. Дайте определение математического маятника и выведите формулу периода его колебаний.

4. Дайте определение физического маятника и выведите формулу периода его колебаний.

5. Дайте определение приведенной длины физического маятника. В чем смысл этой величины?

6. Покажите, что приведенная длина больше расстояния от оси качания до центра тяжести.

7. Почему колебания математического маятника будут гармоническими только при малых углах отклонения от положения равновесия?

8. Изменением какой величины характеризуются колебания математического маятника?

9. Как зависит период колебаний физического маятника от положения оси вращения?

10. Каков должен быть вид силы, действующей на маятник, чтобы он совершал гармонические колебания?

Лабораторная работа № 7 изучение собственных колебаний пружинного маятника

Цель работы:измерить коэффициенты упругости и периоды собственных колебаний двух различных пружин и пружинных систем, полученных в результате их последовательного и параллельного соединения. Измерить величину логарифмического декремента затухания и рассчитать коэффициент сопротивления для пружинного маятника с воздушным демпфером.

Приборы и принадлежности:экспериментальная установка, секундомер, набор пружин, набор грузов, воздушный демпфер.

Краткая теория

Колебания, происходящие при отсутствии переменных внешних сил, называются собственными; частота собственных колебаний зависит от свойств системы.

Допустим, что в системе действуют только две силы: пропорциональная смещению тела от положения равновесия (k – коэффициент пропорциональности), и– сила трения, пропорциональная скорости тела (r – коэффициент пропорциональности). Уравнение движения будет иметь вид:

, (1)

где m – масса колеблющегося тела. Разделим это уравнение на массу тела и введем обозначения:

. (2)

Получим дифференциальное уравнение:

(3)

Решением этого уравнения является функция:

, (4)

где ,начальная амплитуда,собственная круговая частота,– круговая частота затухающих колебаний.

Таким образом, если на тело, кроме силы упругости действует сила трения, пропорциональная первой степени скорости, то тело будет совершать колебательное (не гармоническое!) движение с частотой, зависящей от m, k, . Амплитуда колебаний (т.е. значение х при) будет с течением времени изменяться по экспоненциальному закону. Величина

(5)

называется коэффициентом затухания. Она определяет быстроту убывания амплитуды колебаний с течением времени. Произведение коэффициента затухания на период колебаний Т

, (6)

равное логарифму отношения двух соседних амплитуд

, (7)

есть безразмерная величина, которая называется логарифмическим декрементом затухания. Он пропорционален величине коэффициента сопротивления, периоду и обратно пропорционален массе системы.

Пружинный маятник – это система, состоящая из груза массой m, подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь. В состоянии равновесия сила тяжести груза уравновешивается равной по величине, но противоположно направленной силой упругости пружины Следовательно,

, (8)

где величина упругой деформации (удлинения пружины под действием веса груза), k – коэффициент упругости пружины, из (8) равный

. (9)

Формула (9) является расчетной при определении коэффициента жесткости исследуемых пружин.

Если сместить груз из положения равновесия на величину, равную , приложив к нему силу, то упругая сила изменится и станет равной

. (10)

Поскольку эта сила удовлетворяет условию , то она является потенциальной. Если внешнюю силу убрать, то под действием силыгруз начнет совершать свободные гармонические колебания относительно положения равновесия. Период этих колебаний можно вычислить по формуле:

, (11)

определив в процессе опыта массу груза m и величину k.

При наличии сопротивления колебания груза станут затухающими. Для того чтобы определить логарифмический декремент этих колебаний, надо сосчитать число n полных периодов колебаний, после совершения которых отношение начальной амплитуды и амплитуды колебания в n-ом периоде будет кратно какому-либо целому числу . Тогда уравнение

(12)

примет вид

, (13)

где амплитуда в момент времени,амплитуда в момент времени. Логарифмируя обе части отношения (13), с учетом, получим:

. (14)

Тогда логарифмический декремент

(15)

где n – число полных колебаний, которые совершит пружинный маятник за время . Окончательная расчетная формула (15) приводится к виду:

(15а)

где Т – период затухающих колебаний, время опыта.