18. Степеневі ряди, теорема Абеля.
Степенным рядомназывается
функциональный ряд
(1),
т.е.
,
где
-
центр ряда (1),
-
числа, называемые коэффициентами ряда
(1). Если
,
то ряд имеет вид
.
Th. Для ряда
возможен
только один из следующих случаев: 1) Ряд
-
сходится на числовой прямой
.
2) Ряд
-
сходится при
и
расходится при
.
3)
ряд
-
сходится на интервале
и расходится вне отрезка
.
Док-во: Проведем лишь для случая
конечный или бесконечный придел
докажем что он
.
Воспользуемся признаком сходимости
Даламбера для отрицательного ряда
.
.
Предположим, что
,
т.е.
,
тогда
-
ряд расходится. Если
,
то
.
По признаку Даламбера ряд
-
расходится. Т.об., в случае когдаR– конечное число ряд
-
сходится абсолютно на
и расходится вне отрезка
.
- ■
19. Інтегрування та диференціювання функціональних рядів.
Th. Степенной ряд
можно
почленно дифференцировать и интегрировать
внутри интервальной сходимости. Это
означает, что для его суммы
справедливы равенства:
1)
(1);
2)
(2).
Док-во: Докажем формулы (1) и (2). Предположим,
что
конечный или бесконечный придел
.
Тогда степенной ряд в правой части
формулы (1) имеет радиус сходимости
.
Аналогично, степенной ряд в формуле
(2), т.е. ряд
имеет радиус сходимости
.
Т.об., ряды полученные формальным
дифференцированием и интегрированием
степеней ряда
имеют тот же радиус сходимости ряда.
Докажем формулу (1). Пусть
.
Выберем
так, чтобы выполнялось включение
.
Очевидно, что всегда можно сделать так.
Т.к.R– радиус сходимости
рядов
и (1), то по следствию изThАбеля ряды
и (1) – сходятся равномерно на
ряд
можно почленно дифференцировать на
этом отрезке. Для данной точки х
выполняется (1). Т.к. х выбрано произвольно
из интервала сходимости, то формула (1)
справедлива на всем интервале
.
Формула (2)
изthо почленном
интегрировании равномерно сходящихся
рядов, поскольку ряд
-
сходится равномерно на отрезке
.-
■
20. Ряд Тейлора и ряд Маклорена.
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
и имеет производные всех порядков
,
в точке
.
Тогда степенной ряд вида
называетсярядом Тейлорадля функции
.
В случае
ряд
Тейлора называетсярядом Маклоренадля функции
.
Решим теперь общий вопрос о разложении данной функции f(x) в ряд по возрастающим целым степеням х.
.
Пусть, например, f(x) представима в виде ряда
.
(3.1)
Следовательно,
необходимо определить коэффициенты
а0,а1,а2,...;
причем интервал сходимости
не сводится к точке, то есть R>0.
Учтем то, что степенной ряд (3.1) в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз и все полученные таким образом ряды тоже будут сходиться, а их суммы равны соответствующим производным.
Продифференцируем последовательно ряд (3.1):
f/(x) = a1 + 2×a2×x + 3×a3×x2 + ...
f//(x) = 2×a2 + 2×3×a3×x + 3×4×a4×x2 + ...
f///(x) = 2×3×a3 + 2×3×4×a4×x + 3×4×5×a5×x2 + ...
fIV(x) = 2×3×4×a4 + 2×3×4×5×a5×x + ...
........................................................................
Положим теперь в этих равенствах и в (3.1) х = 0; тогда получим, что
f(0) = a0; f/(0) = a1; f//(0) = 2×a2; f///(0) = 2×3×a3; fIV(0) = 2×3×4×a4; ...
То
есть а0 =
f(0);
;
;
;
; ...
Подставляя эти значения в (3.1), получим ряд Маклорена:
.
Мы
знаем, что в некоторых случаях f(x) или
ее производная неопределенны при х =
0: так, например, ведут себя функции f(x)
= ln(x),
,
для которых
или
.
Следовательно, такие функции не могут
быть разложены в ряд Маклорена. Тогда
нужно воспользоваться более общими
степенными рядами.
Рассмотрим разложение в степенной ряд функции f(x) по степеням (х-а), где а¹0 и его можно подобрать соответствующим образом так, чтобы
f(x) = А0 + А1×(х - а) + А2×(х - а)2 + ... . (4.1)
Для
(10.1) справедливо.
Пусть х - а = z.
Тогда разложение (4.1) примет вид
F(z) = f(z + a) = А0 + А1×z + А2×z2 + ... , (4.2)
где
.
Но это уже ряд Маклорена.
Так как F(n)(z) = f(n)(z + a), (n=1,2,...).
Таким образом, имеем
A0
= F(0) = f(a),
,
...,
,
...
Подставив эти выражения в (10.2), получим ряд Тейлора
.
(4.3)
Если а = 0, получим ряд Маклорена.
Если в (4.3) взять конечное число членов, то вместо ряда Тейлора получим многочлен Тейлора
.
(4.4)
То есть если (4.3) сходится в некоторой окрестности точки а (Ua), то его сумма равна f(x), a Pn(x) дает приближенное представление f(x) в Ua.