- •1. Відображення множин (функції). Область визначення функції. Монотонні функції. Парні і непарні функції. Періодичні функції.
- •2. Границя послідовності. Границя суми, різниці, добутку. Границя функції на нескінченності, границя функції в точці. Чудові границі .
- •3. Неперервність функції. 1-а і 2-а теореми Больцано-Коши, 1-а і 2-а теореми Вейерштраса.
- •4. Похідна функції, геометричний і механічний сенс похідної. Таблиця похідної. Похідні складних функцій. Правила диференціювання. Диференціал функції. Рівняння дотичної до графіка функції.
- •5. Основні теореми диференційного числення Ферма, Ролля, Лагранжа і Коши.
- •6. Екстремум функції. Опуклість функції, точки перегину.
- •7. Первісна і невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця невизначених інтегралів.
- •8. Інтегрування за допомогою змінної та по часткам.
- •9. Визначений інтеграл. Формула Ньютона Лейбніця. Умова інтегрування функції.
- •10. Площа плоскої фігури, рівняння якої задано у явному вигляді, параметричними рівнянням, в полярних кординатах.
- •11. Довжина дуги кривої, рівняння якої задано у явному вигляді, параметричними рівняннями, рівняннями в полярних координатах
- •12. Об'єм тіла и об'єм тіла обертання. Площа поверхні обертання.
- •13. Невласні інтеграли 1-го и 2-го роду.
- •14. Числові ряди, додатні числові ряди, сума ряду, необхідна умова збіжності ряду, основні теореми про числові ряди.
- •15. Ознаки збіжності Даламбера, Коши, інтегральна ознака збіжності, ознака порівняння, теорема про гармонійній ряд.
- •16. Знакозмінні ряди. Теорема Лейбниця. Абсолютна та умовна збіжність числового ряду.
- •17. Функціональні послідовності та ряди. Область збіжності функціонального ряду. Рівномірна збіжність, ознака рівномірної збіжності.
- •18. Степеневі ряди, теорема Абеля.
- •19. Інтегрування та диференціювання функціональних рядів.
- •20. Ряд Тейлора и ряд Маклорена.
- •21. Комплексні функції, комплексні послідовності, комплексні ряди.
- •22. Похідна функції комплексної змінної, умови диференційованості, поняття аналітичної функції.
- •23. Показательная функция, тригонометрическая функция комплексной переменной.
- •24. Логарифмічна та степенева функція комплексної змінної.
- •25. Показникові функція та тригонометричні функції комплексної змінної.
- •26. Інтегрування функції комплексної змінної.
- •27. Розклад функції комплексної змінної в ряд Лорана.
- •28. Звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Задача Коши. Існування та єдність рішення задачі Коші (теореми Пеано та Пікара)
- •29. Рівняння з подільними змінними. Диференціальні рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.
- •30. Однорідні диференціальні рівняння.
- •31. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.
12. Об'єм тіла и об'єм тіла обертання. Площа поверхні обертання.
В пространстве задано некоторое тело. Оно расположено между двумя плоскостями. Плоскости пересекают ось Ох в т. а и в. Известен закон изменения плоскости сечения данного тела плоскости к оси Ох. Найдем объем этого телаV.
Разбиваем отрезок точками, получим разбиение. Через т.поводим плоскостик оси Ох, обозначим их. Выбираем т.. Заменяем часть тела лежащую между плоскостямиицилиндром. Высотой, а основание цилиндра представляет собой фигуру полученную в сечении тела плоскостьюоси х и проходящей через т.. Заменяем все тело ступенчатой фигурой получим изn-цилиндров написанных выше.
Перейдем к приделу при , получим точное значение объема:
Функция - непрерывна на, тогда при вращении фигуры, а АВ в вокруг оси х образуется некоторое тело круглой тело, которое назыв.тело вращения.
При произвольном в сечении тела вращения имеем круг радиуса
13. Невласні інтеграли 1-го и 2-го роду.
Несобственные интегралы 1 рода-.
Введем определения для несобственных интегралов 1 рода.
Определение 1.
Если предел конечен, то несобственный интеграл 1 рода называется сходящимся;
Если предел бесконечен или не существует вовсе, то несобственный интеграл 1 рода называется расходящимся.
Свойства несобственных интегралов.
а) Признак сравнения несобственных интегралов 1 рода. Если 0 меньше (или равен) f(x) меньше (или равна) g(x) на промежутке [0;+ ], то:
Из сходимости следует сходимость.
Из расходимости следует расходимость.
Теорема очевидна из геометрического смысла.
б) Признак абсолютной сходимости несобственного интеграла 1 рода.
Если несобственный интеграл 1 рода сходится, тотоже сходится.
Следует из первого свойства.
Несобственные интегралы 2 рода.
Определение 1.
Интеграл вида: , где y=f(x) непрерывна (a;b], a - точка разрыва 2 рода, называется несобственным интегралом 2 рода.
Если предел конечен, то несобственный интеграл 2 рода называется сходящимся.
Определение 2.
Если предел равен бесконечности или не существует вовсе, то несобственный интеграл 2 рода называется расходящимся.
Пусть функция y=f(x) имеет разрыв 2 рода в точке C, принадлежащей (a;b). В остальных точках промежутка непрерывна.
Определение 3.
Если оба несобственных интеграла 2 рода справа сходятся, то несобственный интеграл слева называется сходящимся.
Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то несобственный интеграл слева называется расходящимся.
Свойства несобственных интегралов 2 рода те же, что и для несобственных интегралов 1 рода.
14. Числові ряди, додатні числові ряди, сума ряду, необхідна умова збіжності ряду, основні теореми про числові ряди.
Пусть задана числовая последовательность .
Формальная сумма бесконечного числа слагаемых назывчисловым рядом, при этом- общий член ряда.
Сумма первых n– членов назывn - той частичной суммой ряда. Обозначается.
Ряд - сходится, если последовательность частичных суммимеет конечный приделS, который назывсуммой ряда.Ряд сходится, есликонечный предел.
Если последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного предела, то ряд расходится.
Св-ва сходящихся рядов:
Сходящиеся ряды можно почлено складывать. Если ряды и, то ряд- сходятся, и при этомтакже для обычных сумм.
Док-во: Для конечной суммы n-слагаемыхпереходя к приделу получим требуемое.
Или
Для любого конечного числа N , но
и согласно условию теоремы. Тогда
- ■
Постоянную можно выносить за знак суммы ряда. Если ряд -сходитсяk– некоторое число, то ряд-сходится, при этом.
Док-во:
Так как , то имеем, что- ■.
Если ряд сходится, то и любой его r-остаток также сходится..
Док-во: Пусть r– некотороеNчисло, тогда при любыхn>rимеем, чтои при этом справедливо равенство. Полученную формулу можно записать в виде- ■.
Th(необходимое условие сходимости для произвольного ряда): Если рядсходится, то. Общий член сходящегося ряда.
Док-во: Пусть частичная сумма ряда. Так как ряд сходится, то. – ■
Следствие. Если общий член ряда не , то ряд расходится. Обратное утверждение не верно. Т. е. если общий член ряда, это еще не значит- ряд расходится, хотя.