- •«Геометрія»
- •Афінні простори. Афінні координати. Формули перетворення
- •Поняття проективного простору. Моделі проективного простору.
- •Визначення кривої в диференціальної геометрії. Елементарна, проста та загальна крива. Регулярна крива. Способи завдання кривих.
- •Дотична площина. Нормаль. Перша квадратична форма поверхні. Довжина дуги кривої на поверхні, кут між кривими.
- •Друга квадратична форма. Нормальна кривина поверхні в данному напрямку. Головні напрямки та головні кривини.
- •Приклади многовидів
«Геометрія»
-
Афінні простори. Афінні координати. Формули перетворення
афінних координат точок.
-
Площини в афінних просторах.
Плоскость определенной точкой и двумя неколлинеарными векторами называется множество точек аффинного пространства такое что .
- числа (параметры)
- векторно-параметрическое уравнение плоскости
– опорная точка
- базисные векторы плоскости
- общее уравнение плоскости
Одномерная плоскость – прямая.
Если m = n – 1, то плоскость называется гиперплоскостью.
- параметрическое уравнение n-мерной плоскости
Если ранг = 1, то плоскости совпадают.
Если ранг матрицы = 2, то плоскости пересекаются по прямой.
Плоскости называются параллельными, если либо
(ранг матрицы =1 ранг расширенной матрицы = 2)
Плоскости называются скрещивающимися, если они не параллельны и не имеют общих точек
-
Аксіоми скалярного множення. Евклідові векторні простори. Евклідові точково-векторні простори.
-
Кут між векторами. Ортогональні вектори. Ортонормовані базиси і прямокутні координати.
-
Векторний та мішаний добутки.
-
Прямі в афінному прсторі. Паралельні прямі. Відрізки. Просте відношення трьох точок.
-
Теорія прямих на афінній площині. Способи завдання прямої на афінній площині. Взаємне розташування двох прямих. Жмуток прямих.
-
Теорія прямих на евклідовій площині. Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.
-
Еліпс, гіпербола, парабола.
-
Площини у 3-вимірному афінному просторі Геометричні способи завдання площини. Взаємне розташування двох площин. Жмуток площин.
Плоскость в трехмерном аффинном пространстве может быть задана:
1) векторно параметрическим уравнением , где a, b – неколлинеарные направленные векторы плоскости, - радиус-вектор фиксированной точки плоскости.
Возьмем теперь в пространстве аффинную систему координат Охyz. Пусть в этой системе координат точки и векторы имеют соответствующие координаты . Тогда в заданной системе координат уравнения равносильные трем уравнениям для координат: . Эти уравнения называются параметрическими уравнениями плоскости.
2) общим уравнением
.
Система уравнения или эквивалентна ее системе выражает линейную зависимость рядов матрицы или уравнение где Уравнение можно назвать общим уравнением плоскости, которая проходит через тоску .
Уравнением плоскости, которое проходит через три точки с координатами , которое не лежит на одной прямой, можно записать в виде
Пусть плоскость проходит через точки где . Тогда уравнение этой плоскости можно записать в виде . Это уравнение называют уравнением плоскости в отрезках.
Прямая линия в пространстве может быть задана:
1) векторно параметрическим уравнением , где а – направленный вектор прямой, - радиус-вектор фиксированной точки прямой.
Если уравнение записать в аффинной системе координат, то получим параметрическое уравнение прямой в пространстве: . Включением параметра параметрические уравнения сводится к канонической форме . Уравнение прямой, которое проходит через две разные точки, можно задать в векторной форме , где - радиус-вектор данных точек, а - их аффинные координаты.
Прямую l можно задать как линию пересечения
Взаимное расположение двух плоскостей
Если , то они:
1) пересекаются
2) параллельны (но не совпадают)
3) совпадают
Если плоскости заданы уравнениями и то случаи 1 - 3 имеют месло, когда:
1)
2)
3)
Пучок плоскостей
Если
есть ось пучка, то уравнение пучка
Существует всего 4 способа задания плоскости Положение плоскости в пространстве определяется: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линий, рис.1 б) прямой и точкой, взятой вне прямой, рис.2 в) двумя пересекающимися прямыми, рис.3 г) двумя параллельными прямыми. рис.4 Каждое из представленных на рис. 1— 4 заданий плоскости может быть преобразовано в другое из них. Например, проведя через точки А и В (рис. 1) прямую, мы получим задание плоскости, представленное на рис. 2: от него мы можем пе¬рейти к рис. 4, если через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ. рис.1 рис.2 рис.3 рис.4
-
Взаємне розташування прямої та площини в 3-вимірному афінному просторі
-
Взаємне розташування двох прямих в 3-вимірному афінному просторі
-
Площини у 3-вимірному евклідовому просторі.
-
Пряма у 3-вимірному афінному просторі.
-
Площина в евклідовому просторі. Нормальне рівняння площини. Відстань від точки до площини.
Пример:
-
Кут між площинами, прямими, прямою та площиною.
Кут між прямою та площиною
Кут між двома прямими в просторі
Кут між двома площинами
-
Площі та об’єми.
Фигура, составленная из касательной, главной нормали и бинормали, а также из трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые, называют естественным трёхгранником (трёхгранником Френе
-
Поверхні обертання, еліпсоїди, гіперболоїди, параболоїди. Циліндричні та конічні поверхні (в аналітичному викладі).
Эллипсоид (рис. 4.18) Каноническое уравнение:
- трехосный эллипсоид;
- эллипсоид вращения вокруг оси Oz;
- эллипсоид вращения вокруг оси Oy;
- эллипсоид вращения вокруг оси Ox;
- сфера.
Сечения эллипсоида плоскостями - либо эллипс (окружность), либо точка, либо .
Гіперболо́їд (грец. від hyperbole - гіпербола, і eidos - подібність) — вид поверхні другого порядку в тривимірному просторі, що задається в Декартових координатах рівнянням
(Однопорожнинний гіперболоїд),
де a і b- дійсні півосі, а c- уявна піввісь;
або
(двопорожнинний гіперболоїд),
де a і b - уявні півосі, а c- дійсна піввісь.
Якщо a = b, то така поверхня зветься - гіперболоїд обертання. Однопорожнинний гіперболоїд обертання можна отримати обертанням гіперболи навколо її уявної осі, двополосний - навколо дійсної. Двопорожнинний гіперболоїд обертання також є геометричним місцем точок P, модуль різниці відстаней, від яких до двох заданих точок A і B постійний: . У такому випадку точки A і B звуться фокусами Гіперболоїда.
Однопорожнинний гіперболоїд є двічі лінійчатою поверхнею. Якщо він є гіперболоїдом обертання, то його можна отримати обертанням прямої навколо іншої прямої, що є мимобіжною з нею. Цю властивість лінійчатих однопорожнинних гіперболоїдів використовують в архітектурі. Зокрема, вежа Шухова в Москві є гіперболоїдною конструкцією. Вона складена саме з гіперболоїдів, що утворені прямими стрижнями.
(Однопорожнинний гіперболоїд) (двопорожнинний параболоид
гіперболоїд)
Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:
-
если и одного знака, то параболоид называется эллиптическим.
-
если и разного знака, то параболоид называется гиперболическим.
-
если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.
-
Група перетворень подібності площини та її підгрупи.