![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Відображення множин (функції). Область визначення функції. Монотонні функції. Парні і непарні функції. Періодичні функції.
- •2. Границя послідовності. Границя суми, різниці, добутку. Границя функції на нескінченності, границя функції в точці. Чудові границі .
- •3. Неперервність функції. 1-а і 2-а теореми Больцано-Коши, 1-а і 2-а теореми Вейерштраса.
- •4. Похідна функції, геометричний і механічний сенс похідної. Таблиця похідної. Похідні складних функцій. Правила диференціювання. Диференціал функції. Рівняння дотичної до графіка функції.
- •5. Основні теореми диференційного числення Ферма, Ролля, Лагранжа і Коши.
- •6. Екстремум функції. Опуклість функції, точки перегину.
- •7. Первісна і невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця невизначених інтегралів.
- •8. Інтегрування за допомогою змінної та по часткам.
- •9. Визначений інтеграл. Формула Ньютона Лейбніця. Умова інтегрування функції.
- •10. Площа плоскої фігури, рівняння якої задано у явному вигляді, параметричними рівнянням, в полярних кординатах.
- •11. Довжина дуги кривої, рівняння якої задано у явному вигляді, параметричними рівняннями, рівняннями в полярних координатах
- •12. Об'єм тіла и об'єм тіла обертання. Площа поверхні обертання.
- •13. Невласні інтеграли 1-го и 2-го роду.
- •14. Числові ряди, додатні числові ряди, сума ряду, необхідна умова збіжності ряду, основні теореми про числові ряди.
- •15. Ознаки збіжності Даламбера, Коши, інтегральна ознака збіжності, ознака порівняння, теорема про гармонійній ряд.
- •16. Знакозмінні ряди. Теорема Лейбниця. Абсолютна та умовна збіжність числового ряду.
- •17. Функціональні послідовності та ряди. Область збіжності функціонального ряду. Рівномірна збіжність, ознака рівномірної збіжності.
- •18. Степеневі ряди, теорема Абеля.
- •19. Інтегрування та диференціювання функціональних рядів.
- •20. Ряд Тейлора и ряд Маклорена.
- •21. Комплексні функції, комплексні послідовності, комплексні ряди.
- •22. Похідна функції комплексної змінної, умови диференційованості, поняття аналітичної функції.
- •23. Показательная функция, тригонометрическая функция комплексной переменной.
- •24. Логарифмічна та степенева функція комплексної змінної.
- •25. Показникові функція та тригонометричні функції комплексної змінної.
- •26. Інтегрування функції комплексної змінної.
- •27. Розклад функції комплексної змінної в ряд Лорана.
- •28. Звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Задача Коши. Існування та єдність рішення задачі Коші (теореми Пеано та Пікара)
- •29. Рівняння з подільними змінними. Диференціальні рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.
- •30. Однорідні диференціальні рівняння.
- •31. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.
5. Основні теореми диференційного числення Ферма, Ролля, Лагранжа і Коши.
Теорема Ферма.Пусть функцияопределена в некотором промежутке
и во внутренней точке с этого промежутка
принимает наибольшее (наименьшее)
значение. Если в этой точке существует
конечная производная
,
то необходимо
.
Доказательство.Пусть для определенностипринимает в точкес наибольшее
значение, так что для всехх изХ
.
По определению производной:
,причем
предел этот не зависит от того, будет
лихприближаться кссправа
или слева. Но при
выражение
,так
что и в пределе, при
,
получиться:
(1). Если же
,
то
,
и переходя здесь к пределу при
,
найдем:
(2). Сопоставляя соотношения (1) и (2),
приходим к требуемому заключению:
.
Замечание:проведенное рассуждение,
в сущности доказывает, что в упомянутой
точке с не может существовать и
(двухсторонней) бесконечной производной.
Т. О., заключение теоремы сохраниться,
если предположить в этой точке
существование (двухсторонней) производной,
не делая наперед оговорки, что она
конечна. В доказательстве было использовано
предположение, что с является внутренней
точкой промежутка, т.к. нам пришлось
рассматривать и точкихсправа от
с, и точки х слева от с. Без этого
предположения теорема перестала бы
быть верной: если функцияопределена в замкнутом промежутке и
достигает своего наибольшего (наименьшего)
значения на одном из концов этого
промежутка, то производная
на это конце (если существует), может и
не быть нулем.
Теорема Ролля.Пусть: 1) функцияопределена и непрерывна в замкнутом
промежутке
;
2) существует конечная производная
, по крайней мере, в открытом промежутке
;
3) на концах промежутка функция принимает
равные значения:
.
Тогда междуaиbнайдется такая точка с (
),
что
.
Доказательство.непрерывна в замкнутом промежутке
и потому во второй теореме Вейерштрасса
принимает в этом промежутке как свое
наибольшее значение М, так и свое значениеm. Рассмотрим 2 случая: 1.М=m. Тогда
в промежутке
;
сохраняет постоянное значение: в самом
деле, неравенство
в этом случае дает
при всех х; поэтому
=0
во всем промежутке, так что в качестве
с можно взять любую точку из (a,b).
2. .
Мы знаем, что оба эти значения функцией
достигаются, но, т.к.
,
то они не могут оба достигаться на концах
промежутка, и хоть одно из них достигается
в некоторой точке с междуaиb. В таком случае из
теоремы Ферма следует, что производная
в этой точке обращается в нуль.ч.т.д.
На геометрическом языке теорема Ролля
означает следующее: если крайние ординаты
кривой равны, то на кривой найдется точка, где
касательная параллельна оси х.
Теорема Логранжа.Пусть: 1)определена и непрерывна в замкнутом
промежутке
,
2)существует конечная производная
,
по крайней мере, в открытом промежутке
(а,b).
Тогда междуa иbнайдется такая точка
с (a<c<b),
что для нее выполняется равенство
Доказательство.Введем вспомогательную
функцию, определив ее в промежутке.
Эта функция удовлетворяет всем условиям
теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна
в
,
так как представляет собой разность
между непрерывной функцией
и линейной функцией. В промежутке (a,b)
она имеет определенную конечную
производную, равную
Наконец, непосредственной подстановкой
убеждаемся в том, что ,
т.е.F(x)
принимает равные значения на концах
промежутка. Следовательно, к функцииF(x) можно
применить теорему Ролля и утверждать
существование в (a,b)
такой точки с, что
.
Таким образом,
,
откуда
.
Теорема Коши:Пусть: 1) функциии
непрерывны в замкнутом промежутке
;
2) существуют конечные производные
и
,
по крайней мере, в открытом промежутке
(a,b);
3)
в промежутке (a,b).
тогда междуaиbнайдется такая точка с, что
(5)
Эта формула носит название формулы Коши.
Доказательсто.Установим сперва,
что знаменатель левой части нашего
равенства не равен нулю, т.к. в противном
случае выражение это не имело бы смыла.
Если бы былоg(b)=g(a),
то, по теореме Ролля, производнаяв некоторой промежуточной точке была
бы равна нулю, что противоречит условию
3); значит,
.
Рассмотрим теперь вспомогательную
функцию
Эта функция удовлетворяет всем условиям
теоремы Ролля. В самом деле, непрерывна в
, т.к. непрерывны
и
;
производная
существует в (a,b),
именно, она равна
.
Наконец , прямой подстановкой убеждаемся,
что
/
применяя названную теорему, заключаем
о существовании междуaиbтакой точки с, что
.
Иначе говоря,
=0
или
.
Разделив на
(это возможно, т.к.
),
получаем требуемое равенство.
В теоремах фигурирует, под знаком производной, некое среднее значение независимой переменной, которое нам известно.