6. Екстремум функції. Опуклість функції, точки перегину.

Пусть функция определена на точканазываетсяточкой локального максимума (минимума)функцииесли существует окрестностьт.такая что при всехвыполняется неравенство() (1). Точканазываетсяточкой строгого локального максимума (минимума)если в (1) нестрогие неравенства можно заменить строгими. Точканазываетсяточкой локального экстремумаесли она является либо точкой локального максимума (либо минимума).

Пусть функция определена наэта функция называетсявыпуклой (вогнутой)наесли касательная проведенная к графику функции в любой его точке лежит выше (ниже) графика. Функция выпуклая, есливыполняется неравенство. Функция вогнутая, есливыполняется неравенство.

Пусть функция определена в некоторой окрестноститочкии имеет производнуют.называетсяточкой перегиба если касательная к графику функции в т.относительно графиков функции изменяется при переходе через.

7. Первісна і невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця невизначених інтегралів.

Пусть функция определена натогда функцияназываетсяпервообразной для функцииесли:

1) непрерывна на;

2) во внутренних точках промежутка функциядифференцируема и удовлетворяет равенству.

Неопределенным интеграломот функциизаданной на некотором промежуткеназывается совокупность всех ее первообразных. Обозначается.

Свойства интеграла

1) Производная от интеграла = подинтегральной функции

2) , гдепроизводная функции

3) Линейность интеграла: интеграл суммы = сумме интегралов и constможно

выносить за знак интеграла и

Таблица неопределенных интегралов

8. Інтегрування за допомогою змінної та по часткам.

Теорема 1 (правило замены переменной в неопределенном интеграле):пусть функцияопределена на промежуткеи имеет первообразную на этом промежутке т. е. существует интеграл. Пусть функцияопределенная на промежуткенепрерывна на этом промежутке и имеет производнуюв его внутренних точках, кроме того, предположим, чтодля любоготогда функцияимеет первообразную наи при этом. Данная формула означает, что для нахождения интеграла в ее левой части нужно найти интеграл (первообразную) от функциии затем подставить вместоxего значение.

Доказательство:Пусть- первообразная для функциит. е.рассмотрим функцию- непрерывна накак композиция непрерывных функцийиво внутренних точкахфункцияимеет производную, которая вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции т. е.следовательно функцияесть первообразная для функциит. е. для подинтегральной функции в левой части формулы.

Теорема 2 (интегрирование по частям):пусть функциииимеют производные на промежуткетогда

(формула интегрирования по частям).

Доказательство:

Используя правило дифференцирования произведения

интегрируя это равенство получаемпо определению интеграла следовательно получаем

.

9. Визначений інтеграл. Формула Ньютона Лейбніця. Умова інтегрування функції.

Разбиением отрезка называется конечный набор точектаких что. Обозначается– разбиение т.отрезка.Мелкостью разбиения называется число– наибольшее из длин отрезков разбиения. Пусть назадана функцияпусть– некоторое разбиение, выберем внутри каждого отрезка т.и составим сумму. Данная сумма называетсяинтегральной суммойфункциидля разбиенияи выбранных точек. Обозначаетсяили. ЧислоIназываютпределом интегральных сумм если для любой последовательности разбиенийотрезкатакой чтои при любом выбореn.соответствующая разбиениюсоответствует последовательность интегральных суммсходится к числуIт. е.. Функцияопределенная на отрезкеназываетсяинтегрируемой по Риману если существует предел интегральных суммпри. Этот предел называется определенным интегралом (Римана) функциипо отрезкуи обозначается.где– подинтегральная функция,aиb– нижний и верхний пределы интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница

Необходимое условие интегрируемости:если функцияинтегрируема на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.