29. Рівняння з подільними змінними. Диференціальні рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.

Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида

f(x)dx+g(y)dy= 0.(10)

Пусть y(x) - решение этого уравнения, т.е.f(x)dx+g(y(x))dy(x) = 0. Интегрируя это тождество, получим- общий интеграл (общее решение) этого уравнения.

Пример: решить задачу Коши Исходное уравнение - с разделёнными переменными, интегрируя его, получим

. Соотношение (x-1)²+y³=C- общее решение (общий интеграл) уравнения; для того, чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, надо подставить в общее решения данные значенияx₀иy₀, и найти значение постояннойCна этом решении: (2-1)²+ 1³= 2C= 2. Таким образом, решение поставленной задачи: (x-1)²+y³= 2.

Уравнения с разделяющимися переменными.Так называются уравнения вида

(11)

или f₁(x)g₁(y)dx+f₂(x)g₂(y)dy= 0 .(12)

Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:

Записываем уравнение (11) в форме , затем делим на g(y) и умножаем на dx: .		Уравнение (12) делим на f2(x) g1(y): .
Эти уравнения - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:
.		.
В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному.
Если функция g(y) имеет действительные корни y1, y2, y3, …, то функции y = y1, y = y2, y = y3, …, очевидно, являются решениями исходного уравнения.		Если функция f2(x) имеет действительные корни корни x1, x2, x3, …, функция g1(y) имеет действительные корни y1, y2, y3, …, то функции x = x1, x = x2, x = x3, …, y = y1, y = y2, y = y3, … являются решениями исходного уравнения.
В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Примеры: 1. .

При такой форме записи общего интеграла решение y= 1 потеряно. Можно преобразовать общее решение к виду, который содержит это решение. Переобозначим постояннуюCкакln|C₁|:.

Вернёмся к обозначению постоянной интегрирования C; общее решениесодержит частное решениеy= 1 приC= 0.

2. Найти решение задачи Коши

Решаем уравнение: .

Здесь могут быть потеряны решения постоянная интегрирования записана как. Далее,. Общий интеграл уравнения

y²=C(x²– 1) + 1. Частные решениясодержатся в общем интеграле приC= 0, решенияутеряны (понятно, почему это произошло: если записать уравнение в форме, решённой относительно производной,, то, очевидно, на решенияхнарушаются условия, налагаемые теоремой Коши на правую часть уравнения). Всё множество решений:

y²=C(x²– 1) + 1,x= 1,x= -1. Мы должны найти ещё частное решение, удовлетворяющее начальному условиюy(1) = 5. Подстановка значенийx= 1,y= 5 в общий интеграл даёт 25=1, т.е. общий интеграл этого частного решения не содержит. Решениеx= 1 удовлетворяет начальному условию, это и есть решение задачи Коши.

К уравнениям с разделяющимися переменными сводятся уравнения вида (- постоянные). Если перейти к новой неизвестной функцииz=ax+by+c, то, и уравнение представляется как. Это - уравнение с разделяющимися переменными.

Пример: .

Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, (16)

(P(x,y),Q(x,y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функцииu(x,y), т.е. если существует такая функцияu(x,y), что. Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие. Если (16) - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна, т.е. (16) принимает видdu(x,y) = 0. На решенииy(x) получим

du(x,y(x)) = 0, следовательно,u(x,y(x)) =C, гдеC- произвольная постоянная. Соотношение

u(x,y) =Cи есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.

Для нахождения функции u(x,y) решается система уравненийИз первого уравнения этой системы находимс точностью до произвольной дифференцируемой поyфункции(эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменнойx); затем из второго уравнения определяется.

Пример: найти общее решение уравнения . Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах. Здесь;, т.е. это действительно уравнение рассматриваемого типа. Ищем функциюu(x,y) такую, что

Из первого уравнения . Дифференцируем эту функцию поyи приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы:. Если мы правильно решаем это уравнение (т.е. правильно определили его тип и правильно выполнили предыдущие действия), то в полученном уравнении длядолжны остаться только члены, зависящие отy. Действительно, представляякак, получим. Следовательно,, и общее решение уравнения имеет вид

.