30. Однорідні диференціальні рівняння.

31. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.

ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производнаявходят в уравнение в первой степени:

. (14)

Здесь p(x),q(x) - непрерывные функции.

Для решения уравнения (14) представим y(x) в виде произведения двух новых неизвестных функцийu(x) и v(x):y(x) =u(x) v(x). Тогда, и уравнение приводится к виду, или. Это уравнение решаем в два этапа: сначала находим функциюv(x) как частное решение уравнения с разделяющимися переменными; затем находимu(x) из уравнения. Итак,(мы не вводим в это решение произвольную постояннуюC, нам достаточно найти одну функциюv(x), обнуляющую слагаемое со скобками в уравнении). Теперь уравнение дляu(x) запишется как

. Общее решение уравнения (14):.

Запоминать эту формулу не надо, лучше усвоить порядок действий и воспроизводить его при решении каждой задачи.

Пример: . Решение:

. Теперь дляu(x) получим:,

и общее решение уравнения . Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям задачи Коши, подставим в общее решение. Решение задачи:.

Этот метод решения линейных уравнений часто реализуется по-другому - в форме вариации произвольной постоянной. Уравнение (14) называется однородным, если q(x) = 0. Пусть дано неоднородное уравнение (14). Оно, как и в предыдущем случае, решается в два этапа. Обнулим правую часть, получившееся уравнение будем называть однородным уравнением, соответствующим уравнению (14):. Решаем это уравнение:

(при делении на yтеряется решениеy(x) = 0, но оно входит в общее решение приC= 0). Теперь ищем общее решение уравнения (14) в виде, где- новая неизвестная функция; находим производнуюи подставляем в (14)yи:, или, где. Теперь.

Понятно, что обе реализации решения имеют один смысл (решение однородного уравнения играет роль функции v(x), варьируемая постояннаяC(x), - роль функцииu(x),).

Отметим ещё одно важное обстоятельство. Переменные xиy, входящие в уравнение, равноправны, поэтому при определении типа уравнения надо иметь в виду, что может оказаться предпочтительней искать решение в видеx=x(y), а не в видеy=y(x).

Пример: (x+y²)dy=ydx. Если мы представим это уравнение в виде, то решить его не сможем, так как оно не принадлежит ни одному из рассмотренных типов. Если же представить его в виде, то относительно функцииx=x(y) оно линейно. Решаем его методом вариации произвольной постоянной. Соответствующее однородное уравнение:. Его решение:

. Ищем решение данного уравнения в формеx=C(y) y. Тогда(постояннаяC₀переобозначена как). Утерянное решение -y= 0.

Уравнение Бернулли. Так называется уравнение

, (15)

где (приm= 0 уравнение линейно, приm= 1 - с разделяющимися переменными). Это уравнение решается одним из следующих способов:

1. Уравнение Бернулли сводится к линейному подстановкой z=y^1-m(приm>1 может быть потеряно решениеy= 0). Действительно,,. После деления уравнения (15) наy^mполучим, или- линейное уравнение.

Пример: (уравнение Бернулли,m= 2).

Подстановка . Решаем полученное линейное уравнение:.

2. Можно сразу решать уравнение Бернулли методом, которым решаются линейные уравнения, т.е. заменой y(x) =u(x) v(x):из этого выражения находимu(x), иy(x) =u(x) v(x).

Пример: решить задачу Коши Как и в предыдущем примере, это уравнение не попадает ни под один из рассмотренных типов: оно не является ни уравнением с разделяющимися переменными (наличие суммыx²+y), ни уравнением с однородной правой частью (слагаемые разных порядков - первого и второго в этой сумме), ни линейным, ни Бернулли (другая структура). Попробуем опять представим это уравнение как уравнение относительноx=x(y):Это уже уравнение Бернулли сm= -1. Начальное условие примет видx(1) = 2. Решаем уравнение:. Тогда

. Это общее решение уравнения (утерянное решение

y= 0 не удовлетворяет начальному условию). Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:; решение задачи Коши:.

32. Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.