![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Відображення множин (функції). Область визначення функції. Монотонні функції. Парні і непарні функції. Періодичні функції.
- •2. Границя послідовності. Границя суми, різниці, добутку. Границя функції на нескінченності, границя функції в точці. Чудові границі .
- •3. Неперервність функції. 1-а і 2-а теореми Больцано-Коши, 1-а і 2-а теореми Вейерштраса.
- •4. Похідна функції, геометричний і механічний сенс похідної. Таблиця похідної. Похідні складних функцій. Правила диференціювання. Диференціал функції. Рівняння дотичної до графіка функції.
- •5. Основні теореми диференційного числення Ферма, Ролля, Лагранжа і Коши.
- •6. Екстремум функції. Опуклість функції, точки перегину.
- •7. Первісна і невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця невизначених інтегралів.
- •8. Інтегрування за допомогою змінної та по часткам.
- •9. Визначений інтеграл. Формула Ньютона Лейбніця. Умова інтегрування функції.
- •10. Площа плоскої фігури, рівняння якої задано у явному вигляді, параметричними рівнянням, в полярних кординатах.
- •11. Довжина дуги кривої, рівняння якої задано у явному вигляді, параметричними рівняннями, рівняннями в полярних координатах
- •12. Об'єм тіла и об'єм тіла обертання. Площа поверхні обертання.
- •13. Невласні інтеграли 1-го и 2-го роду.
- •14. Числові ряди, додатні числові ряди, сума ряду, необхідна умова збіжності ряду, основні теореми про числові ряди.
- •15. Ознаки збіжності Даламбера, Коши, інтегральна ознака збіжності, ознака порівняння, теорема про гармонійній ряд.
- •16. Знакозмінні ряди. Теорема Лейбниця. Абсолютна та умовна збіжність числового ряду.
- •17. Функціональні послідовності та ряди. Область збіжності функціонального ряду. Рівномірна збіжність, ознака рівномірної збіжності.
- •18. Степеневі ряди, теорема Абеля.
- •19. Інтегрування та диференціювання функціональних рядів.
- •20. Ряд Тейлора и ряд Маклорена.
- •21. Комплексні функції, комплексні послідовності, комплексні ряди.
- •22. Похідна функції комплексної змінної, умови диференційованості, поняття аналітичної функції.
- •23. Показательная функция, тригонометрическая функция комплексной переменной.
- •24. Логарифмічна та степенева функція комплексної змінної.
- •25. Показникові функція та тригонометричні функції комплексної змінної.
- •26. Інтегрування функції комплексної змінної.
- •27. Розклад функції комплексної змінної в ряд Лорана.
- •28. Звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Задача Коши. Існування та єдність рішення задачі Коші (теореми Пеано та Пікара)
- •29. Рівняння з подільними змінними. Диференціальні рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.
- •30. Однорідні диференціальні рівняння.
- •31. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.
10. Площа плоскої фігури, рівняння якої задано у явному вигляді, параметричними рівнянням, в полярних кординатах.
Площадь плоской
фигуры, уравнение которой задано в явном
виде
Пусть
функция у = f(x) определена, непрерывна и
неотрицательна на отрезке [а; b], тогда
плоская фигура, ограниченная дугой
графика функции на этом отрезке и прямыми
х = а, х = b, у = 0, называется криволинейной
трапецией. Площадь
криволинейной трапеции определяется
по формуле:
.
Площадь
«сложной» фигуры
Под
«сложной» фигурой будем понимать часть
плоскости, ограниченную непрерывными
на отрезке [а; b] кривыми
у
= f(x) и у = g(x) (f(x)
g(x),
x
[а;
b]) и прямыми х = а,
х = b. Площадь «сложной» фигуры находится по формуле:
.
Распространенной является постановка задачи о площади плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми. Предполагается, что эти кривые, пересекаясь, образуют некоторую ограниченную фигуру. В
этом случае пределы
интегрирования (х = а, х = b) заранее не
известны и должны быть определены из
решения системы уравнений:
Если задача поставлена корректно, то эта система имеет два решения, которые определяют координаты точек пересечения кривых.
Площадь фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой
Пусть
- параметрическое уравнение кусочно-гладкой
простой замкнутой кривой, проходимой
против часовой стрелки. Тогда формула
площади ограниченной данной кривой
фигуры имеет вид:
Если при изменении параметра t от 0 до Т кривая проходит по часовой стрелке, то в этих формулах необходимо сменить знак на противоположный.
Площадь плоской фигуры, уравнение которой задано в полярных координатах
Площадь
сектора,
ограниченного непрерывной кривой
r
= r()
и лучами
=
;
=
(
<
),
равна
Площадь
сегмента,
ограниченного непрерывными кривыми r
= r(
)
и р = р(
)
и лучами
=
;
=
(
<
),
равна
11. Довжина дуги кривої, рівняння якої задано у явному вигляді, параметричними рівняннями, рівняннями в полярних координатах
Равенство
назывпараметрическим уравнением
кривой, а переменнаяt– параметром. Точка
назыв началом кривой,
-
концом кривой. Аналогично определяется
плоская кривая с помощью равенств
.
Кривая lназыв замкнутой,
если ее начало совподает с концома=в.
Криваяlназыв непрерывно
дифференцируемой, если функциинепрерывно дифференцируема на отрезке
на
.
Рассмотрим плоскую кривую lи поставим вопрос о вычислении ее
длинны. Возьмем разбиениеотрезок
.
Это разбиение имеет вид
,
.
Каждой точке
соответственно точка кривой
.
Соединив т.
,
отрезками прямых получим ломанную. Она
вписана в кривуюl.
Каждому разбиению
отрезка
соответствует ломаная вписана в кривуюl. Обозначим
-
длину этой ломанной
,
где
-
положительное число, которое соответствует
всякому разбиению
.
Кривая lназывспрямляемой, если(т.е.
),
при этом сам придел
назывдлиной кривой.
Th: (вычисление длинны
кривой (заданная в явном виде)) Пустьlнепрерывно
дифференцированная плоская кривая,
заданная уравнением,
тогда криваяlспрямляема
и ее длина вычисляется по формуле
.
Док-во: Возьмем
.
Пусть
-
длинная вписанная ломаная
,
тогда имеем
.
Применим формулу Лагранжа к функции
и
,
тогда
,
где
- некоторые точки из интеграла
,
получим:
(1).
Правая часть (1) похожа на интегральную
сумму функции А, но ей не является, т.к.
.
Покажем, что сумма в формуле (1) стремится
при
к тому же приделу, что и интеграл суммы
,
т.е. к интегралу
из
(1), что кривая иlспрямляема и ее длина имеет вид
-
■.
Th:
Длина дуги заданной
явным уравнением
(2).
Док-во:
Дугу AB произвольным образом разделим
на n-частей, с точками:
.
Через точки
проведем отрезки, при этом -
.
Интегральная сумма для длины дуги.
-
■.
Вычисление дуги AB заданной параметрически
Задача:
Найти длину дуги, если AB:
Имеет
место формула:
(2')
Док-во:
Используем формулу (2)
Сокращая,
получаем формулу (2'). Вычисление длины
дуги AB заданной в полярной системе
координат. Выражение под знаком интеграла
в формуле (2) равно
и
называется дифференциалом длины дуги
.
Используя связь между ПСК и ДПСК, получаем:
(2'').