16. Знакозмінні ряди. Теорема Лейбниця. Абсолютна та умовна збіжність числового ряду.

Знакочередующийся ряд– ряд видагдеили ряд вида

Th(признак Лейбница). Пусть(1) – знакочередующийся ряд такой, что послед. неотрицат. чиселмонотонно убывает и, тогда ряд- сходится. Кроме тогоn-тый остаток рядаудовлетворяет неравенству(2) или, т.е. сумма остатка ряда по модулю не превышает последовательного отброшенного члена ряда.

Док-во: Рассмотрим частичную суммы четного порядка . Т.к. послед.- убывает, то все члены в скобках неотрицательные. Кроме того суммаполучена из суммыдобавлением неотрицательного слагаемогопоследовательностьмонотонно возрастает, с другой стороны запишемв виде. Все члены в скобках неотрицательные и кроме того(3) . Т. об., последовательность- монотонно возрастает и ограничена сверху числом, поэтомуконечный придел. Для сумм нечетного порядка имеем. По условию придел, то. Т. об., суммы четного и нечетного порядка, стремятся к одному и тому же числу, т.е. ряд- сходится. Докажем формулу (2). Из формулы (3). Рассмотримn-тый остаток, ряд (1) нечетного порядка 2n-1. Рассмотрим остаток ряда (1) четного порядка 2n. Ряд- есть знакочередующимся рядомего суммаудовлетворяет неравенству. Для суммы нечетного порядка можно доказать, что- неотрицательное. - ■

Таким образом, все ряды можно разбить на два класса:

1. К первому классу сходящихся рядов отнесем ряды, которые сходятся сами, и при этом ряды, составленные из абсолютных величин их членов, тоже сходятся - это так называемые абсолютно сходящиеся ряды.

2. Ко второму классу отнесем ряды, которые сходятся сами, но при этом ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся - это так называемые условно сходящиеся или неабсолютно сходящиеся ряды.

Если сходится ряд , то рядабсолютносходится.

Th1 (абсолютная сходимость числового ряда). Если ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится, т.е. если сходится ряд из модулей членов данного ряда, то сходится и данный ряд.

Док-во: Пусть задан ряд (1) члены произвольного знака. Рассмотрим ряд(2). Обозначими- частичные суммы ряда (1) и (2). Для произвол. натурального числаnиpимеем. Т. об., имеем(3). Т.к. ряд (2) – сходится, то последовательностьудовлетворяет критерию Коши для последовательности. Т.е.можно указать натуральныйтак , что при всехвыполняется неравенство. Из (3)что послед.удовлетворяет критерию Кошисходится, т.е. ряд (1) – сходится. - ■

Th1 (условная сходимость числового ряда(Римана)). Пусть ряд- сходится условно и пустьd- произвольное число, тогда члены рядаможно представить таким образом, что сумма полученных в результате перестановки рядасовпадают с числом А. Кроме того, можно указать такую перестановку членов ряда, при котором получим в результате этой перестановки рядбудет расходится.

17. Функціональні послідовності та ряди. Область збіжності функціонального ряду. Рівномірна збіжність, ознака рівномірної збіжності.

Функциональной последовательностьюназывается бесконечная последовательность вида, членами которой являются функции, при этом считаем, что каждая функция, задана на некотором одном и том же множестве Х и принимает значение вR, т.е.числовая функция.

Областью сходимости функциональнойпоследовательностиназывается множество всех элементов, при которых сходится числовая последовательность. Обозначается.

Очевидно, что .

Пусть задана функциональная последовательность , где- числовые функции, тогдафункциональным рядомназывается ряд вида(1).

Ряд (1) сходится, при некотором . Если этот х принадлежит области сходимости функциональной последовательности, т.е. если при данном х сходится числовой ряд. Множество всех х, при которых ряд (1) – сходится, называетсяобластью сходимости ряда. Обозначается.

Последовательностьравномерно сходитсяв функции, еслиможно указать натуральноетакое, что при всехвыполняется.

()

Рядсходится равномернона множестве Х в своей сумме, если последовательность его частичных суммсходится равномерно.

Th(признак Вейерштрасса равномерной сходимости). Пусть задан функциональный рядивыполняется, тогда если числовой ряд- сходится, то ряд- сходится равномерно на Х.

Док-во: Возьмем , т.к. ряд- сходится, тоимеемрядудовлетворяет критерию равномерной сходимости Коши, поэтому сходится равномерно на Х. - ■