Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Практикум
.pdf
81
Тест Голдфелда-Квандта применяется, если регрессионные остатки
предполагаются нормально распределенными случайными величинами. Тогда
выдвигаются гипотезы:
Н
о
:
)(
ii
u
=
- гомоскедастичность;
Н
1
:
)(
ii
u
- гетероскедастичность.
Порядок проведения теста следующий:
1 Все n наблюдений упорядочиваются по величине x. Результаты
представлены в таблице 3.1.
Таблица 3.1 – Упорядоченные значения по экзогенным переменным
№ компании
y x 1
45
69 3 57
63
2
59
58
6
60
57 5 62
55 4 72
52 8 77
49
7
78
51
9
81
46
10
85
44
2 Упорядоченную совокупность делят на три группы, причем первая и
третья должны быть равного объема с числом единиц большим, чем число
параметров в уравнении регрессии. Пусть в первую и третью группы отобрано по
k единиц.
Для рассматриваемого примера возьмем k = 4.
3 Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (4 первых
наблюдений) и для третьей подвыборки (4 последних наблюдений). Если
82
предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям X
верно, то дисперсия регрессии по первой подвыборке (сумма квадратов
отклонений
=
=
k
i
i
uS
1
2
1
) будет существенно меньше дисперсии регрессии по
третьей подвыборке (суммы квадратов отклонений
+−=
=
n
kni
i
uS
1
2
3
).
4 По каждой части находим уравнение регрессии (аналогично, как в
лабораторной работе 1):
1
3
103,3 0,8
110,7 0,8
yx
yx
=−
=−
2
1
2
3
4,5,
2,5.
i
i
Su
Su
==
==
Таблица 3.2 – Расчет суммы квадратов отклонений для подвыборок
Номер
региона
х
у u2
Номер
региона
х
у u2
1
45
69
69 0 8
77
49
50 1 3
57
63
60 9 7
78
51
49 4 2
59
58
59 1 9
81
46
47
1
6
60
57
58 1 10
85
44
44
0
итого
221
247
246
11
34
321
190
190
6
5 Для сравнения соответствующих дисперсий строится следующая F-
статистика:
1
3
S
S
F
набл
=
.
Если предполагается обратная зависимость дисперсии от значения
экзогенной переменной, то числитель и знаменатель меняются местами. Для
рассматриваемого примера наблюдаемое значение F – критерия составит:
83
11
1,83
6
набл
F ==
.
При сделанных предположениях относительно случайных
отклонений построенная F-статистика имеет распределение Фишера с
числами степеней свободы v1=v2=k–2, следовательно, критическое значение
составит
(0,05;2;2) 19
крит
F =
.
6 Если
крнабл
FF
, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности
отклоняется.
По проведенным расчетам мы получили, что
набл крит
FF
следовательно в ряду остатков не обнаружена гетероскедастичность.
Тест ранговой корреляции Спирмена основывается на
предположении о зависимости величины дисперсии регрессионных остатков
от значений экзогенных переменных. Выдвигаются гипотезы:
Н
о
:
0,=
ux
(гомоскедастичность);
Н
1
:
0
,
ux
(гетероскедастичность),
где
ux,
- коэффициент корреляции рангов Спирмена в генеральной
совокупности.
Для проведения теста значения х
i
и абсолютные величины ui
ранжируются (упорядочиваются по величинам).
Регрессионные остатки нами были получены ранее таблица 5.3, графа 5.
Расставляем ранги для экзогенной переменной и модуля остатков.
Результаты ранжирования, а также вспомогательные расчеты для расчета
коэффициента ранговой корреляции Спирмена представлены в таблице 3.3.
84
Таблица 3.3 – Расчетная таблица для проведения теста Спирмена
Номер
региона
х
u
модуль u
ранг x
ранг u
d2
1
45
1,3
1,3 1 8
49 2 59
-1,6
1,6 3 3
0
3
57
2,3
2,3 2 9
49
4
72 0 0 6 7 1 5
62
-2,8
2,8 5 1
16 6 60
-2 2 4 2 4 7 78
2,4
2,4 8 10
4
8
77
-0,1
0,1 7 6
1
9
81
-0,8
0,8 9 4
25
10
85
-0,5
0,5
10 5 25
итого
676
-1,9 - - - 174
Затем определяется коэффициент ранговой корреляции Спирмена:
,
где di - разность между рангами хi и ui, i = 1, 2, ..., n;
n - число наблюдений.
Тогда
,
2
174
1 6 0,05
10(10 1)
xu
r = − = −
−
.
Если коэффициент корреляции
ux,
для генеральной совокупности
равен нулю, то статистика
85
имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы v=n-2.
Следовательно, если наблюдаемое значение t-статистики превышает
табличное, то необходимо отклонить гипотезу о равенстве нулю
коэффициента корреляции , а следовательно, и об отсутствии
гетероскедастичности.
В нашем примере статистика Стьюдента равна:
2
0,05 10 2
0,15
1 0,05
t
− −
= = −
−
.
Табличное значение статистики Стьюдента составит t
(0,05; 8)
=2,3.
Таким образом, мы получили, что расчетное значение меньше
табличного, следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности
принимается на уровне значимости 5 %.
В основе применения теста Уайта лежит предположение, что
дисперсия регрессионных остатков представляет собой квадратичную
функцию от одного или нескольких факторов. Выдвигаются гипотезы:
Н
о
:
0=
i
- параметры уравнения вспомогательной регрессии
статистически незначимы (гомоскедастичность);
Н
1
:
0
i
- параметры уравнения вспомогательной регрессии
статистически значимы (гетероскедастичность).
Алгоритм теста включает следующие этапы:
1) допустим, исходная модель имеет вид:
01
.
i i i
y x u
= + +
В результате оценки данной модели получаем регрессионные остатки
ui;
2) оцениваем вспомогательную регрессию вида:
22
0 1 2 2
u x x
= + + +
,
86
где
- нормально распределенная ошибка.
Для оценки параметров построим систему нормальных уравнений:
Составим вспомогательную таблицу 3.4.
Таблица 3.4 – Расчетная таблица для оценки параметров
вспомогательной регрессии теста Уайта
Номер
региона
u х
1
1,3
1,69
45
2025
91125
4100625
76,05
3422,25
2
-1,6
2,56
59
3481
205379
12117361
151,04
8911,36
3
2,3
5,29
57
3249
185193
10556001
301,53
17187,21
4
0,0
0,0
72
5184
373248
26873856
0,00
0,00
5
-2,8
7,84
62
3844
238328
14776336
486,08
30136,96
6
-2,0
4,00
60
3600
216000
12960000
240,00
14400,00
7
2,4
5,76
78
6084
474552
37015056
449,28
35043,84
8
-0,1
0,01
77
5929
456533
35153041
0,77
59,29
9
-0,8
0,64
81
6561
531441
43046721
51,84
4199,04
10
-0,5
0,25
85
7225
614125
52200625
21,25
1806,25
итого
-1,9
28,04
676
47182
3385924
248799622
1777,84
115166,2
По данным таблицы 3.4 система нормальных уравнений примет вид:
87
Решив систему, найдем оценки параметров
Тогда вспомогательная регрессия принимает вид:
22
x01,0x98,08,25u
ˆ
−+−=
.
3) проверяется гипотеза о статистической значимости уравнения
вспомогательной регрессии. Исследуется статистика
,~
22
m
Rn
где R2 – множественный коэффициент детерминации для вспомогательной
регрессии;
п – количество наблюдений;
т – количество оцениваемых параметров во вспомогательной регрессии за
исключением свободного члена.
Если
22
m
Rn
, то нулевая гипотеза о гомоскедастичности остатков
отвергается, то есть делается вывод о присутствии гетероскедастичности.
Множественный коэффициент детерминации для вспомогательной
регрессии рассчитаем по формуле:
( )
( )
−
−
−=
2
22
i
2
2
i
2
i
2
uu
u
~
u
1R
.
Необходимые расчеты проведем в таблице 3.5.
88
Таблица 3.5 – Расчетная таблица для получения коэффициента
детерминации вспомогательной регрессии
Номер
региона
2
i
u
2
i
u
~
22
i
2
i
)u
~
u( −
222
i
)uu( −
1
1,69
2,21
0,27
1,24
2
2,56
4,28
2,97
0,06
3
5,29
4,18
1,23
6,18
4
0,00
3,39
11,50
7,86
5
7,84
4,32
12,40
25,36
6
4,00
4,31
0,10
1,43
7
5,76
2,06
13,67
8,74
8
0,01
2,32
5,36
7,81
9
0,64
1,18
0,29
4,68
10
0,25
-0,22
0,22
6,52
Итого
28,04
28,04
48,00
69,89
По данным таблицы 3.5 имеем
31,0
39,69
00,48
1R
2
=−=
.
По данным рисунка 3.16 находим:
1,331,010Rn
2
==
. Критическое
значение рассматриваемой статистики на 5 % уровне значимости при 2
степенях свободы составляет
99,5
2
2
=
. Следовательно,
22
m
Rn
, т.е. нулевая
гипотеза
о гомоскедастичности остатков принимается.
2 Проверить остатки на наличие автокорреляции используя
критерий Дарбина – Уотсона и Q- статистику Льюинга – Бокса
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели
по МНК является независимость значений регрессионных остатков (
i
u
) от
значений остатков во всех других наблюдениях. Отсутствие зависимости
89
гарантирует отсутствие коррелированности между регрессионными остатками
в любых номерах наблюдений (
( )
0,cov =
ji
uu
при
ji
) и, в частности между
соседними остатками (
( )
0,cov
1=−ii
uu
при
ni ,...,3,2=
).
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как
корреляция между показателями, упорядоченными во времени (временные
ряды) или в пространстве (перекрестные данные). Автокорреляция
регрессионных остатков обычно встречается в регрессионном анализе при
использовании данных временных рядов. При использовании перекрестных
данных наличие автокорреляции (пространственной корреляции) крайне редко.
Для проверки на наличие (отсутствие) автокорреляции первого
порядка широкое применение получил тест Дарбина—Уотсона. Тест основан
на вычислении статистики DW:
( )
=
=
−
−
=
n
i
i
n
i
ii
u
uu
DW
1
2
2
2
1
,
где - регрессионные остатки.
Выдвигается гипотеза Н
0
об отсутствии автокорреляции остатков. При
сравнении расчетного значения статистики (DW<2) с критическими dl и du на
заданном уровне значимости , с числами степеней свободы (число
экзогенных переменных в уравнении регрессии) и (объем выборки)
возможны следующие варианты.
1 Если DW< d
l
, то гипотеза Н
0
отвергается.
2 Если DW > d
u
, то гипотеза Н
0
не отвергается.
3 Если dl< DW< d
u
, то нельзя сделать определенного вывода по
имеющимся исходным данным (зона неопределенности).
При DW > 2, то с табличными значениями сравнивается величина (4-
DW).
90
Таблица 3.6 - Расчет критерия Дарбина – Уотсона
Номер
региона
остатки
ui
u
i-1
(ui – u
i-1
)2
остатки
2
1
1,3
-1,6
1,3
8,41
1,69
2
-1,6
2,3
-1,6
15,21
2,56
3
2,3
0,0
2,3
5,29
5,29
4
0,0
-2,8
0,0
7,84
0,00
5
-2,8
-2,0
-2,8
0,64
7,84
6
-2,0
2,4
-2,0
19,36
4,00
7
2,4
-0,1
2,4
6,25
5,76
8
-0,1
-0,8
-0,1
0,49
0,01
9
-0,8
-0,5
-0,8
0,09
0,64
10
-0,5
- - -
0,25
Итого
-1,9
-
-
63,58
28,04
По данным таблицы 3.6 получим:
( )
27,2
04,28
58,63
u
uu
DW
n
1i
2
i
n
2i
2
1ii
==
−
=
=
=
−
Так как расчетное значение больше 2, то с критическими значениями
сравниваем величину 4-DW=1,73. Критические значения критерия составят
dl = 0,88; d
u
= 1,32. Оно больше d
u,
следовательно, мы не можем отвергнуть
гипотезу Н
0
– в ряду остатков отсутствует автокорреляция первого порядка.
На практике могут существовать автокорреляции в остатках не только
первого, но и более высокого порядков. В таких случаях критерий ДарбинаУотсона не применим.
Рассмотрим гипотезу об отсутствии автокорреляции до порядка
:
( ) ( ) ( )
0...21:
0
====
rrrH
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]