Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Практикум
.pdf
11
Таблица 1.1 – Исходные данные
Номер
региона
Среднемесячная заработная
плата,
усл. ден. ед., х
Расходы на покупку
продовольственных товаров, %
к общему объему расходов, у
1
45
69 2 59
58 3 57
63 4 72
52
5
62
55
6
60
57 7 78
51 8 77
49 9 81
46
10
85
44
2 По выбранным переменным провести корреляционный и
регрессионный анализ:
– оцените тесноту связи между признаками с помощью парного
коэффициента корреляции
Величина линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту связи
рассматриваемых признаков в ее линейной форме. Поэтому близость
абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не
означает отсутствие связи между признаками. При иной спецификации модели
связь между признаками может оказаться достаточно тесной. Парный
линейный коэффициент корреляции рассчитаем по формуле 1.1:
. (1.1)
12
Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в границах:
от минус 1 до 1.
Если коэффициент регрессии b>0, то 0 <rxy<1, т.е. корреляционная связь
между переменными называется прямой и, наоборот, при b<0, -1<rxy< 0 –
обратной.
Составим расчетную таблицу 1.2.
Таблица 1.2 – Вспомогательная таблица для расчета коэффициента
корреляции и параметров уравнения регрессии
Номер региона
х у ху
у2
х2
1
45
69
3105
4761
2025
2
59
58
3422
3364
3481
3
57
63
3591
3969
3249
4
72
52
3744
2704
5184
5
62
55
3410
3025
3844
6
60
57
3420
3249
3600
7
78
51
3978
2601
6084
8
77
49
3773
2401
5929
9
81
46
3726
2116
6561
10
85
44
3740
1936
7225
итого
676
544
35909
30126
47182
В среднем
67,6
54,4
3590,9
3012,6
4718,2
Подставим значения в формулу 1.1:
, что означает тесную обратную
связь рассматриваемых признаков.
– рассчитайте коэффициент детерминации
13
Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат
линейного коэффициента корреляции r
xy
2
, называемый коэффициентом
детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии
результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии
результативного признака.
Соответственно величина (1 – r
xy
2
) характеризует долю дисперсии у,
вызванную влиянием остальных не учтенных в модели факторов.
Тогда по данным примера коэффициент детерминации составит:
,
т.е. вариация у на 94 % объясняется вариацией х. На долю прочих неучтенных
факторов приходится 16 %.
– оцените параметры уравнения парной линейной регрессии
Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида
. (1.2)
Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора х
иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него
фактические значения фактора.
Параметры а и b линейной регрессии рассчитаем по формулам (1.3):
,
xbya −=
. (1.3)
Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина
14
показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну
единицу.
Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента
регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно
распространенным в эконометрических исследованиях.
Формально, а - значение у при х=0. Если признак-фактор х не имеет и не
может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена
а не имеет смысла. Параметр а может не иметь экономического содержания.
Попытки экономически интерпретировать параметр а могут привести к
абсурду, особенно при а<0.
Интерпретировать можно лишь знак при параметре а. Если а>0, то
относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение
фактора. Иными словами, вариация результата меньше вариации фактора коэффициент вариации по фактору х выше коэффициента вариации для
результата у, т.е. Vx>Vy.
Подставив данные таблицы 1.2 в формулы (1.3) получим:
= –0,58,
Оценка уравнения парной линейной регрессии примет вид:
Величина коэффициента регрессии означает, что с ростом заработной
платы на 1 усл.ден.ед. доля расходов на покупку продовольственных товаров
снижается в среднем на 0,58 %.
15
– проверьте значимость оценки коэффициента регрессии с
помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α=0,05
Оценка существенности сводится к проверке гипотез:
Н
0
: - о незначимом отличии от нуля параметра регрессии, т.е. b=0
Н
1
: - о неравенстве нулю параметра, т.е. b≠0.
Нас будет интересовать больше всего то, чтобы основная гипотеза была
отвергнута. Для проверки этой гипотезы используется t-статистика, которая
имеет распределение Стьюдента.
Найденное по данным наблюдений значение t-статистики сравнивается с
критическим значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента.
Критическое значение определяется в зависимости от уровня значимости
=0,05 и числа степеней свободы, которое равно (n-2).
Если фактическое значение t-статистики, взятое по модулю, больше
критического, то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью
(1-) параметр регрессии значимо отличается от нуля.
Если фактическое значение t-статистики меньше критического, то нет
оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр регрессии незначимо
отличается от нуля при уровне значимости .
Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина
сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е.
. (1.4)
Для линейного парного уравнения регрессии стандартная ошибка
коэффициента вычисляется по формуле:
. (1.5)
16
Для расчета стандартной ошибки составим расчетную таблицу 1.3.
Таблица 1.3 – Вспомогательная таблица для расчета стандартной ошибки
коэффициента регрессии
Номер
региона
х
у
x
y
~
у -
x
y
~
2
)
~
(xyy −
2
)( xx −
1
2
3 4 5 6 7 1 45
69
67,7
1,3
1,69
510,76 2 59
58
59,6
-1,6
2,50
73,96
3
57
63
60,7
2,3
5,11
112,36
4
72
52
52,0
0,0
0,00
19,36 5 62
55
57,8
-2,8
8,07
31,36 6 60
57
59,0
-2,0
4,00
57,76 7 78
51
48,6
2,4
5,95
108,16
8
77
49
49,1
-0,1
0,02
88,36
9
81
46
46,8
-0,8
0,67
179,56
10
85
44
44,5
-0,5
0,25
302,76
итого
676
544
545,9
-1,9
28,26
1484,4
Определим стандартную ошибку для коэффициента регрессии m
b
по
формуле (1.5):
.
Далее вычисляем значения t – критерия Стьюдента по формуле (1.4):
.
17
Фактическое значение t – критерии превосходит критическое значение на
5 %-м уровне значимости при числе степеней свободы
( )
2−n
=8: t
крит
= 2,31.
Поэтому гипотеза Н
0
отклоняется, т.е. b отличается от нуля не случайно и
оценка коэффициента регрессии является статистически значимой.
– постройте доверительный интервал для коэффициента
регрессии
Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется по
формуле
. (1.6)
Поскольку коэффициент регрессии в эконометрических исследованиях
имеет четкую экономическую интерпретацию, то доверительные границы
интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых
результатов, например,
48 − b
. Такого рода запись указывает, что истинное
значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и
отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.
Рассчитаем доверительный интервал для коэффициента регрессии, для
чего определим предельную ошибку для параметра b.
.
Доверительный интервал для коэффициента регрессии определим по
формуле (1.6):
.
Анализ верхней и нижней границ доверительного интервала приводит к
выводу о том, что с вероятностью 95 % коэффициент регрессии, находясь в
18
указанных границах, не принимает нулевых значение, т.е. не является
статистически незначимым и существенно отличен от нуля.
– оцените с помощью F – критерия Фишера-Снедекора
значимость уравнения линейной регрессии
Проверить значимость уравнения регрессии – значить установить,
соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между
переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в
уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания
зависимой переменной.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-
критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент
регрессии равен нулю, т. е. b = 0, и, следовательно, фактор х не оказывает
влияния на результат у.
Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии.
Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов
отклонений переменной у от среднего значения
y
на две части - «факторную» и
«остаточную»:
. (1.7)
Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений
результативного признака у от среднего значения y вызвана влиянием
множества причин. Условно разделим всю совокупность причин на две группы:
изучаемый фактор х и прочие факторы. Если фактор не оказывает влияния на
результат, то линия регрессии на графике параллельна оси ох и y=
x
y
~
. Тогда вся
дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих
факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадет с остаточной. Если же
19
прочие факторы не влияют на результат, то у связан с х функционально и
остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов
отклонений, объясненная регрессией, совпадает с общей суммой квадратов.
Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы,
т. е. с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней
свободы связано с числом единиц совокупности п и с числом определяемых по
ней констант.
Существует равенство между числом степеней свободы общей,
факторной и остаточной суммами квадратов. Число степеней свободы
остаточной суммы квадратов при линейной регрессии составляет п -2. Число
степеней свободы для общей суммы квадратов определяется числом единиц, и
поскольку мы используем среднюю вычисленную по данным выборки, то
теряем одну степень свободы. Итак, имеем два равенства (1.8) и (1.9):
, (1.8)
n-1=1+(n–2). (1.9)
Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число
степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или, что то же самое,
дисперсию на одну степень свободы D:
,
,
.
Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну
степень свободы, получим величину F-отношения (F-критерий):
20
. (1.10)
Данная статистика имеет распределение Фишера-Снедекора. По таблицам
распределения находят критическое значение F – критерия Фишера в
зависимости от уровня значимости
(обычно его берут равным 0,05) и двух
чисел степеней свободы k1=1, k2=n-2.
Вычисленное значение F-отношения признается достоверным (отличным
от единицы), если оно больше табличного. В этом случае нулевая гипотеза об
отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности
этой связи.
Если же величина окажется меньше табличной, то вероятность нулевой
гипотезы выше заданного уровня (например, 0,05) и она не может быть
отклонена без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии связи.
В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым. H
0
не
отклоняется.
Для расчета критерия построим вспомогательную таблицу 1.4.
Таблица 1.4 – Вспомогательная таблица для расчета наблюдаемого
значения F – критерия Фишера-Снедекора
Номер региона
х
у
x
y
~
у -
x
y
~
2
)
~
(xyy −
2
)
~
( yyx−
1
2
3 4 5 6 7
1
45
69
67,7
1,3
1,69
176,89
2
59
58
59,6
-1,6
2,50
26,83 3 57
63
60,7
2,3
5,11
40,20 4 72
52
52,0
0,0
0,00
5,57
5
62
55
57,8
-2,8
8,07
11,83
6
60
57
59,0
-2,0
4,00
21,16 7 78
51
48,6
2,4
5,95
34,11
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]