Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механические колебания. Сборник задач с решениями. Задачник для СПО
.pdf
СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
__________________________________________________________________
ФИЗИКА.
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.
СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ
ЗАДАЧНИК ДЛЯ СПО
Рекомендовано Учебно-методическим отделом СПО в качестве задачника
для использования в учебном процессе образовательными учреждениями
среднего профессионального образования по всем профессиям и специальностям
Составитель Б.К. Лаптенков
Саратов
Профобразование
2026
УДК 531
ББК 22.3
Ф50
Составитель:
Лаптенков Б.К. — канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры
общей физики ФГБОУ ВО «Чувашский государственный
университет им. И.Н. Ульянова»
Ф50 Физика. Механические колебания. Сборник задач с решениями :
задачник для СПО / составитель Б.К. Лаптенков. — 2-е изд., стер. — Саратов : Профобразование, 2026. — 164 с. — (Среднее профессиональное образование). — Текст : электронный.
ISBN 978-5-4488-0391-8
Задачник включает краткие сведения из теории механических гармо-
нических колебаний, методику, условия и решения более ста задач по разделу «Механические колебания». В издание не включены задачи на механические волновые процессы. Цель данного задачника заключается в том,
чтобы научить студентов грамотно решать задачи на механические колебания: от анализа условия задачи и определения пути ее решения до получения ответа и его анализа.
Подготовлен с учетом требований Федерального государственного
образовательного стандарта среднего профессионального образования.
Предназначен для студентов всех профессий и специальностей, изучающих дисциплину «Физика». Может быть полезен для школьников,
обучающихся в классах физико-математического профиля, учителей физики и преподавателей кафедр физики колледжей.
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4488-0391-8 © Лаптенков Б.К., составление, 2019
© ООО «Профобразование», 2026
Учебное издание
Лаптенков Борис Константинович
Издано в авторской редакции
Технический редактор, компьютерная верстка А.Д. Матлахова
Обложка С.С. Сизиумовой
Подписано к использованию 03.09.2025. Объем данных 8 Мб.
ООО «Профобразование»
8-800-511-14-70 (бесплатный звонок по России)
E-mail: office@profspo.ru, sale@profobr.pro
4
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ .......................................................................................................... 5
1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ.......................................................................... 7
2. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НА МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ................................................................... 13
3. КИНЕМАТИКА ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ..................................................................................... 19
4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ................................................................... 31
5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ УПРУГИХ И КВАЗИУПРУГИХ СИЛ ................................ 66
6. ПРОЦЕССЫ ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ
В КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ..................................................................... 112
ЛИТЕРАТУРА ......................................................................................................... 162
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Ньютон писал, что примеры при обучении полезнее правил. В справедли-
вости этих слов убеждается каждый, кому приходится учить или учиться. Поэтому самый эффективный способ научить решать задачи — это просто показывать, как они решаются, а самый эффективный способ научиться решать задачи самому — это просто их решать.
Цель задачника — научить студента грамотно решать задачи на механи-
ческие колебания путем прохождения всего пути решения вместе с читателем:
от анализа условия задачи и определения пути ее решения до получения ответа
и его анализа.
Механические колебания традиционно являются наиболее сложным разделом механики. Одна из причин сложившейся ситуации заключается в том,
что для решения конкретной задачи на механические колебания учащемуся
приходится «держать в уме» весь арсенал законов механики, другая — в недостаточном внимании этому разделу механики авторов пособий в методической
поддержке и составителей задачников в количественном и качественном подборе задач по разделам механики.
В данный задачник не включены задачи на механические волновые процессы, поскольку задачи на упругие волны — объекты, существенно отличающиеся
от материальной точки — мало похожи на задачи о колебательном движении материальной точки. Это связано, прежде всего, с принципиальным различием их
свойств и различием в математическом описании закономерностей колебательном
движения МТ и распространения упругой волны. Но некоторые общие черты у
них все же есть, поскольку упругая волна в ряде случаев может рассматриваться
как совокупность отдельных осцилляторов, связанных между собой непрерывным
взаимодействием. Поэтому изучение простых механических колебательных систем с одной степенью свободы является основой для изучения свободных колебаний систем со многими степенями свободы, т. е. упругих волн.
В задачник вошло более ста задач, большинство из которых были отобраны и переработаны автором из различных задачников и пособий, список которых приводится в конце книги. В соответствии с принятой в учебной литературе практикой, в пособии не делаются ссылки на источники, в которых впервые
была помещена та или иная задача, поскольку установить такой источник практически невозможно. Поэтому, как и в любом сборнике задач, автор выступает
здесь в большей степени как «собиратель» и «обработчик», тем не менее, и самим автором были составлены многие из приведенных в сборнике задач, а ре-
6
шение и анализ большинства задач написаны автором заново специально для
этой книги.
Учитывая все сказанное, этот сборник задач с решениями может быть рекомендован студентам технических специальностей средних профессиональных образовательных учреждений, изучающих дисциплину «Физика». Издание
также может быть полезно абитуриентам и школьникам старших классов для
повышения уровня подготовки по физике в качестве дополнения к имеющимся
сборникам задач, преподавателям в школьных классах с углубленным изучением физики и репетиторам.
7
1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Движения или процессы, при которых происходит частичная или полная
повторяемость состояния системы от времени называются колебаниями. Если
значения физических величин, характеризующих данное колебательное движение, повторяются через равные промежутки времени, то колебания называются
периодическими, а этот промежуток времени — периодом колебаний Т.
Мы будем рассматривать простейший случай периодического движения
материальной точки (МТ) вдоль определенной линии. В этом случае говорят,
что МТ совершает одномерное движение, т.е. обладает одной степенью свобо-
ды. Для определения положения МТ в пространстве в таком случае достаточно
всего одной координаты, в качестве которой может быть выбрано, например,
расстояние вдоль линии от некоторой точки, используемой в качестве начала
отсчета.
Колебания, в процессе которых величины, характеризующие движение
(смещение, скорость, ускорение, сила, энергия и т. д.), изменяются с течением
времени по закону синуса или косинуса, называются гармоническими, а МТ,
совершающая гармонические колебания, — гармоническим осциллятором.
Совокупность тел, участвующих в колебательном движении, называется
колебательной системой.
Основные уравнения кинематики гармонических колебаний можно установить из сопоставления равномерного вращения точки по окружности и движения ее проекции на ось, совпадающей с ее диаметром. Если точка В равномерно вращается с угловой скоростью
0
по окружности радиуса А (рис. 1), то
ее проекция на ось, совпадающую по направлению с горизонтальным диаметром, — точка С — совершает гармонические колебания вдоль горизонтальной
оси. График зависимости координаты точки С от времени показан в правой части рис. 1.
8
Смещение точки С от начала отсчета 0 движения — ее координата х — в
каждый момент времени определяется уравнением гармонического колебания:
0 0 0
2
cos cos cos ,x A A t A t
T
(1)
где х — величина смещения точки С от положения равновесия О в момент
времени t;
А — амплитуда колебания, т. е. величина максимального смещения точки
С от положения равновесия;
ω
0 —
циклическая частота колебаний;
φ0 — начальная фаза колебания;
Т =
0
2
— период колебания;
t — время.
Выражение в скобках под знаком тригонометрической функции называется фазой колебания и характеризует положение МТ в момент времени t.
Дифференцирование смещения х по времени t позволяет найти проекцию
скорости точки С на ось ОХ:
0 0 0 0 0 0
sin cos .
2
x
v х A t A t
(2)
Как видно из полученного выражения, при гармонических колебаниях
скорость точки С также изменяется по гармоническому закону, но изменение
скорости «опережает по фазе» изменение координаты на величину
2
, т.е. раз-
ность фаз колебаний скорости и координаты равна
2
. При этом в те моменты
времени, когда координата достигает максимальных значений
A
, скорость
точки обращается в нуль, и наоборот.
Произведение амплитуды смещения точки на циклическую частоту в
правой части выражения (1) имеет смысл максимальной скорости при колебаниях, т.е. амплитуды скорости колеблющейся точки. Таким образом, амплитуда
скорости равна:
max max 0
2
.v х A A
T
(3)
9
Дифференцируя проекцию скорости точки С по времени, найдем проекцию ускорения МТ на ось ОХ:
22
0 0 0 0
cos .
x
a x A t x
(4)
2
2
max max 0
2
4
a x A A
T
— (5)
амплитуда ускорения.
В общем случае амплитуда и начальная фаза колебаний определяются не
только свойствами колебательной системы, но и начальными условиями движения колеблющегося тела, т.е. начальным смещением его из положения равновесия
0
0x x t
и начальной скоростью
0
0.x x t
Так, подставив значения
00
иxv
в уравнения (1) и (2), получим:
00
0 0 0
cos ,
sin .
xA
vA
Решив эту систему относительно А и 0, получим:
2
0
0
2
0
;
v
Ax
0
0
00
arctg .
v
x
(6)
Если колебательную систему заставили совершать колебания (например,
сместив колеблющееся тело (МТ) из положения равновесия на х0 или сообщив
ему начальную скорость v0) и предоставили самой себе, то возникающие колебания называются собственными или свободными колебаниями системы, а частоту колебаний — собственной частотой.
Учитывая формулу (4), уравнение второго закона Ньютона (уравнение
движения) для МТ, совершающей гармонические колебания, можно представить в виде:
2
0
0.xx
(7)
Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических
колебаний.
10
С другой стороны, если обозначить через
x
F
проекцию на ось ОХ равно-
действующую всех сил, приложенных к МТ, то:
22
0 0 0 0
cos ,
x
F mx mA t m x kx
(8)
где k — постоянный для данной колебательной системы коэффициент, который
в каждом конкретном случае может быть выражен дополнительной формулой
через величины, характеризующие колебательную систему, и в то же время
всегда равный m2.
Из уравнения (8) следует, что МТ может совершать гармонические колебания лишь при условии, что в процессе движения равнодействующая сила изменяется пропорционально смещению и направлена к положению устойчивого
равновесия. Такую силу называют восстанавливающей или возвращающей си-
лой. Зависимость силы от положения МТ (7) встречается в физических задачах
довольно часто, а восстанавливающая сила может иметь различную физическую природу. Наиболее известной силой такого рода является сила, развиваемая пружиной — сила упругости. По этой причине восстанавливающие силы в
теории механических колебаний получили название квазиупругие силы. Напомним, что в случае действия на тело силы упругости пружины коэффициент k
называется жесткостью пружины.
Силы, прямо пропорциональные смещению тела (МТ) и направленные в
сторону, противоположные его смещения, но имеющие иную природу, чем
упругие, называются квазиупругими силами. Механические гармонические колебания, поэтому, совершаются только под действием упругих или квазиупругих сил.
Кинетическая энергия гармонически колеблющейся МТ равна:
2 2 2
22
2
00
0
к 0 0
sin
1 cos2 .
2 2 4
m A t
mA
mv
Wt
(9)
Потенциальная энергия колеблющейся МТ, смещенной на х от положения
равновесия:
2 2 2
22
2
0 0 0
0
п 0 0
cos
1 cos2 .
2 2 4
m A t
mA
kx
Wt
(10)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]