Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механические колебания. Сборник задач с решениями. Задачник для СПО
.pdf
141
2
m
T
k
относительно равновесного положения. Время движения бруска от правой
стенки короба до момента его упругого столкновения c левой стенкой будет
равно:
1
,
42
Tm
t
k
а его скорость в момент столкновения найдём их закона сохранения энергии:
22
1
1
. Откуда .
22
kL mv k
vL
m
По закону соударения упругих тел равной массы после столкновения со
стенкой брусок остановится, а короб начнёт движение к бруску со скоростью v1
и затратит на это движение время:
.
1
2
k
m
v
L
t
Таким образом, четвёртая часть искомого периода колебания бруска будет составлять:
1
12
1.
42
Tm
tt
k
Далее процесс продолжится в обратном порядке, т. е. после обмена скоростями движения короб остановится, а брусок начнёт движение по поверхности короба и сожмёт пружину на L. Следовательно, период колебания бруска
будет равен:
1
4 1 .
2
m
T
k
142
96. На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых бруска, со-
единённых пружиной с жесткостью k. В некоторый момент времени на левый
брусок начинает действовать вправо вдоль оси пружины постоянная по модулю
и направлению сила F. Определите амплитуду колебания брусков при их движении по столу.
Решение. Введём обозначения: (рис. 73): m — масса бруска; l0 — длина
пружины в недеформированном состоянии; х — изменение длины пружины
при её максимальном сжатии; а — ускорение центра масс системы; v — скорость движения обоих брусков при минимальном или максимальном растяжении пружины.
Когда на левый брусок начнёт действовать сила F, оба бруска придут в
движение с разными скоростями, а пружина начнёт сжиматься. При минимальном расстоянии между брусками l они будут двигаться с одинаковой скоростью v, равной скорости движения центра масс системы. При этом полная энергия системы будет равна сумме кинетических энергий брусков и потенциальной
энергии пружины:
.
2222
2
2
222
kx
mv
kxmvmv
Так как эту энергию система приобрела за счёт работы силы F, действующей на левый брусок, то согласно закону сохранения энергии:
FL
2
kx
mv
2
2
,
где L — расстояние, которое прошёл левый брусок к тому моменту, когда длина пружины стала минимальной:
l = l0 — x.
143
Так как на систему тел действует постоянная внешняя сила F, то центр
масс системы будет двигаться равноускоренно с ускорением:
m2
F
a
.
Если обозначить через S — расстояние, пройденное центром масс системы тел к тому моменту, когда длина пружины стала минимальной:
l = l0 — x,
а через t — время от момента начала движения до этого момента, то можно записать (рис. 17):
L = S + х/2;
2
,.
2
at
S v at
Подставляя эти выражения в уравнение закона сохранения энергии, получим:
.или,
2424
Отсюда
.
222
2
22222
2
22
2
kxFx
kx
m
tF
F
x
m
tF
kx
tma
xat
F
Решая это квадратное уравнение, получим:
х
1
= 0, х2 = F/2.
Таким образом, минимальное расстояние между грузами при их движении равно:
l
min
= l0 — x2 = l0 — F/k,
а максимальное — l
max
= l0 — x1 = l0.
Тогда амплитуда колебания будет равна:
max min
22
ll
F
A
k
.
144
97. Два шарика одинаковой массы m, соединённые невесомой пружиной
жесткостью k, лежат неподвижно на гладком горизонтальном столе. Третий
шарик такой же массы движется со скоростью v0 по линии, соединяющей центры двух первых шаров, и упруго сталкивается с одним из них (рис. 74). Определить амплитуду упругих колебаний соединённых пружиной шаров при их
дальнейшем движении.
Решение. После упругого соударения третий (движущийся) шарик остановится, а второй начнет двигаться влево со скоростью v0 и, деформируя пружину, передавать движение первому шарику. Так как на систему шариков в горизонтальном направлении не действуют никакие внешние силы, то центр масс
системы будет двигаться с постоянной скоростью, определяемой из закона сохранения импульса:
00
22
mv v
v
m
,
а шарики будут совершать гармонические колебания с амплитудой, которую
найдём из закона сохранения энергии:
2 2 2
22
0 0 0
2
2 2 2 4 2 4
mv v mv
kA m kA
.
Отсюда:
0
2
m
Av
k
.
98. Два бруска с массами m1 и m2, лежащие на гладкой поверхности стола,
соединены невесомой пружиной жёсткостью k. Левый брусок касается вертикальной стенки (рис. 75). Пружина сжимается на L при помощи двух нитей длиной L,
которые в некоторый момент времени перерезают, и бруски начинают совершать
145
линейные гармонические колебания. Определите скорость движения центра масс
системы и предел изменения длины пружины при колебаниях.
Решение. Введем обозначения: v2 — скорость правого бруска в момент
отрыва левого от стенки; vc — скорость движения центра масс; x
max
— величина
наибольшей деформации пружины при колебании брусков; L
max
— предел из-
менения длины пружины при колебаниях.
В отличие от предыдущей, в этой задаче координата центра масс систе-
мы уже не будет оставаться неизменной относительно поверхности при колебаниях брусков, так как после перерезания нитей в горизонтальном направлении
на левый брусок будет действовать сила нормального давления стенки, сообщающая системе определенное горизонтальное ускорение. Ускорение системы
станет равным нулю только в тот момент, когда деформация пружины исчезнет, левый брусок перестанет давить на стену и оторвется от нее. После этого
оба бруска начнут двигаться по столу, совершая колебания, друг относительно
друга, при этом центр масс системы будет двигаться равномерно и прямолинейно.
В момент отрыва левого бруска от стенки пружина будет не деформирована, следовательно, потенциальная энергия упругой деформации пружины перейдет в кинетическую энергию правого бруска:
2
2
22
.
22
kL
mv
Отсюда определим скорость правого бруска в момент отрыва левого от
стенки:
2
2
.
k
vL
m
Левый брусок в этот момент еще покоится, поэтому скорость движения
центра масс, вычисленная по формуле
146
1 1 2 2
c
12
m v m v
v
mm
будет равна:
2
c
12
.
L km
v
mm
(*)
Для нахождения предела изменения длины пружины при колебаниях воспользуемся законом сохранения и превращения энергии для двух состояний системы: первое — исходное состояние системы, второе — момент наибольшей
деформации пружины при колебании брусков, в который бруски покоятся друг
относительно друга, а центр масс движется с постоянной скоростью vc. Согласно этому закону полная механическая энергия системы в указанных состояниях
должна быть одинакова:
2
2
2
1 2 c
max
.
2 2 2
m m v
kx
kL
(**)
Подставляя в уравнение (**) выражение (*), получим:
1
max
12
.
m
xL
mm
Отсюда определим предел изменения длины пружины при колебаниях:
1
max max
12
2 2 .
m
L x L
mm
99. Два бруска одинаковой массы m, связанные невесомой нитью, при-
крепляют к висящей невесомой пружине жесткостью k (рис. 76) и без толчка
отпускают. Максимальная сила натяжения, которую выдерживает нить, равна
1,5 mg. Определите максимальное растяжение пружины при колебаниях.
147
Решение. Обозначим: Т — сила натяжения нити; х1 — вертикальная координата точки отрыва нижнего бруска; х2 — вертикальная координата верхнего бруска в крайнем нижнем положении при максимально растянутой пружине;
— циклическая частота колебаний; t — время; g — ускорение свободного па-
дения; v — скорость; а — ускорение.
Выберем начало координат в точке нахождения верхнего бруска при недеформированной пружине, а ось Х направим вертикально вниз. Если бы нить
не обрывалась раньше, чем оба бруска вместе дойдут до крайнего нижнего положения, то движение брусков представляло бы собой гармонические колеба-
ния с циклической частотой
2
k
m
около положения равновесия,
2
,
mg
x
k
в
котором сила упругости, равная
,F kx
уравновешивает силу тяжести 2mg. При
этом координата верхнего бруска изменялась бы по гармоническому закону:
а его скорость и ускорение, соответственно, как:
2
2
sin sin ,
2
cos cos .
2
mk
v A t g t
km
k
a A t g t
m
Зависимость силы натяжения нити от времени найдем из второго закона
Ньютона для нижнего бруска:
, 1 cos .mg T ma T mg t
148
Отсюда видно, что сила натяжения достигнет своего максимального возможного значения 1,5 mg раньше, чем оба бруска вместе достигнут крайнего
нижнего положения, т. е. при
cos 0,5t
в момент времени t1=
2
.
3
В этот мо-
мент нижний брусок отрывается, и крайнего нижнего положения достигнет
только верхний брусок. В момент отрыва верхний брусок будет находиться в
точке с координатой
1
3
,
mg
x
k
а его скорость в этой точке будет равна
1
3
.
2
m
vg
k
Максимальное удлинение пружины найдем из закона сохранения энергии
для верхнего бруска при его движении из точки с координатой х1 в точку с координатой х2. С учетом того, что в крайнем нижнем положении верхнего бруска
его скорость и потенциальная энергия в поле силы тяжести равны нулю, закон
сохранения энергии примет вид:
2 2 2
1 1 2
21
.
2 2 2
mv kx kx
mg x x
Подставляя в это уравнение выражения для х1 и v1, приведем это уравнение к виду:
22
2
22
2
29
0,
2
mg m g
xx
kk
откуда, решая квадратное уравнение и принимая во внимание, что максимальное удлинение пружины не может быть отрицательной величиной, находим искомое максимальное удлинение пружины:
2
11
1.
2
mg
x
k
100. Два шара одинакового радиуса, но отличающиеся по массе в три раза
и соединенные невесомой недеформированной пружиной, движутся со скоростью v0 по гладкой горизонтальной поверхности вдоль оси пружины к вертикальной стенке (рис. 77). При абсолютно упругом ударе шара большей массы о
стенку пружина сжимается на максимальную величину х
max.
Определите период
колебания шаров при их движении в обратном направлении.
149
Решение. Обозначим: vc — скорость движения центра масс шаров; m —
масса маленького шара; L1 и L2 — расстояния от центров шаров до их центра
масс в недеформированном состоянии пружины; х и у — смещения большого и
маленького шаров от центра масс при деформации пружины.
При движении шаров по горизонтальной поверхности полная механиче-
ская энергия системы будет равна кинетической энергии движения центр масс
шаров:
2
0
2
10
3
2.
2
m m v
W mv
В результате упругого удара большого шарика о стенку его скорость относительно горизонтальной поверхности поменяет направление на противоположное, сохраняя при этом неизменным модуль скорости. Центр масс шаров
при этом будет двигаться от стенки с постоянной скоростью, которую определим из закона движения центра масс системы тел:
1 0 0 0
cc
1
3
,.
42
n
ii
i
n
i
i
mv
mv mv v
vv
m
m
По мере сближения шаров после удара их относительная скорость движения будет уменьшаться, а пружина все более сжиматься. Максимальное сближение шаров произойдет в тот момент, когда их относительная скорость станет
равной нулю, и они оба будут двигаться относительно горизонтальной поверх-
ности с постоянной скоростью
0
2
v
. В этот момент полная механическая энергия
системы шаров будет равна:
2
2 2 2
max max 0
2
4
2
.
2 2 2 2
v
m
kx kx mv
W
150
Тогда на основании закона сохранения и превращения энергии для системы шаров можно составить уравнение:
2 2 2
22
max 0 max
0
3
2 , ,
2 2 2 2
kx mv kx
mv mv
из которого можно выразить жесткость пружины:
2
0
2
max
3
.
mv
k
x
Далее пружина начнет разжиматься, шары будут удаляться друг от друга
и, достигнув максимального смещения от положения равновесия, вновь начнут
сближаться. Таким образом, система придет в состояние гармонического колебательного движения под действием упругой силы пружины при одновременном движении центра масс шаров с постоянной скоростью v/2 в обратном
направлении.
Из определения центра масс механической системы тел имеем равенство:
1 2 2 1
3 , 3 .L m L m L L
Так как при движении шаров в обратном направлении их центр масс будет двигаться с постоянной скоростью, то в деформированном (сжатом) состоянии пружины расстояния от шаров до их центра масс должны удовлетворять
уравнению:
12
3 , 3 .m L x m L y x y
Тогда укорочение пружины при сжатии составит величину:
х+y =4x,
а упругая сила, с которой пружина действует на какой-либо из шаров (например, на первый), при колебаниях будет равна:
1
3 4 .Fxх x k x
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]