Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механические колебания. Сборник задач с решениями. Задачник для СПО
.pdf
121
81. К шару массой m, насаженному на закрепленную гладкую горизон-
тальную спицу, прикреплена своим нижним концом легкая пружина жесткостью k и длиной L в недеформированном состоянии. Верхний закрепленный
конец пружины отстоит от спицы по вертикали на расстоянии L (рис. 62). Шар
смещают вдоль спицы от положения равновесия на небольшое расстояние а и
отпускают. Определите циклическую частоту горизонтальных колебаний шара
на спице.
Решение. Обозначим: L — удлинение пружины в крайней точке смеще-
ния шара; v — максимальная скорость шара; — циклическая частота колеба-
ний шара;
Будем решать задачу на основе закона сохранения и превращения энергии. Полная механическая энергия шара в точке максимального горизонтального смещения шара от положения равновесия будет равна потенциальной энергии упруго деформированной пружины:
2
п
,
2
kL
W
которая в положении равновесия шара полностью превратится в его кинетическую энергию:
2
22
к
1
.
22
mv
W m a
Найдем связь между максимальным удлинением пружины и смещением
шара. При
:aL
2 2 2
22
22
11
22
a a a
L L a L L L L L
L L L
(см. матем. прилож. в разд. 2).
122
Тогда:
4 2 2
2
,.
8 2 2
ka m a a k
L L m
82. На горизонтальную мембрану насыпан мелкий песок. Мембрана со-
вершает в вертикальной плоскости гармонические колебания с частотой , в результате которых песчинки подскакивают на высоту h, по отношению к уровню
равновесного (недеформированного) состояния мембраны. Определите амплитуду колебаний мембраны. Примечание: мембрана — гибкая тонкая натяну-
тая пленка, обладающая упругими свойствами.
Решение. Обозначим: А — амплитуда колебаний мембраны; х — коорди-
ната мембраны; v — скорость мембраны; а — ускорение мембраны; — циклическая частота колебания мембраны; N — сила реакции опоры мембраны;
m — масса песчинки; g — ускорение свободного падения; t — время.
Начало координат выберем в точке равновесного положения мембраны, а
ось Х направим вертикально вверх. По условию задачи мембрана совершает
гармонические колебания, следовательно:
2
sin ,
cos ,
sin .
x A t
v A t
a A t
На песчинку действуют сила тяжести и сила реакции опоры со стороны
мембраны, поэтому второй закон Ньютона в проекции на ось Х для нее будет
иметь вид:
.N mg ma
В момент отрыва песчинки от мембраны N = 0 и, следовательно, a = –g.
Это означает, что песчинка отрывается в тот момент t
0,
в который:
2
00
2
sin sin .
g
g A t t
A
Скорость мембраны и песчинки в этот момент времени, а также их координата равны:
123
0 0 0 0
2
cos , sin .
g
v A t x A t
В дальнейшем песчинка движется в поле силы тяжести, поднимаясь на
высоту х, которую найдем из закона сохранения энергии:
22
00
,.
22
mv v
mg x x
g
Так как:
0
,h x x
то
2
22
2 2 2
24
2 2 2
22
0
0
2 2 2 2
1
1 sin
cos
.
2 2 2 2 2
g
A
At
A
At
g g g g A
h
g g g g
Отсюда найдем искомую амплитуду колебаний мембраны:
22
22
8
.
4
gh g
A
83. Брусок массы m, находящийся на гладком горизонтальном столе, при-
креплен к вертикальной стенке с помощью пружины жесткостью k и совершает
колебания с амплитудой А. В тот момент, когда пружина максимально растянута, на тело начинает и действует в течение полпериода постоянная сила F,
направленная к стенке. Определить максимальную скорость груза при колебаниях, после прекращения действия силы.
Решение. Обозначим: х — увеличение амплитуды колебания бруска по-
сле действия силы.
124
Увеличение сжатия пружины, вызванное действием силы, можно найти
из закона сохранения механической энергии, учитывая, что в крайних положениях скорость бруска обращается в нуль, и кинетическая энергия системы также будет равна нулю. Согласно этому закону изменение полной механической
энергии системы должно быть равно работе диссипативной силе F:
2
2
, 2 .
22
k A x
kA
W A F A x
(*)
В этом уравнении учтено, что сила F действует в течение полупериода,
следовательно, за это время брусок пройдет путь от точки максимального растяжения пружины до точки ее максимального сжатия равный двум исходным
амплитудам и отрезку пути, на который возрастет амплитуда последующих колебаний бруска. Отсюда получим квадратное уравнение относительно приращения амплитуды:
2
2 4 0.k x kA F x FA
Решением этого уравнения будет:
2.F
xk
Следовательно, амплитуда колебаний после прекращения действия силы
станет равной
1
2
.
F
AA
k
Максимальная скорость бруска, которая достигается при прохождении им
положения равновесия, будет равна:
max 1
2.
kF
v A A
mk
84. Два бруска равной массы находятся на гладком горизонтальном столе
и прикреплены к противоположным вертикальным стекам с помощью двух
пружин с коэффициентами жесткости k и 4k (рис. 64). Бруски одновременно
приводят в колебательное движение в горизонтальной плоскости вдоль общей
оси пружин: первый — толкают влево, второй отпускают, предварительно сжав
пружину. Определить, до какого минимального расстояния сблизятся бруски в
процессе колебаний, если максимальные кинетические энергии брусков одина-
125
ковы и равны W, а расстояние между ними при недеформированных пружинах
равно
8
.
W
k
Решение. Обозначим: А1 и А2 — амплитуды колебаний первого и второго
брусков; m — масса брусков; ω — циклическая частота колебаний первого
бруска.
С помощью закона сохранения механической энергии определим амплитуды колебаний брусков:
22
12
12
24
,.
2 2 2
kA W kA W
W A W A
kk
Частота колебаний второго бруска по условию задачи должна быть в два
раза больше частоты
k
m
колебаний первого бруска. Направим ось Х в сто-
рону смещения второго бруска, а начало отсчета выберем в точке нахождения
первого бруска при недеформированной пружине. В этом случае уравнения
гармонических колебаний для брусков с учетом начальных условий задачи будут иметь вид:
1 1 2 2
8
sin , cos2 .
W
x A t x A t
k
Расстояние между брусками х = х2 — х1 в этом случае будет изменяться
со временем по закону:
21
2
2 cos2 sin
W
x A t A t
k
и достигнет минимального значения в тот момент времени, когда соs 2ωt и sin
ωt примут свое минимальное значение –1:
min 2 1
2
2.
2
WW
x A A
kk
126
85. При колебаниях математического маятника сила натяжения нити из-
меняется в пределах от Т1 до Т2. Определите угловую амплитуду его колебаний.
Решение: Обозначим: l — длина маятника; α — угловая амплитуда; m —
масса маятника; v — максимальная скорость маятника (при силе натяжения нити Т2); g — ускорение свободного падения; h — максимальная высота подъема
тела при колебаниях.
Минимальная сила натяжения нити маятника Т1 будет в точке максимального отклонения маятника от положения равновесия, т. е. при угле отклонения
равном угловой амплитуде. Максимальная сила натяжения Т2 — при прохождении маятника положения равновесия. Запишем второй закон Ньютона для
колеблющегося тела в проекции на ось, направленную к точке подвеса нити. В
точке максимального отклонения:
1
cos 0,T mg
(*)
при прохождении положения равновесия:
2
2
.
mv
T mg
l
(**)
В этой системе двух уравнений четыре неизвестных величины: m, l, v, и α.
Поэтому дополним эту систему уравнением закона сохранения энергии, согласно которому потенциальная энергия тела в точке наибольшего отклонения
должна быть равна кинетической энергии в нижней точке траектории его движения:
(***)
Подставляя квадрат максимальной скорости тела из выражения (***) в
(**), получим:
2
3 2cos .T mg
1
cos .T mg
Решая полученную систему уравнений, найдем:
α = arc
1
21
3
cos .
2
T
TT
2
2
, 2 1 cos .
2
mv
mgh gl v
127
86. Математический маятник представляет собой небольшой шарик, под-
вешенный на невесомой нити. Для того, чтобы этот шарик смог описать окружность в вертикальной плоскости, ему необходимо сообщить минимальную горизонтальную скорость v0. Определите, с каким периодом этот маятник будет
совершать малые колебания.
Решение. Обозначим: m — масса шарика; l — длина нити; Т — сила
натяжения нити; g — ускорение свободного падения; v1– скорость шарика в
верхней точке траектории.
Чтобы шарик смог описать окружность в вертикальной плоскости ему
необходимо сообщить в положении равновесия такую минимальную скорость,
которая бы позволила ему пройти верхнюю точку с запасом кинетической энергии, обеспечивающей прямолинейное состояние нити в верхней точке траектории при силе натяжения равной нулю.
Так как на шарик при движении по окружности действуют только две силы, одна из которых — сила тяжести — потенциальная, а другая — сила натяжения нити работы не совершает (она перпендикулярна вектору перемещения в
любой точке траектории движения шарика), то полная механическая энергия
шарика сохраняется.
Если принять за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии в поле
силы тяжести ее значение в нижней точке траектории, то уравнение закона сохранения и превращения энергии для двух положений шарика — в нижней и в
верхней точках траектории — в таком случае будет иметь вид:
2
0
2
mv
2
1
2.
2
mv
mgl
(*)
Поскольку по условию задачи (условие минимальности начальной скорости шарика) в верхней точке траектории на шарик должна действовать только
сила тяжести, то именно она и будет сообщать шарику центростремительное
ускорение в этой точке:
2
1
.
mv
mgl
(**)
Решая систему уравнений (*) и (**) относительно l , получим:
128
2
0
.
5
v
l
g
Отсюда период колебаний математического маятника будет равен:
0
2 0,9 .
v
l
T
gg
87. На подставке лежит тело массой m, подвешенное на пружине жестко-
стью k. В начальный момент пружина не растянута. Подставку начинают опускать с ускорением а (рис. 65). Через какое время подставка отделится от тела?
Определите амплитуду колебаний тела на пружине после отделения его от подставки.
Решение. Обозначим: а — ускорение движения тела; mg — сила тяжести;
N — сила реакции опоры; Fу = kx — сила упругости пружины.
Уравнение движения тела в проекции на вертикаль:
ma = mg — N — Fу.
К моменту отрыва тела от подставки (N = 0) пружина растянется на величину:
L =
k
agm
,
равную расстоянию, которое пройдут тело и подставка за это время, двигаясь равноускоренно с ускорением а:
L =
2
2
1
at
.
129
Тогда:
m g a
k
=
2
1
2
at
,
откуда:
1
2
m g a
t
ka
.
Определим теперь максимальное растяжение пружины, которое обозначим х
max
. В момент отрыва тела от подставки тело имело скорость:
aatv
2
m g a
ka
,
кинетическую энергию:
2
2
2
m g a a
mv
k
и потенциальную энергию:
mgh = mg(x
max
— L)=
2
max
m g a g
mgx
k
.
(Отсчет потенциальной энергии тела ведем от точки его максимального
смещения вниз). Так как пружина в этот момент растянута на длину:
L =
k
agm
,
то её потенциальная энергия равна
2
2
2
22
m g a
kL
k
.
130
Сумма энергий тела и пружины в момент отрыва тела от подставки (первое состояние системы) , следовательно, будет равна:
2
2
1 max
.
2
m g a
W mgx
k
В момент максимального растяжения пружины (второе состояние системы) скорость тела, а значит и его кинетическая энергия, равны нулю, а потенциальная энергия пружины равна:
2
2
max
2
kx
W
.
По закону сохранения энергии полная механическая энергия системы:
W1= W2,
или
2
2
2
max
max
0, откуда
22
m g a
kx
mgx
k
max,min
2
.
m a g a
mg
x
kk
В этом выражении знак «+» соответствует максимальному растяжению
пружины при колебаниях, а знак «–» — минимальному растяжению пружины
при колебаниях. Следовательно, амплитуда колебания будет равна полуразности обоих корней уравнения, т.е.
.
2kagam
A
88. Математический маятник представляет собой небольшой шарик, под-
вешенный на невесомой нити. Натянутую нить с шариком отводят в горизонтальное положение и отпускают. Определите, при каком угле отклонения нити
от вертикали вектор ускорения шарика при его колебаниях будет направлен горизонтально.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]