Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механические колебания. Сборник задач с решениями. Задачник для СПО
.pdf
11
Следовательно, кинетическая и потенциальная энергии при гармонических колебаниях МТ изменяются по гармоническому закону относительно максимальных значений с удвоенной частотой.
Полная механическая энергия колеблющейся МТ равна:
22
0
.
2
mA
W
(11)
Пусть отклонение системы, имеющей одну степень свободы, от положения равновесия при одномерных колебаниях тела описывается некоторой
обобщенной координатой q (ей может быть, например, величина смещения тела
вдоль некоторой оси, угол поворота стержня и т. п.), а выражение для полной
механической энергии системы имеет вид:
22
.W Aq Bq
(12)
В этом выражении А и В — положительные константы,
2
q
– квадрат ско-
рости изменения величины q.
Если в колебательной системе отсутствует трение, то ее полная механическая энергия остается неизменной. Следовательно, производная от полной
механической энергии системы по обобщенной координате должна быть равна
нулю. Отсюда получаем:
0, .
A
Aq Bq q q
B
(13)
Поскольку
A
B
0, то это уравнение совпадает с дифференциальным урав-
нением гармонических колебаний:
2
0
.qq
Следовательно, колебания являются гармоническими тогда (и только тогда!), когда выражение для полной механической энергии колебательной системы
имеют вид формулы (12), причем циклическая частота ее колебаний равна:
0
,
A
B
(14)
12
а период колебаний:
2.
B
T
A
(15)
МТ, подвешенная на легкой нерастяжимой и невесомой нити, совершающая
гармонические колебания под действием силы тяжести и натяжения нити,
называется математическим маятником. При углах отклонения, меньших 8,
колебания математического маятника являются гармоническими с периодом
колебания:
2,
l
T
g
(16)
где l — длина нити маятника, g — ускорение свободного падения.
Тело массой m, закрепленное на упругой невесомой пружине и совершающее колебания под действием упругой силы, называется пружинным маятником. Период колебания пружинного маятника равен:
2,
m
T
k
(17)
где k — жесткость пружины. Этот коэффициент зависит от модуля упругости
материала пружины и от ее геометрических размеров.
Таким образом, для возникновения и существования гармонических колебаний необходимо выполнение следующих условий:
колебательная система должна иметь устойчивое положение равновесия,
причем величина силы, восстанавливающей систему в положение равновесия,
должна быть пропорциональна смещению системы от положения равновесия;
колебательной системе должна быть сообщена избыточная энергия, ли-
бо в виде потенциальной энергии — путем смещения тела от положения равновесия и предоставления его затем самому себе, либо в виде кинетической энергии — путем сообщения телу, находящемуся в положении равновесия некоторой скорости, либо и тем и другим одновременно;
избыточная энергия, сообщенная системе, не должна в процессе воз-
никшего колебания полностью тратиться на работу сил трения.
13
2. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НА МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Подборка разбираемых в школе задач на механические колебания, вклю-
чает в себя задачи на нахождении кинематических и динамических характеристик колебаний МТ (тела) или связанной системы тел, задачи на колебания математических и пружинных маятников. Все эти задачи решаются на основе
приведенных выше формул и определений.
Как мы уже говорили, любые механические гармонические колебания
происходят под действием упругих или квазиупругих сил, поэтому разделение
задач на кинематику и динамику гармонических колебаний носит, скорее всего,
условный характер. Поэтому, говоря о задачах по кинематике гармонических
колебаний мы, во-первых, будем иметь в виду то, что кинематические уравнения движения МТ при гармонических колебаниях совсем другие и не похожи
на те, которыми мы пользовались при решении задач на кинематику равномерного и равноускоренного движения тел. Во-вторых, то, что для решения этих
задач нам не потребуется привлекать законы динамики.
Если задано по условию задачи уравнение гармонического колебания
МТ, то основные кинематические параметры ее колебания можно найти на основе определений по формулам:
период T и частота колебаний МТ связаны с циклической частотой
формулами:
0
0
2
, 2 .T
смещение тела относительно положения равновесия в произвольный
момент времени определяется уравнением гармонического колебания (1);
скорость и ускорение тела при гармонических колебаниях определяются
по формулам (3) и (4);
амплитуду и начальную фазу колебаний МТ можно определить из фор-
мулы (6).
Основная задача динамики колебательного движения МТ или системы
материальных точек состоит в том, чтобы найти период и амплитуду их колебаний, определяя приложенные к ним внешние силы и связи и начальные условия движения. Напомним, что связями в механике называют тела (нити, пружины, опоры, стенки), ограничивающие свободу движения рассматриваемого тела.
14
Период или циклическую частоту колебаний МТ (тела) можно опреде-
лить несколькими способами.
Первый способ: привести уравнение движения тела к виду (7) и из этого
уравнения выразить
0
;
Второй способ: выразить проекцию Fх результирующей силы, действующей на колеблющееся тело, как произведение смещения тела х от его положения равновесия на соответствующий коэффициент восстанавливающей силы k
(формула 8), который всегда должен быть равен
2
0
m
;
Третий способ: определить полную механическую энергию колебательной системы как функцию обобщенной координаты q (12) и с помощью формулы (15) выразить период колебаний;
Четвертый способ: если известна амплитуда и максимальная скорость
тела при колебаниях, воспользоваться формулой (3).
Для определения периода колебаний первым и вторым способами необходимо придерживаться следующей схемы решения:
а) сделать схематический рисунок по условию задачи и указать на нем все
силы, действующие на тело в состоянии равновесия и в произвольный момент
времени при смещении тела от положения равновесия на малую величину х;
б) указать на рисунке систему координат, при этом необходимо иметь в
виду, что положительное направление одной из координатных осей, например,
ОХ, лучше всего выбрать так, чтобы оно совпало с направлением к равновесно-
му положению МТ;
в) составить уравнение движения (второго закона Ньютона) для колеблющегося тела в векторной форме и затем в проекции на ось ОХ в виде уравнения (7) и из него выразить
0
;
г) если выражение для результирующей силы, действующей на тело, в
проекции на ось ОХ можно привести к виду (8), то по известному коэффициенту возвращающей силы можно определить циклическую частоту колебаний;
д) если в уравнение движения тела (7) или в формулу, определяющую коэффициент k (8), будут входить неизвестные величины, то их, как правило,
определяют из начальных условий задачи или условия равновесия тела. В некоторых случаях для этого могут оказаться полезными законы сохранения энергии или импульса для колеблющегося тела.
Для определения периода колебаний тела (системы тел) третьим способом необходимо:
а) выбрать нулевой уровень потенциальной энергии колеблющегося тела
(обычно за него принимают нижнее положение колеблющегося в вертикальной
15
плоскости тела или равновесное положение колеблющегося на пружине в горизонтальной плоскости тела);
б) отметить все кинематические величины, характеризующие механическую энергию тела (системы тел) в произвольный момент времени;
в) выбрать с учетом дополнительных условий задачи (например, условие
малости колебаний) наиболее удобную для данной задачи обобщенную координату тела (системы) и определить полную механическую энергию тела (системы тел) в произвольном состоянии по формуле (12);
г) по формуле (15) определить период колебания тела;
д) если в составленном выражении для полной механической энергии тела окажется неизвестная величина, то ее определяют либо из условия равновесия тела, либо из формул кинематики колебательного движения.
Четвертый способ определения периода колебаний тела основан на применении закона сохранения энергии при гармонических колебаниях. Если по
условию задачи определены координата и скорость тела в исходном положении
(в точке максимального смещения от положения равновесия), то из решения
уравнения этого закона, можно определить максимальную скорость тела, которую оно будет иметь в момент прохождения им состояния равновесия. Тогда по
формуле (3) можно определить циклическую частоту колебания тела.
Если по условию задачи на математический маятник кроме силы тяжести
и силы натяжения нити действует еще какая-то внешняя сила F, то период колебания маятника нужно определять по формуле:
эфф
2,
l
Tg
(18)
где
эфф
F
gg
m
.
Такой внешней силой может быт сила Архимеда, сила Кулона и др.
Если точка подвеса маятника движется с постоянным ускорением
0
a
(например, маятник установлен на ракете, в лифте, на скатывающейся с
наклонной плоскости тележке и т. п.), то период колебаний может быть найден
по той же формуле (17), где величина
эфф
g
определяется выражением:
16
эфф 0
.g g a
(19)
При решении задач на эту тему следует помнить о том, что
эфф
g
равно мо-
дулю геометрической суммы векторов ускорений, поэтому в общем случае для
его определения нужно, как правило, применять теорему косинусов.
Частота и период колебаний пружинного маятника, в отличии от математического, не зависят от наличия внешних сил и ускорения точки подвеса и определяются только параметрами системы — жесткостью пружины и массой тела
Амплитуда колебаний тела, как правило, определяется, или на основе
закона сохранения энергии по схеме, указанной в предыдущем абзаце, или по
формуле (6).
При решении многих задач на колебания связанных тел значительную
помощь может оказать использование понятия центра масс механической си-
стемы тел и теоремы о движении центра масс. Одни задачи просто невозможно решить, не прибегая к этим понятиям, решение других с их помощью
может оказаться гораздо проще и понятнее. При этом целесообразно придерживаться следующих рекомендаций:
а) прежде всего, необходимо установить характер внешних и внутренних
сил, действующих между связанными телами;
б) определить направление, по которому рассматриваемая система тел
является изолированной;
в) определить координату центра масс системы тел и характер его движения при взаимных колебаниях тел.
При этом нужно иметь в виду, что скорость движения центра масс в
направлении оси, вдоль которой рассматриваемая система тел является изолированной, с течением времени изменяться не будет, а в системе отсчета, связанной с центром масс, проекция суммарного импульса тел на это направление
будет равна нулю.
Если центр масс системы при колебаниях тел остается неподвижным относительно какой-то оси, то задачу о колебательном движении связанных тел
можно свести к динамике колебания одного тела. Для этого необходимо рассмотреть колебания этого тела в системе отсчета, связанной с центром масс
вдоль той оси, относительно которой центр масс остается неподвижным, записать соответствующие динамические и кинематические уравнения колебательного движения тела и решить полученную систему уравнений.
Многие задачи на колебания связанных систем можно сравнительно легко решить с помощью формул (12–15). При этом надо иметь в виду, что, если
17
центр масс колеблющейся системы тел движется с постоянной скоростью вдоль
некоторого направления, то кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетической энергии
c
W
относительного колебательного движения тел в посту-
пательно движущейся системе координат с началом в центре масс и кинетической энергии всей массы М тел, сосредоточенной в движущемся с этой постоянной скоростью
c
v
центре масс (теорема Кенига):
2
к к c
1
.
2
WW Мv
(20)
Гармонические колебания, рассматриваемые в этом пособии, как правило, являются малыми, т. е. происходят с малой линейной или угловой амплитудой. Поэтому при решении уравнений динамики колебательного движения часто бывают полезными математические формулы приближенных вычислений.
Вот некоторые из них: при x 1 выполняются следующие приближенные ра-
венства:
2
22
1
1;
1
1 1 ;
2
1
1;
2
1
11
;
2
e 1 ;
1 ln ;
ln 1 ;
log 1 .
ln
x
x
a
x
x
x
x
x
x
xx
x
a x a
a
x
a x a
xx
x
x
a
Если угол мал (1), то:
2
sin ;
1
cos 1 .
2
18
В заключение этого раздела сделаем еще одно существенное замечание.
Рассматривая приведенное в пособии решение той или иной задачи, необходимо ясно осознавать, что и как делается и почему именно этим способом решается данная задача. Пассивное восприятие решения задачи не научит решению,
а наоборот будет способствовать развитию интеллектуальной лености, привычки к механическому запоминанию, зазубриванию и т. д. Разобравшись в решении задачи желательно его изложить самому, не заглядывая в текст решения, а
может быть даже попытаться найти самому более удобное и изящное решение
задачи.
Как уже отмечалось во вводной части этого пособия — самый эффективный способ научиться решать задачи — это просто их решать самому. Поэтому,
изучив решение одной-двух задач, показанных в этом пособии, необходимо попытаться решить следующую задачу из этого раздела собственными интеллектуальными усилиями. Если это сразу не получится — сделать попытку на последующей задаче и т. д. Но эти попытки необходимы.
Желаем удачи!
19
3. КИНЕМАТИКА ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
1. Материальная точка (МТ) совершает гармонические колебания, кото-
рые можно описать уравнением:
2
sin /4 .x Аt
Определите период и амплитуду этих гармонических колебаний.
Решение. Коэффициент А в уравнении, которое задано по условию задачи, не является амплитудой гармонического колебания, так как в уравнении
гармонического колебания функция синус или косинус должна быть в первой
степени. По той же причине величина ω, стоящая в скобках, не является циклической частотой гармонического колебания МТ.
Для преобразования заданного выражения в уравнение гармонического
колебания воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени
функции синус:
2
1 cos2
sin .
2
Тогда заданное в задаче выражение можно преобразовать к виду:
cos 2 1 cos 2 .
2 2 2 2 2
A A A
x t t
Из этого выражения видно, что амплитуда гармонического колебания будет равна:
А1 = А/2,
а период колебания:
1
1
22
.
2
T
20
2. Определите амплитуду и циклическую частоту линейных гармониче-
ских колебаний МТ вдоль оси ОХ, если при смещениях х1 и х2 от положения
равновесия ее скорость равна соответственно v1 и v2.
Решение. Обозначим: А — амплитуда колебания; ω — циклическая ча-
стота колебания;
Из уравнений гармонических колебаний смещения и скорости следует, что:
1 1 0 1 2 2 0 2
1 1 0 1 2 2 0 2
sin sin , sin sin .
cos cos , cos cos .
x A t A x A t A
v A t A v A t A
(*)
Для решения полученной системы уравнений воспользуемся известным
тригонометрическим равенством:
22
sin cos 1.
(**)
Выразим тригонометрические функции синус и косинус из выражения (*):
A
v
A
v
A
x
A
x
2
2
1
1
2
2
1
1
cos,cos,sin,sin
и подставим их в равенство (**):
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1, 1.
x v x v
A A A A
Выразим из второго уравнения циклическую частоту колебания ω:
22
2
22
22
2
v
v A x
Ax
(***)
и подставим полученное выражение в первое (знак плюс соответствует случаю,
когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси ОХ,
знак минус — когда эти направления противоположны):
2 2 2
2
12
1
2 2 2
2
1.
v A x
x
A A v
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]