Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механические колебания. Сборник задач с решениями. Задачник для СПО
.pdf
131
Решение. Обозначим: m — масса шарика; L — длина нити; v — скорость
шарика в момент времени, когда вектор ускорения шарика направлен горизонтально; Т — сила натяжения нити в этот момент; α — искомый угол отклонения
нити от вертикали; g — ускорение свободного падения.
На шарик при его колебаниях действуют две силы: сила тяжести и сила
натяжения нити (рис. 66), причем при искомом угле отклонения нити от вертикали α должно выполняться условие равенства нулю проекций этих сил на вертикальное направление, так как по условию задачи вектор ускорения шарика в
этот момент времени должен иметь горизонтальное направление:
cos 0T mg
.
Отсюда:
cos .
mg
T
(*)
С другой стороны, второй закон Ньютона для шарика в проекции на
направление нити можно записать в виде:
2
cos
mv
T mg
L
. (**)
Из этой системы уравнений мы не сможем определить искомый угол, т.к.
число неизвестных в этих уравнениях превышает число уравнений. Добавим к
этой системе еще уравнение закона сохранения и превращения энергии.
При движении шарика из начального положения ( первое состояние ) в
точку, определяемую угловой координатой ( второе состояние ), сила натяжения нити всегда будет направлена перпендикулярно вектору скорости и поэтому работа этой силы при движении шарика будет равна нулю. Следовательно,
132
согласно закону сохранения и превращения энергии полная механическая энергия шарика в первом и во втором состояниях должна быть одинакова:
2
12
1 cos .
2
mv
W W mgL mgL
Из этого уравнения найдем:
2
2 cos .v gL
(***)
Подставляя выражение (***) в (**), получим:
2
3
3 cos .
2
mv
T mg
L
Откуда:
13
cos arccos .
3 cos 3cos 3
mg mg
T mg
89. К висящей нерастянутой пружине, закреплённой верхним концом,
осторожно подвешивают небольшое тело и отпускают его без толчка. Максимальное растяжение пружины равно хm. Определить частоту вертикальных колебаний тела.
Решение. Обозначим: m — масса подвешенного тела; k — коэффициент
жесткости пружины; х0 — растяжение пружины в положении равновесия при
подвешенном теле;
После подвешивания тела растяжение пружины будет происходить до тех
пор, пока кинетическая энергия движущегося тела не перейдёт в потенциальную энергию максимально растянутой пружины. Далее система будет совершать гармонические колебания относительно равновесного положения х0, величину которого можно определить из условия равновесия тела:
00
, откуда .
mg
mg kx x
k
133
Запишем закон сохранения энергии для этого колебательного процесса,
приняв за начало отсчёта высоты подъёма тела точку максимального смещения
тела вниз при колебаниях:
2
2
2g
, 2 , 2 , 2 , откуда получим .
2
m
m m m m
m
kx
k
mgx mg kx g x g x
mx
90. Скользящий по гладкому горизонтальному столу с некоторой постоян-
ной скоростью шар (первый шар) ударяется о другой шар такого же размера, но
большей массы (второй шар), который прикреплен к стене с помощью пружины
так, что ось пружины совпадет с прямой, проходящей через центры шаров (рис.
67). Считая удар шаров абсолютно упругим, центральным, и мгновенным, а деформацию пружины упругой, определите, во сколько раз (минимум) масса второго шара должна превышать массу первого шара, чтобы второй шар после удара
смог совершать горизонтальные гармонические колебания на пружине.
Решение. Введем обозначения (рис. ): m1 и m2 — массы первого и второго
шара;
11
иvv
— скорости первого шара до и после удара;
2
v
— скорость второго
шара после удара; А — амплитуда колебаний второго шара; k — жесткость
пружины; Т — период колебаний второго шара;
Для того чтобы второй шар после удара смог совершать горизонтальные
гармонические колебания на пружине он не должен больше после удара сталкиваться с первым шаром. Это возможно только в том случае, если за время
равное 3/4 периода колебаний второго шара от момента столкновения шаров,
первый шар успеет отскочить обратно на расстояние, не меньшее, чем амплитуда колебаний второго шара. Математически это условие запишется в виде равенства:
2
11
33
, 2 .
44
m
Tv A v A
k
(*)
Скорости обоих шаров после удара определим из законов сохранения импульса и механической энергии для абсолютно упругого центрального и прямо-
134
го удара. При указанных в условии задачи допущениях эти законы сохранения
имеют вид:
1 1 1 1 2 2
22
2
1 1 2 2
11
,
.
2 2 2
m v m v m v
m v m v
mv
Решая эту систему уравнений, найдем:
1 2 1
11
12
1 2 1 2
2
,.
m m v
mv
vv
m m m m
Амплитуду колебаний второго шара можно выразить из закона сохранения механической энергии для системы, состоящей из второго шара и пружины. После удара второй шар приобретет кинетическую энергию, которая в момент максимального сжатия пружины и остановки второго шара полностью
превратится в потенциальную энергию упруго деформированной пружины:
2
2
22
2 1 1 2
2
12
2
,.
22
mv
kA m m v m
Av
k m m k
Подставляя найденные величины в (*), получим:
12
2 1 1 2
1 1 2 1
1 2 1 2
32
, 1,5 2 .
2
mm
m m v m
v m m m
k m m m m k
Отсюда выразим искомое отношение масс шаров:
2
1
2,71.
m
m
91. Небольшое тело, прикрепленное к стене недеформированной пружи-
ной, лежит на горизонтальном столе. Слева от тела поверхность стола шероховатая, справа — гладкая. Тело резким толчком смещают вправо, и оно, совершив одно полное колебание, останавливается. Определите, во сколько раз максимальное сжатие пружины при колебании больше его максимального
растяжения.
135
Решение. Обозначим: m — масса тела; k — коэффициент жесткости пру-
жины; х
max
— максимальное растяжение пружины, равное расстоянию, прой-
денному телом вправо из начального положения до остановки; х
min
— макси-
мальное сжатии пружины, соответствующее крайнему левому положению тела;
v0 — начальная скорость тела; g — ускорение свободного падения.
При движении груза вправо на тело в направлении движения будет действовать только консервативные сила упругости пружины, следовательно, полная энергия системы «тело + пружина» будет оставаться неизменной. Поэтому
для перемещения тела из состояния равновесия (рис. 68, б) в крайнее правое
положение (рис. 68, а) будет справедлив закон сохранения энергии:
22
max 0
22
k x mv
.
При движении тела влево на тело будет действовать уже диссипативная
сила трения, поэтому изменение полной механической энергии тела при его перемещении от крайнего правого положения до крайнего левого будет равно ра-
боте силы трения на пути х
min
:
2
2
max
min
min
.
22
kx
kx
mg x
(*)
При движении тела вправо к исходному положению на него опять будет
действовать сила трения и поскольку по условию задачи тело в исходном состоянии останавливается, то закон сохранения энергии в этом случае примет вид:
2
min
min
0.
2
kx
mg x
(**)
136
Решив систему уравнений (*) и (**), получим:
max min
2 2 2
,.
mg mg
xx
kk
Тогда:
max
min
2.
x
x
92. Подставка, совершая вертикальные гармонические колебания с ам-
плитудой А и циклической частотой , начинает двигаться из крайнего нижнего
положения вверх. Определите высоту от положения равновесия подставки, на
которую сможет подняться лежащий на ней брусок, после своего отрыва от поверхности подставки.
Решение. Введем обозначения: v — скорость бруска; а — ускорение
бруска; m — масса бруска; N — сила реакции подставки; g — ускорение свободного падения.
Выберем начало отсчета направленной вертикально вверх оси ОХ в крайней нижней точке положения подставки (рис. 69).
При движении подставки на брусок будут действовать сила тяжести и
сила реакции подставки. Поэтому в проекции на выбранную ось уравнение
движения бруска примет вид:
,.
xx
ma N mg N m g a
(*)
137
В момент отрыва бруска сила реакции подставки N = 0, и ускорение бруска будет равно:
отр.x
ag
Из выражения (*) следует, что брусок сможет оторваться от подставки
только в тот момент времени, когда его ускорение будет отрицательным, т.е.
направленным противоположно оси ОХ. Так как при гармонических колебаниях ускорение всегда направлено к положению равновесия, то, очевидно, что отрыв бруска возможен в момент времени, когда подставка с бруском будут
находиться выше этого положения.
По условию задачи подставка начинает движение их точки х = –А, поэтому при гармонических колебаниях ее координата, скорость и ускорение будут
меняться со временем по законам:
cos .x A t
2
sin ,
cos .
x A t
x A t
С учетом формул (4) и (6) координата точки отрыва и скорость бруска в
этот момент будут равны:
2 4 2
2
2
отр отр
24
,.
Ag
gg
x v A
(**)
После отрыва от подставки брусок будет двигаться с начальной скоростью
отр
v
вертикально вверх и поднимется на такую высоту от точки отрыва, ко-
торая будет определяться законом сохранения энергии:
2
отр
.
2
mv
mgh
Из этого уравнения с учетом выражения (**) определим высоту подъема
бруска:
2
2 4 2 2 2
отр
22
,
2 2 2 2
v
A g A g
h
g g g
138
а высота, на которую поднимется брусок относительно начального положения,
будет равна:
22
отр
2
.
22
gA
h A x h A
g
93. На горизонтальной ленте транспортера, движущейся со скоростью v,
совершает гармонические колебания брусок массы m, связанный пружиной
жесткостью k с вертикальной стенкой (рис. 70). Определите коэффициент трения бруска о ленту.
Решение. Брусок будет двигаться вместе с лентой транспортера до тех
пор, пока пружина не растянется на величину, равную амплитуде колебаний, а
упругая сила не достигнет величины, равной максимальной силе трения покоя:
,.
kA
kA mg
mg
(*)
В этот момент кинетическая энергия бруска полностью превратится в потенциальную энергию упруго деформированной пружины:
22
,.
22
mv kA m
Av
k
(**)
Подставляя в (*) выражение (**), получим:
.
vk
gm
94. Два бруска массами m1 и m2, соединенные нера-стяжимой нитью, рас-
положены на гладком горизонтальном столе. Первый брусок соединен со стеной невесомой пружиной (рис. 71). Определить, на какое расстояние следует,
139
растянув пружину сместить бруски вправо, чтобы в течение первого колебания
они остановились при их неупругом соударении на расстоянии L от начального
положения равновесия первого бруска.
Решение. Обозначим: k — жесткость пружины; v
mах
— максимальная
скорость брусков; А — искомое расстояние, на которое необходимо смесить
бруски при начальном растяжении пружины.
Необходимым и достаточным условием остановки брусков при их неупругом столкновении является условие равенства по модулю и противоположной направленности их импульсов. В тот момент, когда пружина после растяжения начнет сокращаться, бруски придут в движение по направлению к
стенке, и в точке равновесия приобретут максимальную скорость v
max
. Далее
пружина начнет сжиматься до тех пор, пока кинетическая энергия первого
бруска полностью не перейдет в потенциальную энергию деформации пружины. Скорость движения первого бруска при этом будет уменьшаться, а второй
будет продолжать двигаться с той же скоростью до момента его неупругого
столкновения с первым бруском. Причем первый брусок, двигаясь в обратном
направлении со скоростью v1, в момент столкновения должен иметь по модулю
тот же импульс, что и второй:
2 max
1 1 2 max 1
1
.
mv
m v m v v
m
(*)
Максимальную скорость движения брусков можно выразить из закона
сохранения механической энергии для системы из двух брусков при их движении из крайнего правого положения в точку положения равновесия первого
бруска:
2
2
1 2 max
max
12
,.
2 2 2
m m v
kA k
vA
mm
(**)
Дальше процесс пойдет в обратном порядке: пружина будет восстанавливать свою форму, ее потенциальная энергия будет уменьшаться, а кинетическая
140
энергия первого бруска будет возрастать до момента его столкновения с движущимся навстречу по инерции со скоростью v
max
вторым бруском. Этот про-
цесс также можно описать с помощью закона сохранения механической энергии, но теперь только для первого бруска:
2
22
1 max
11
.
2 2 2
mv
m v kL
(***)
Подставив в уравнение (***) выражения для скоростей (*) и (**), получим:
2 2 2 2 2
2
1 1 2 2
1
2
1 2 1 1 2 1 2 1
,.
2 2 2 2 2
m kA m m kA A m
mL
m m m m m m m m
Отсюда после несложных алгебраических преобразований найдем:
2
1
2
.
1
L
A
m
m
Анализ полученного выражения показывает, что описанный в задаче процесс возможен, если масса первого тела будет больше массы второго.
95. Конструкция, состоящая из жесткого короба массой m и длиной L и
находящегося внутри него небольшого бруска с такой же массой m, лежит на
гладком горизонтальном столе. Брусок соединён с помощью лёгкого стержня и
пружины жесткостью k с вертикальной стенкой и лежит на гладкой горизонтальной поверхности короба у его левой стенки (рис. 72). Брусок отводят к противоположной (правой) стороне короба и отпускают. В результате упругих
столкновений брусок и короб совершают горизонтальные гармонические колебания. Определить период колебаний бруска
.
Решение. В отсутствии рамы брусок совершал бы гармонические колеба-
ния с периодом:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]