Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механические колебания. Сборник задач с решениями. Задачник для СПО
.pdf
71
а искомый период колебания штанги будет равен (15):
2 2 .
B l m
T
A L k
41. Телу массой m, подвешенному на невесомой пружине жесткостью k,
сообщают скорость v, направленную вертикально вниз. В результате чего тело
смещается вниз на расстояние x0 от положения равновесия и начинает совершать вертикальные гармонические колебания. Определите параметры уравнения этих колебаний тела.
Решение. Обозначим:
0
x
— статическое удлинение пружины под дей-
ствием силы тяжести неподвижно висящего тела;
Согласно условию задачи на тело действуют две силы: сила тяжести и
сила упругости со стороны пружины. Эти силы, как и начальная скорость тела,
направлены вертикально и поэтому тело относительно инерциальной ЛСО может двигаться только вдоль вертикали.
Выберем начало отсчета оси ОХ, направленной вертикально вниз, в точке
положения равновесия тела, подвешенного на пружине. Тогда удлинение пружины в произвольной точке х положения груза будет равно:
0
х х х
и на тело будет действовать со стороны пружины сила:
F k x
.
Учитывая, что в положении равновесия тела:
0
,mg kx
второй закон Ньютона для тела в проекции на ось ОХ можно записать в виде:
0
, , 0.mx mg F mx mg kx k x mx kx x kx
Полученное уравнение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний (7), а его общее решение имеет вид
72
0
sin ,x A t
где:
.
k
m
Поскольку:
cos ,
xo
v x A t
то амплитуду колебания и начальную фазу колебаний определить из начальных
условий:
00
00
0 sin ,
0 cos .
x
x t x A
v t v A
Возведя в квадрат полученные выражения и сложив результаты, получим:
2
2
0
0
2
,
v
Ax
(*)
а после их почленного деления:
0
0
0
arctg .
x
v
(**)
Подставляя выражения (*) и (**) в уравнение гармонического колебания,
получим:
2
2
00
0
0
sin arctg .
mv x
kk
xx
k m v m
42. Сколько времени должна действовать постоянная по величине и
направлению сила F на неподвижный брусок массой m, лежащий на гладком
столе и прикрепленный пружиной жесткостью k к вертикальной стенке, чтобы
после прекращения действия силы амплитуда колебаний скорости бруска была
максимальной. Сила направлена по оси пружины к стенке (рис. 30).
73
Решение. Обозначим: А — амплитуда колебания смещения бруска при
максимальной амплитуде колебаний скорости бруска; Т — период колебаний
бруска; F — величина силы, действующей на брусок.
Амплитуда колебаний скорости бруска
max
2
vA
T
будет максимальной
при условии, что смещение бруска от положения равновесия (при недеформированной пружине) за время действия силы F должно быть равно амплитуде
смещения бруска при заданных параметрах колебательной системы. Следовательно, действие силы F должно прекратиться в момент прохождения бруском
положения равновесия, определяемого равенством:
упр
.F F kA
Отсюда время, необходимое бруску для прохождения расстояния, равного амплитуде колебания, составит четвертую часть периода колебаний, т.е.:
.
42
Tm
t
k
43. К противоположным граням бруска массы m, лежащего на гладком
горизонтальном столе, прикреплены две одинаковые легкие пружины с длиной
L0 в недеформированном состоянии каждая. Пружины растянуты силой F до
длины L и их вторые концы закреплены на вертикальных стенках так, что оси
пружин горизонтальны и их оси проходят через центр масс бруска (рис. 31).
Брусок немного смещают от положения равновесия в направлении: а) оси пружин; б) перпендикулярном положению осей пружин, и отпускают. Определите
периоды малых продольных и поперечных колебаний бруска.
Решение. а). При равновесном положении бруска упругая результирующая сила, действующая на брусок, будет равна 2F. Коэффициент жесткости
каждой пружины найдем из закона Гука:
74
0
.
F
k
LL
Тогда уравнение движения бруска вдоль осей пружин примет вид формулы (7):
2
00
22
, , .
FF
ma x x x x x
L L L L m
Отсюда искомый период продольных колебаний бруска:
0
0
2
2
2.
2
m L L
LL
T
FF
б). Проекция результирующей силы, действующей на отклоненный от
положения равновесия брусок, на ось, перпендикулярную направлению осей
пружин, равна
2 sin ,F
где — угол отклонения осей пружин от равновесного
направления (рис. 32). Так как угол мал, то изменение длины пружины незначительно, и сила F не изменяется. Тогда уравнение движения бруска в
направлении перпендикулярном исходному направлению осей пружин можно
записать в виде:
2
2
2 , , .
F
mL F
mL
Отсюда по формуле (7) определим искомый период малых поперечных
колебаний бруска:
22
2.
2
mL mL
T
FF
44. На гладкий горизонтальный стержень надет шар массы m, прикреп-
ленный к двум одинаковым пружинам жесткостью k каждая. Другие концы
75
пружин закреплены в точках соединения стержня к скобе, вращающейся с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через середину
стержня (рис. 33). Определите период малых колебаний шара во время враще-
ния скобы при смещении его вдоль стержня.
Решение. Обозначим: L — длина стержня; x — малое смещение шара от
положения равновесия.
Уравнение вращательного движения шара на гладком стержне имеет вид:
2
2 2 2
2
2 , 2 , .
22
L L k m
kx m x x k m m mx x x
m
Выражение
2
2
L
представляет собой центростремительное ускорение ша-
ра, направленное вдоль оси стержня к центру вращения скобы. Поэтому период
малых продольных колебаний шара будет равен:
2
2.
2
m
T
km
45. На гладкий горизонтальный стержень надета муфта массой m, к кото-
рой привязана нить. Нить перекинута через невесомый блок, находящийся на
расстоянии L от стержня. На другом конце нити привязана гиря, массой М
(рис. 34). При небольшом смещении муфты от положения равновесия она
начинает совершать малые продольные колебания по стержню так, что сила
натяжения нити остается постоянной. Определите период колебания муфты.
76
Решение. Обозначим: Q — сила натяжения нити; х — малое смещение
муфты от положения равновесия; L1– длина отрезка нити от муфты до блока
при малом смещении муфты от положения равновесия; — малый угол отклонения нити от вертикали; g — ускорение свободного падения.
По условию задачи, во-первых, массой блока можно пренебречь, следова-
тельно,
,Q Mg
во-вторых, величина смещения муфты от положения равнове-
сия должна быть малой. Поэтому будем считать, что:
1
,sin , .L L x L
.
Тогда:
,xL
и с учетом принятых приближений дифференциальное уравнение гармонического колебательного движения муфты по стержню в проекции на горизонтальную ось ОХ (рис. 35) можно записать в виде:
sin , 0
Mg
mx mL Q Q Mg
mL
Отсюда искомый период малых колебаний муфты будет равен:
2
2.
mL
T
Mg
46. Определите период вертикальных колебаний тела, упавшего в шахту,
пронизывающую Луну по одному из её диаметров. Радиус Луны — R, масса
Луны — М.
77
Решение. Обозначим: m — масса тела; ρ — плотность тела Луны; х —
расстояние от тела до центра Луны.
На тело, находящееся в шахте на глубине h от поверхности, будет дей-
ствовать сила притяжения только со стороны слоёв Луны, лежащих ниже этого
тела. Докажем это утверждение.
Выделим из всего объема Луны шаровой слой и построим конусы с ма-
лым углом раствора с вершиной в точке, в которой находится тело массой m
(рис. 36). Площади участков, вырезанные этими конусами в шаровом слое, связаны соотношением:
2
11
2
22
.
Sr
Sr
Массы, заключенные внутри построенных конусов, пропорциональны
площадям участков S1 и S2, т.е. Δm = αS. Таким образом, действующая на тело
массой m сила притяжения со стороны участка шарового слоя площадью S1
,будет равна:
1
1
2
1
,
mm
FG
r
а сила, действующая со стороны участка шарового слоя площадью S:
2
2
2
2
.
mm
FG
r
Из написанных уравнений следует, что:
F1 = F2,
т. е. обе силы равны по модулю и противоположны по направлению. Следовательно, сила, действующая на тело со стороны шарового слоя равна нулю.
78
Таким образом, на тело массой m, находящееся на глубине h от поверх-
ности Луны, будет действовать сила тяготения:
2
,
mM
FG
Rh
где
3
4
3
M R h
, т. е.:
3
2
33
4
3
m R h
GmM GmM
F G R h x kx
RR
Rh
, (*)
В результате мы видим, что в точках, отстоящих на одинаковом расстоя-
нии от центра Луны, на тело будут действовать силы, пропорциональные расстоянию до её центра, равные по величине и направленные к центру Луны, т. е.
восстанавливающие «квазиупругие» силы. Под действием этих сил тело будет
совершать колебания около центра Луны. Тогда из выражения (*) и формулы (8) искомый период колебаний тела будет равен:
3
2
R
T
GM
.
Примечание. Период колебаний тела не зависит от его массы.
47. Сколько времени будет двигаться до Санкт-Петербурга вагон, постав-
ленный на рельсы в Москве в воображаемом прямолинейном подземном туннеле, соединяющем эти города между собой. Радиус Земли равен R. Силой трения
и сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Обозначим: m — масса вагона; g0 — ускорение свободного па-
дения на поверхности Земли; — плотность Земли; r — расстояние до центра
Земли в некоторой произвольной точке туннеля и g1 — ускорение свободного
падения в этой точке.
На основании закона всемирного тяготения имеем:
0
2
3
0
22
;
4 1 4
,
33
Mm
mg G
R
M
g G G R G R R
RR
79
где
G
3
4
. Поскольку соnst, то
Р
0
= mg0 = mR, Р1 = mg1= mr.
Тогда:
0
1 0 0
1
;
P
R r r
Р P mg
Р r R R
.
Проекция силы тяжести Р1 на ось ОХ в этом случае будет равна (рис. 37):
00
11
cos cos .
x
mg mg
P P r x
RR
(*)
Заменим отношение
R
mg
0
, неизменное для рассматриваемой механической
системы тел «Земля + вагон» и численно равное возвращающей силе, при которой смещение х равно единице, постоянной для данной системы величиной k.
Тогда выражение (*) примет вид формулы (8):
.
1
kxP
х
.
Таким образом, сила, движущая вагон, является квазиупругой, а вагон в
туннеле будет совершать линейные гармонические колебания между Москвой и
Санкт-Петербургом, период которых можно определить по формуле (17). Тогда
время движения вагона от Москвы до Санкт-Петербурга тогда будет равно:
2
T
t
=
0
R
g
.
80
48. В открытую с обоих концов U-образную трубку налита ртуть. Стол-
бик ртути вывели из состояния равновесия, вследствие чего ртуть начала колебаться. Определите период колебаний ртути в трубке, если длина всего столба
жидкости равна 2Н.
Решение. Введем обозначения: – плотность ртути; S– площадь попе-
речного сечения трубки; х — величина смещения уровня ртути от положения
равновесия;g — ускорение свободного падения.
Если ртуть, налитую в трубку, вывести из положения равновесия, то вся
ее масса будет совершать гармонические колебания относительно ее первоначального уровня в коленах трубки. Избыточное давление
p
будет оказывать
столб ртути высотой 2х:
2,p gx
.
При смещении уровня ртути от положения равновесия на величину x на
ртуть будет действовать возвращающая (квазиупругая) сила, равная по модулю:
F =
pS
2gSx.
Тогда уравнение движения столба жидкости в проекции на вертикальную
ось можно записать в виде формулы (7):
2
2 , 0.
gS
mx gSx x x
m
Откуда по формуле (17) найдем искомый период колебаний столба ртути:
2
2 2 2 .
22
m SH H
T
gS Sg g
49. Цилиндрический поплавок, имеющий площадь поперечного сечения S
и массу m плавает в вертикальном положении в жидкости с плотностью . Его
погружают в жидкость несколько больше, чем необходимо для равновесия, и
затем отпускают. Поплавок после этого начинает совершать вертикальные ко-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]