Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механические колебания. Сборник задач с решениями. Задачник для СПО
.pdf
151
Используя выражение для периода гармонических колебаний через коэффициент возвращающей упругой силы, найдем выражение для искомого периода колебания шаров:
2
max max
2
1
33
2 2 2 .
44
xx
mm
T
k k v v
101. Одна из обкладок плоского конденсатора площадью S и массой
m
подвешена на непроводящей пружине жесткостью k, а другая — нижняя —
закреплена неподвижно на непроводящем стержне (рис. 78). Расстояние между
пластинами в начальный момент времени — d. Конденсатор на короткое время
подключают к батарее, разность потенциалов, на зажимах которой, равна U.
Определить амплитуду и период колебаний верхней пластины конденсатора.
Смещением пластины конденсатора за время зарядки пренебречь.
Решение. Обозначим: х0 — деформация пружины в первом состоянии
равновесия системы; А — амплитуда колебаний верхней пластины конденсатора; С1 и С2– емкости конденсатора в первом и втором равновесных состояниях;
q — заряд конденсатора; g — ускорение свободного паления; 0 — электрическая постоянная.
При отсутствии зарядов на пластинах конденсатора равновесное состоя-
ние системы определяется равенством:
mg = kx0. (*)
После зарядки конденсатора на его пластинах появится заряд:
.
d
SU
CUq
0
152
Верхняя заряженная пластина конденсатора при этом оказывается в поле
заряда нижней пластины, и на нее будет действовать со стороны этой пластины
направленная вниз сила притяжения Fк:
2
00
2
.
k
SU SU
U
F qE
d d d
(**)
Под действием этой силы верхняя пластина придет в движение, растяги-
вая пружину и уменьшая, тем самым, расстояние между обкладками конденсатора. Сила Fк, как и сила тяжести, не будет зависеть от положения пластины
(докажите это!), а сила упругости пружины Fу по модулю пропорциональна
смещению. Поэтому верхняя пластина будет совершать после зарядки гармонические колебания около нового положения равновесия системы. (Заметим,
что амплитуда колебания верхней пластины не должна превышать d/2). Это положение пластины будет определяться равенством:
Fк + mg = Fу. (***)
Подставляя выражения (*) и (**), в (***), получим:
2
0
00
2
.
SU
kx k x A
d
Решая это уравнение относительно А, получим:
2
0
2
SU
A
kd
.
Период колебаний пластины определим, используя закон сохранения и
превращения энергии для рассматриваемой системы тел.
До начала движения верхней пластины полная энергия системы в первом
равновесном состоянии будет определяться суммой потенциальной энергии
пластины в поле силы тяжести, потенциальной энергии упруго деформированной пружины и энергии заряженного конденсатора:
2
22
0
1
1
.
22
kx
CU
W mgd
153
Полная энергия системы в момент прохождения пластины конденсатора
второго равновесного состояния с максимальной скоростью будет определяться
суммой потенциальной энергии пластины в поле силы тяжести, потенциальной
энергии упруго деформированной пружины, максимальной кинетической энергии пластины и энергии заряженного конденсатора:
2
22
0
2
2
.
2 2 2
k x A
mv q
W mg d A
C
В этом уравнении мы учли то, что после отключения конденсатора от источника тока заряд конденсатора останется неизменным.
Согласно закону сохранения энергии для рассматриваемого колебательного процесса:
W1 = W2,
следовательно:
2
2
2 2 2 2
0
0
1
2
.
2 2 2 2 2
k x A
kx
C U mv q
mgd mg d A
C
Решая это уравнение относительно скорости пластины конденсатора в
точке прохождения второго положения равновесия при колебании, получим:
2
2
00
2
.
2
S SU
U
v d d A
d dm k
Из уравнения гармонического колебания следует, что:
max
.vA
.
Тогда период колебания Т = 2/ будет равен:
0
2
2
00
2
.
2
SU
T
S SU
k d d A
dm k
154
102. Три маленьких одинаковых одноименно заряженных шарика с мас-
сой m и зарядом q каждый связаны нерастяжимыми нитями длиной L каждая и
расположены в вершинах равностороннего треугольника на гладком горизонтальном столе. При перерезании одной из нитей шарики начинают совершать в
горизонтальной плоскости гармонические колебания около положения равновесия. Определить период колебаний шариков.
Решение. До момента перерезания нити (состояние 1) полная энергия неподвижных шариков была равна энергии электростатического взаимодействия
3-х пар шариков:
2 2 2 2
п1
0 0 0 0
3
.
4 4 4 4
q q q q
W
L L L L
После перерезания нити (например, между шариками 1 и 2) из-за кулоновского отталкивания шарики придут в движение, причем центр масс механической системы останется на месте, поскольку в горизонтальном направлении
никакие внешние силы на систему тел не действуют, а кулоновские силы и силы натяжения нитей являются внутренними силами. Поэтому, когда шарики
окажутся на одной прямой и скорости их разлета будут максимальны (состояние 2), шарик 3 окажется в центре масс системы. При этом вектора скоростей
шариков 1, 2 и шарика 3 будут антипараллельны (рис. 79).
По закону сохранения импульса:
2 0, 2 .mu mv u v
Кинетическая энергия шариков в этот момент будет равна:
22
2
к2
2 3 ,
22
mu mv
W mv
155
а потенциальная энергия их электростатического взаимодействия определится равенством:
2 2 2 2
п2
0 0 0 0
5
.
4 4 8 8
q q q q
W
L L L L
Закон сохранения полной энергии для системы взаимодействующих шариков при их переходе из состояния 1 в состояние 2:
22
2
00
35
3
48
qq
mv
LL
позволяет определить скорость шариков 1и 2:
0
26
q
v
mL
и скорость шарика 3 в состоянии 2:
0
.
6
q
u
mL
Амплитуду колебания шарика 3 определим из геометрии расположения и
перехода шариков из 1 во 2 состояние. При его переходе из состояния 1 в состояние 2 он проходит путь, равный 2/3 высоты Н равностороннего треугольника 1-2-3.
2
2
3.
42
LL
HL
Тогда амплитуда колебания шарика 3 составит 2/3Н =
3.
3
L
Из уравнения
гармонического колебания скорости определим искомый период колебаний
шариков:
156
max
0
0
max
2
,
2 3 6
22
2
3
.
uA
T
L
mL
L mL
A
T
u q q
103. Перемычка длиной l и массой m, соединенная двумя одинаковыми
пружинами жесткостью k каждая с вертикальной стенкой, лежит на двух расположенных в горизонтальной плоскости гладких проводящих стержнях. Перпендикулярно плоскости стержней наложено вертикальное магнитное поле с индукцией В (рис. 80, вид сверху). Замыкая на короткий промежуток времени t
ключ К, по перемычке пропускают импульс тока I, после чего она начинает совершать гармонические колебания по стержням в горизонтальной плоскости.
Пренебрегая смещением и нагреванием перемычки и стержней за время t, определите амплитуду ее колебаний.
Решение. Обозначим: V — максимальная скорость перемычки при коле-
баниях; А — амплитуда колебаний проводника.
В начальный момент времени пружины не деформированы, т.к. находятся
вместе с проводником в горизонтальной плоскости. При кратковременном прохождении тока по перемычки она получит со стороны магнитного поля импульс силы Ампера, который по второму закону Ньютона должен быть равен
изменению ее импульса:
.IBl t mV
Отсюда:
157
.
IBlt
V
m
По условию задачи нагревом проводников за время прохождения тока по
цепи можно пренебречь. Тогда на основании закона сохранения энергии при
гармонических колебаниях перемычки должно выполняться равенство:
п max к max
WW
.
Для системы двух параллельно соединенных одинаковых пружин эффективная жесткость будет равна 2k. Тогда:
22
2
22
kA mV
,
2
2
.
IBlt
kA
m
Отсюда искомая амплитуда колебаний перемычки будет равна:
.
IBlt
A
km
104. Горизонтальная перемычка массой m, подвешенная на двух невесомых
пружинах жесткостью k каждая, совершает колебания, скользя без трения и
нарушения электрического контакта по двум вертикальным проводящим
стержням, удаленными друг от друга на расстояние l и замкнутыми сверху на
конденсатор емкостью С. Система находится в однородном горизонтальном
магнитном поле, перпендикулярном плоскости движения перемычки (рис. 81).
Определите период колебаний перемычки.
158
Решение. Обозначим: х0 — величина растяжения пружины в статическом
состоянии под действием силы тяжести перемычки; А — амплитуда колебания
перемычки; Т — период колебания перемычки;
max
V
– максимальная скорость
движения перемычки при колебаниях; — ЭДС индукции;
k
– эффективная
жесткость двух параллельно соединенных пружин; g — ускорение свободного
падения.
Если при движении перемычки в однородном магнитном поле с индукцией В перемычка перемещается за время t на расстояние х, то она пересекает
магнитный поток:
cos .Ф l xB
Подставляя это выражение в формулу закона электромагнитной индукции
и учитывая, что:
max
,
x
V
t
а = 0, получим для ЭДС индукции, возникающей на концах перемычки,
=
max
.
Ф
lV B
t
(*)
Для определения периода колебаний воспользуемся законом сохранения
энергии для системы тел, состоящей из перемычки, пружины и конденсатора.
Примем начало отсчета потенциальной энергии перемычки в поле тяготения в
положении, при котором ее смещение максимально и скорость движения равна
нулю (крайнее нижнее положение). Тогда в этот момент времени (первое состояние) энергия колебательной системы будет равна только энергии упруго
деформированных пружин:
W1 =
2
0
пр
.
2
k A x
W
В момент прохождения перемычкой положения равновесия (второе состояние) энергия колебательной системы W2 будет равна сумме потенциальной
энергии перемычки, поднятой на высоту А в поле тяготения —
mgA
, потенци-
159
альной энергии упруго растянутых на
0
x
пружин —
2
0
2
kx
, максимальной кине-
тической энергии перемычки —
2
max
2
mV
и энергии заряженного конденсатора —
2
.
2
C
Следовательно,
22
2
0 max
2
.
2 2 2
k x mV
C
W mgA
Согласно закону сохранения и превращения энергии при переходе колебательной системы из первого состояния во второе должно выполняться равенство:
W1 = W2.
Тогда:
2
0
2
k A x
22
2
0 max
.
2 2 2
k x mV
C
mgA
(**)
Статическое смещение х0 определим из условия равновесия перемычки:
00
,.
mg
k x mg x
k
(***)
Подставляя выражения (*) и (***) в закон сохранения энергии (**) и проведя несложные математические преобразования, получим:
2 2 2 2
max
.k A V m CB l
Из уравнения гармонического колебания для скорости (3) перемычки
следует, что:
max
2.A
V
T
Тогда из этого соотношения получим:
160
22
22
max
.
4
AT
V
Отсюда:
22
22
22
max
.
4
k A k T
m CB l
V
Так как
2kk
(см решение задачи № ), то искомый период колебания пе-
ремычки будет равен:
22
2.
2
m CB l
T
k
105. К легкой невесомой нерастянутой пружине жесткостью k, длиной l0,
состоящей из n витков радиусом R, подвешивают шар массой m. Концы пружины с помощью гибких невесомых проводов подсоединяют к источнику тока
(рис. 82) и отпускают шар без толчка. При этом шар смещается вниз на максимальное расстояние х
max
и начинает совершать вертикальные гармонические
колебания. Определите величину силы тока, проходящего по виткам пружины
при колебаниях шара. Нагревом пружины пренебречь.
Решение. Введем обозначения: — индуктивность пружины (длинного со-
леноида); — магнитная постоянная; — площадь сечения пружины.
Эту задачу можно решить с помощью закона сохранения и превращения
энергии. Выберем в качестве начального — состояние колеблющейся системы
в исходном положении шара, подвешенного на нерастянутой и не подключенной к источнику тока пружине. Пришедший в движение шар будет растягивать
пружину до тех пор, пока вся запасенная потенциальная энергия шара в поле
тяготения не превратится в потенциальную энергию упруго растянутой пружи-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]