Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механические колебания. Сборник задач с решениями. Задачник для СПО
.pdf
31
4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
12. Периоды колебаний математического маятника на горе высотой Н и
на дне шахты одинаковы. Определите глубину шахты.
Решение. Обозначим:
H
g
— период колебания маятника на вершине го-
ры;
h
g
— период колебания маятника на дне шахты; h — искомая глубина шах-
ты; M — масса Земли; m — масса тела (математического маятника); — плотность Земли; R — радиус Земли.
На вершине горы сила тяготения равна:
откуда:
2
3
22
,
4
.
3
HH
H
mM
F mg G
RH
MG
g G R
R H R H
Если то же самое тело лежит на дне шахты, то оно не испытывает со сто-
роны вышележащего шарового слоя толщиной h никакого притяжения, так как
притяжения от отдельных противоположных частей слоя взаимно компенсируются (см. решение задачи 20).
В этом случае:
откуда
3
2
44
,
33
4
.
3
hh
h
m
F mg G R h R h m
Rh
g G R h
По условию задачи периоды колебаний маятника должны быть равны, т. е.:
откуда получим:
3
2
3
22
2 2 ,
44
,
33
1
, или 1 .
1
Hh
ll
gg
R
G G R h
RH
R
h R h R
Rh
H
R
32
Полученное выражение можно упростить, принимая во внимание, что в
реальной ситуации всегда должно выполняться неравенство: HR. Тогда, пре-
небрегая членами, содержащими
2
2
R
Н
, вследствие их малости по сравнению с
членами, содержащими
R
H
, имеем:
.
H2R
HR2
R
H2
1
1
1Rh
Принимая во внимание, что R + 2H R, окончательно получим
h = 2H.
13. Определить, на какую часть нужно укоротить нить математического
маятника, чтобы периоды его колебаний на вершине башни высотой Н и на поверхности Земли были равны? Радиус Земли — R.
Решение. Обозначим: М — масса Земли; L0 — длина нити математического маятника на поверхности Земли; L — длина нити математического маятника на вершине башни; G — гравитационная постоянная.
Из закона всемирного тяготения выразим ускорение свободного падения:
22
.
mM M
G mg g G
RR
Тогда на поверхности Земли математический маятник будет колебаться с
периодом:
2
00
0
0
2 2 ,
L L R
T
g GM
а на высоте Н —
2
2 2 .
L R H
L
T
g GM
33
Учитывая, что по условию задачи Т0 = Т, получим:
2
2
0
,
L R H
LR
GM GM
откуда:
2
2
0
LR
L
RH
и
2
0
22
00
2
1.
H R H
LL
LR
LL
R H R H
Поскольку высота башни намного меньше радиуса Земли, то, пренебрегая
величинами
,
2
2
R
H
получим:
2
0
2
2
2
.
2
1
H
HR
LH
R
L R H
H
R
R
14. Математический маятник, подвешенный на нити длиной L, отклонили
на малый от вертикали угол и отпустили. Определите время, за которое угол
между нитью и вертикалью уменьшится в два раза.
Решение. Обозначим:– угол отклонения маятника,
0
— угловая ам-
плитуда колебаний; Т — период колебания.
Тогда уравнение гармонического колебания для угла отклонения примет вид:
0
2
sin
t
T
.
Пусть t1– время, за которое угол между нитью и вертикалью уменьшится
в два раза. Тогда из уравнения гармонического колебания будем иметь:
34
0
1
0 1 1 1
2 1 2 2
sin , sin , ,
2 2 6 6
2
tL
t t t
T T g
L
g
.
15. Два математических маятника подвешены на нитях одинаковой длины. Груз первого маятника поднимают до точки подвеса, а второго — при
натянутой нити — отклоняют на малый угол от вертикали и одновременно отпускают. Определите, какой из них достигнет положения равновесия раньше и
во сколько раз?
Решение. Обозначим длину нитей — L. Первый груз пройдет путь L в
свободном падении за время:
.41,1
2
1
g
L
g
L
t
Второй груз, возвращаясь в положение равновесия, будет совершать гар-
моническое колебание, период которого:
2.
L
T
g
Время, необходимое второму шарику для возвращения в положение рав-
новесия, следовательно, будет равно:
2
2
1,57 .
44
T L L
t
gg
Таким образом,
2
1
1,57
1,11
1,41
t
t
,
т. е. шарик, совершающий свободное падение достигнет положения равновесия
раньше в 1,11 раза.
35
16. Два одинаковых математических маятника имеют общую точку под-
веса. Одному маятнику толчком сообщили некоторую скорость в горизонталь-
ном направлении, а затем через время Т/2 другому маятнику тоже толчком
сообщают такую же скорость. Через какое время после начала движения первого маятника маятники столкнутся, если период их колебаний равен Т?
Решение. Если бы второй маятник оставался неподвижным, то мятники
столкнулись бы через время, равное половине периода. Поскольку по условию
задачи второй маятник через время начнет движение навстречу первому маятнику, то их встреча произойдет раньше, через время t, которое найдем из
уравнения:
,.
2 4 2
TT
t t t
17. Точку подвеса покоящегося математического маятника длиной l
мгновенно приводят в движение в горизонтальном направлении с постоянной
скоростью, а затем после перемещения на расстояние L мгновенно останавливают. При какой скорости движения точки подвеса малые колебания маятника,
возникшие с началом движения, прекратятся сразу после остановки точки подвеса?
Решение. Введем обозначения: v — скорость движения точки подвеса;
g
— ускорение свободного падения.
После начала движения точки подвеса маятник начнет совершать гармо-
нические колебания относительно точки подвеса с периодом
2
l
Tg
и
начальной скоростью v, при этом начальная скорость груза маятника относительно земли будет равна нулю. Следовательно, остановить точку подвеса маятника так, чтобы мгновенно остановился и груз маятника, нужно в тот момент,
когда скорость маятника относительно земли вновь станет равной нулю, т.е. когда груз маятника будет проходить положение равновесия. Такая ситуация возникнет в первый раз через один период, который при этом должен удовлетворять условию:
L
Tv
36
Отсюда искомая скорость движения точки подвеса маятника должна быть
равна:
.
2
L L g
v
Tl
Примечание. Полученное значение скорости не является единственно
возможной. Проходить положение равновесия маятник может и через два, три и
в общем случае через n периодов. Следовательно, общее решение задачи следует записать в виде:
.
2
n
Lg
v
nl
18.Тонкий абсолютно жёсткий невесомый стержень длиной L, на конце
которого закреплён маленький шарик, отклонили от вертикали на небольшой
угол и отпустили. В момент, когда стержень составляет угол ( ) с вертикалью, происходит абсолютно упругое столкновение шарика с наклонной стенкой (рис. 5). Определить период колебания этого стержня.
Решение. Поскольку по условию задачи стержень невесомый, то систему
тел, состоящую из шарика и стержня, можно считать математическим маятником. Период колебания математического маятника равен:
2
L
T
g
.
Период колебаний в присутствии стенки Т1 не равен Т, а меньше на вели-
чину времени , за которое маятник, совершая свободные колебания, отклонился бы от вертикали влево от угла до угла и вернулся обратно:
= 2t,
t — время движения маятника до угла .
37
Уравнение гармонического колебания для углового перемещения имеет вид:
= cos t,
где:
1
21
; cos , arc cos . Отсюда
2 2 arccos 2 arccos .
tt
Т
L L L
TT
g g g
Примечание. Из полученного результата следует, что если шарик будет
сталкиваться с вертикальной стенкой (
0
), то период колебания маятника
уменьшится в два раза. При
шарик не будет сталкиваться со стенкой.
19. Два маленьких одинаковых упругих шарика подвешены на невесомых
и нерастяжимых нитях так, что нити параллельны, центры масс шариков находятся одном уровне и шарики соприкасаются друг с другом (рис. 6). Длина нити первого шарика равна l1 = 1 м, а второго l2 = 0,25 м. Нить второго шарика отклонили на небольшой угол и отпустили. Определить, сколько раз за время 4 с
столкнутся шарики после начала движения второго шарика.
Решение. Число столкновений n определим по формуле:
t
n
T
, где Т —
период колебания системы шаров. Поскольку шары имеют одинаковую массу,
то по закону столкновения упругих тел одинаковой массы каждый из шаров после столкновения будет останавливаться в нижнем положении. Поэтому период
колебания системы шаров (математических маятников) будет равен:
1 2 1 2
12
4 10
, а число столкновений 2,68 3.
22
1 0,25
tg
T T l l
Tn
gg
ll
38
20. Математический маятник длиной l совершает колебания вблизи вертикальной стенки. Под точкой подвеса маятника на расстоянии l/2 от неё в
стенку забит гвоздь, доходя до которого нить маятника перегибается пополам
(рис. 7). Найти период колебаний такого маятника.
Решение. Движение маятника справа от вертикали происходит за время,
равное полупериоду:
1
l
T
g
,
а слева — за полупериод:
2
.
2
l
T
g
Полный период колебания, таким образом, будет равен:
12
1
1 1,706 .
22
T T l l
T
gg
21. Длина нити одного из математических маятников больше другого на
l. За время, в течение которого один из маятников делает n колебаний, другой
делает на одно больше. Определите периоды колебаний маятников.
Решение. Обозначим: L и Т1 — длина нити и период колебания маятника,
который делает на одно колебание больше другого; g — ускорение свободного
падения; Т2 — период колебания другого маятника.
На основании условия задачи (одно и то же время колебаний) и формулы
периода колебания математического маятника запишем уравнение:
39
12
1 , 1 2 2 .
L L l
n T nT n n
gg
Возведем в квадрат обе части уравнения и решим его относительно дли-
ны маятника L:
2
.
21
nl
L
n
Тогда периоды колебания маятников будут равны:
2
1
2
2
2 2 2 ,
2 1 2 1
1
2 2 .
21
L n l l
Tn
g g n g n
ln
Ll
T
g g n
22. Один математический маятник имеет период колебаний Т1, а дру-
гой — Т2. Определите период колебаний математического маятника, длина нити которого равна сумме длин нитей этих маятников.
Решение. Обозначим длину нити первого маятника — L1, второго — L2.
Тогда периоды колебаний этих маятников буду:
12
12
2 , 2 .
LL
TT
gg
Выразим из этих уравнений длины нитей:
22
12
12
22
,
44
gT gT
LL
и подставим эти выражения в формулу периода колебания маятника, имеющего
длину нити L = L1 + L2:
22
12
12
2 2 .
L L L
T T T
gg
40
23. Невесомый жесткий стержень с грузом на одном конце прикреплен с
помощью шарнира другим концом к вертикальной стене так, что может свободно поворачиваться во все стороны. Стержень удерживается в горизонтальном положении вертикальной нерастяжимой и невесомой нитью длины L, которая одним концом прикреплена к середине стержня, другим — к потолку
(рис. 8). Грузу сообщают импульс в направлении перпендикулярном плоскости
рисунка. Определите период малых колебаний этой системы.
Решение. Обозначим: d — длина стержня; g — ускорение свободного па-
дения; L = BD — воображаемая длина подвеса эквивалентного математического маятника.
Из условия задачи и рис. 9 следует, что малые колебания стержня с грузом происходят относительно неподвижной оси АС, проходящей через точку А
крепления стержня к шарниру и точку С соединения нити с потолком. Тогда
малые колебания стержня с грузом эквивалентны колебаниям математического
маятника той же массы и воображаемой длиной подвеса L = BD (ВDАС):
2
2
sin
4
L
L d d
d
L
и ускорением свободного падения:
2
2
cos .
2
4
d
g g g
d
L
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]