Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механические колебания. Сборник задач с решениями. Задачник для СПО
.pdf
51
Решение. В положении равновесия на грузик маятника действуют три си-
лы: тяжести mg, направленная вертикально вниз, натяжения нити N и реакции
опоры Q, направленная перпендикулярно плоскости (рис. 16 а). Проектируя все
силы на оси, направленные вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно к
ней, условие равновесия маятника на наклонной плоскости можно выразить в
виде двух равенств:
cos , sin .N mg Q mg
.
При отклонении нити от равновесного положения на небольшой угол
маятник начнет двигаться по дуге окружности на наклонной плоскости, причем
возвращающей силой будет являться проекция силы тяжести на ось, расположенную на наклонной плоскости и направленную по касательной к траектории
движения грузика (рис. 16 б ):
cos sin cos cos ,
x
F mg mg mg
L
где х — длина дуги окружности, вдоль которой движется грузик маятника. Таким образом, возвращающая сила пропорциональна смещению х из положения
равновесия и, как видно из рис. направлена в сторону, противоположную смещению. Сравнивая полученный результат с формулой (8), легко прийти к выводу, что циклическая частота колебаний математического маятника на наклонной плоскости выражается формулой:
0
cos ,
g
L
а период колебания —
52
2.
cos
L
T
g
Примечание. С увеличением угла наклона плоскости циклическая ча-
стота колебаний мятника будет монотонно убывать, обращаясь в ноль при
90 ,
потому, что проекция силы тяжести на наклонную плоскость убывает с
ростом угла .
31. Математический маятник с длиной нити L установлен на тележке,
скатывающейся с гладкой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Определить период колебания маятника во время скатывания тележки.
Решение. Введем обозначения: m– масса тележки; M — масса маятника;
N
– сила натяжения нити маятника; а — ускорение тележки относительно
наклонной плоскости; g– ускорение свободного падения.
На тележку во время ее скатывания с наклонной плоскости будут дей-
ствовать сила тяжести
,Mg
и сила реакции опоры .Q Из уравнения движения
тележки в проекции на ось ОХ:
sin ,Ma Mg
определим ее ускорение:
sin .ag
(*)
Рассмотрим движение груза маятника относительно системы отсчета, свя-
занной с тележкой. Поскольку точка подвеса движется с постоянным ускорением
,a
то эта система будет неинерциальной. В ней на грузик маятника, кроме силы
тяжести mg и силы натяжения нити N, действует сила инерции
ин
F ma
, направ-
ленная в сторону, противоположную ускорению системы (рис. 17).
53
Для определения периода колебания математического маятника, точка
подвеса которого движется с постоянным ускорением, воспользуемся формулами (18) и (19).
По теореме косинусов получим:
22
эфф
2 cos 90g g a ag
,
или с учетом выражения (*):
2 2 2 2 2
эфф
sin 2 sin cos .g g g g g
Следовательно, искомый период колебаний маятника будет равен:
2.
cos
L
T
g
Примечание. Еще раз обратим внимание на то, что полученный результат
получен при условии отсутствия силы трения между тележкой и наклонной
плоскостью.
32. Определите период малых свободных колебаний вокруг горизонталь-
ной оси в вертикальной плоскости крестообразного маятника, состоящего из
двух взаимно перпендикулярных, невесомых жестко скрепленных в их середине стержней длиной l и трех укрепленных на их концах одинаковых маленьких шариков (рис. 18).
Решение.Обозначим: m — масса шарика;
c
x
— координата центра масс
крестообразного маятника; h — высота поднятия центра масс маятника при отклонении вертикального стержня от положения равновесия на угол ; d —
54
смещение центра масс по горизонтали от положения равновесия; ω — угловая
скорость маятника; g — ускорение свободного падения.
Эту задачу проще всего можно было решить, воспользовавшись формулой периода колебаний физического маятника. Но поскольку в школьной программе колебания физического маятника не рассматриваются, то для определения периода колебания стержня с шарами мы воспользуемся третьим способом
нахождения периода колебаний, описанного во втором разделе пособия.
Потенциальную энергию маятника
3mgh
будем отсчитывать от самого
нижнего (равновесного) положения центра масс маятника, который будет находиться на вертикальном стержне, на расстоянии:
c
2
2
2
33
l
ml m
xl
m
,
от точки подвеса. Из рисунка 19 следует, что:
2
2
2 2 2
и.
3 3 3
h l l d d l
.
Тогда потенциальная энергия маятника будет равна:
22
22
п
2 2 2 2
3 3 3 1 1 ,
3 3 2 3
W mgh mg l l l mg l mgl
так как при малых :
2
2
11
2
(см. матем. прилож. разд. 2.).
55
Кинетическая энергия маятника будет равна сумме кинетических энергий
трех шаров. Линейная скорость шариков, закрепленных на горизонтальном
стержне, будет равна:
1
22
,
22
v l l
а скорость шарика, закрепленного на конце вертикального стержня:
2
.vl
Тогда кинетическую энергию всего маятника найдем по формуле:
2 2 2
2 2 2
12
к
1
2.
2 2 2 2
mv mv ml
W ml ml
Полная механическая энергия маятника:
2 2 2
W mgl ml
в отсутствии сил трения со временем изменяться не будет, следовательно,
искомый период его колебаний можно найти по формуле (15):
2
2 2 2 .
B ml l
T
A mgl g
Примечание. Полученный результат свидетельствует о том, что дополни-
тельный поперечный стержень с двумя шарами, укрепленный на середине вертикального стержня, не вносит никаких изменений в формулу периода колебаний, и полученная формула ни чем не отличается от формулы периода колебаний обычного математического маятника с одним шариком на конце
невесомого стержня. Неожиданный результат, не правда ли? Если на середине
стержня укрепить шар массой 2m, то, как следует из анализа ответа задачи
№ 27, результат получился бы другим.
56
33. Для увеличения амплитуды колебаний математического маятника его
нить длиной L, пропущенную через узкое отверстие, при каждом прохождении
ею положения равновесия укорачивают, вытягивая, на малую величину L, а в
каждом крайнем положении — удлиняют, выпуская, на ту же величину так, что
при каждом изменении длины нити ее сила натяжения остается постоянной.
Определите относительное увеличение угловой амплитуды колебаний за один
период.
Решение. Обозначим: m — масса маятника; v — скорость маятника в
точке равновесия; g — ускорение свободного падения; — угол отклонения
нити от вертикали в крайнем положении.
Прежде всего, выясним причину увеличения амплитуды колебаний маятника при таком периодическом изменении длины маятника. Очевидно, что при
поднятии грузика потенциальная энергия маятника будет возрастать, а при
опускании — уменьшаться. При прохождении маятником положения равновесия сила натяжения нити и сила тяжести сообщают маятнику центростремительное ускорение:
2
.
mv
T mg
L
При этом сила натяжения нити, поднимая грузик на L , совершит работу,
равную:
2
1
.
mv
A T L mg L
L
В крайнем положении грузика (в точке максимального отклонения на
угол нити от вертикали) длина нити увеличивается на L и сила натяжения
нити совершит работу:
2
cos .A mg L
В течение одного периода колебаний длина нити дважды увеличится и
дважды уменьшится, следовательно, приращении энергии маятника согласно
закону сохранения и превращения энергии за период будет равно:
57
2
12
2 2 1 cos .
mv
W A A mg L
L
Поскольку в задаче рассматриваются малые колебания, для которых
справедливо приближенное равенство:
2
cos 1
2
(см. матем. прилож. в разд. 2), то:
22
2.
2
mv
W mg L L
L
Амплитуда колебаний скорости v связана с амплитудой колебания сме-
щения L соотношением:
.
g
v L L
L
Тогда:
2 2 2
3 6 6 .
2 2 2
L mv L mv L
W mgL
LLL
Полная механическая энергия маятника равна:
22
,
22
mv
W mgL
поэтому формула для изменения энергии примет вид:
6.
L
WW
L
Таким образом, энергия маятника будет систематически возрастать, по-
лучая за каждый период небольшое приращение, пропорциональное величине
энергии и
.
LL
Отсюда относительное увеличение энергии будет равно:
58
6.
WL
WL
Теперь, принимая во внимание выражение для энергии маятника:
2
,
2
W mgL
получим:
2 2 .
2
mgL W
W
W
Сравнивая между собой два выражения для
,
W
W
получим:
3.
L
L
Примечание. Аналогичное явление увеличения амплитуды колебаний
происходит и при раскачивании качелей за счет периодического приседания и
выпрямления ног человеком, стоящего на качелях. Вспомните, как вы это делали в детстве и попытайтесь объяснить это явление с точки зрения закона сохра-
нения энергии при колебаниях.
34. Два одинаковых математических маятника с длиной нити l и массой
грузика m связаны невесомой горизонтальной пружиной жесткостью k. При
равновесии маятники занимают вертикальное положение, и пружина не деформирована (рис. 20). Растягивая пружину, маятники отклоняют в вертикальной
плоскости в противоположные стороны на малый одинаковый угол и отпускают. Определить период малых колебаний маятников.
59
Решение. Решим эту задачу вторым способом, о котором мы говорили во
втором разделе пособия. При отклонении маятников на равные углы в разные
стороны их колебания будут происходить под действием трех сил: силы тяжести — mg, силы натяжения нити — N и силы упругости пружины — F = 2kx.
Для того, чтобы найти период колебаний маятников этим методом, выра-
зим силу, возвращающую маятники в положение равновесия. При отклонении
каждого маятника на угол пружина растянется на:
2 sin .xl
Следовательно, на каждый шарик будет действовать упругая сила, равная:
у
2 sin .F kl
Сумма проекций всех сил, действующих на каждый шарик, на направле-
ние касательной к траектории движении шариков будет равна возвращающей
(«квазиупругой») силе (рис. 21):
sin 2 sin cos .F mg kl
Так как при малых углах отклонения
cos 1
, а
sin
, то:
2.kl
F m g
m
60
Следовательно, согласно формуле (8) период малых колебаний маятников
будет равен:
2.
2
l
T
kl
g
m
Примечание. Попробуйте решить эту задачу первым или третьим способом.
35. Вертикальный штатив массой М укреплен на легкой тележке, находя-
щейся на гладком столе. К штативу подвешен математический маятник, на
конце невесомой нити которого длиной L укреплен шарик массой m. Нить отклоняют на малый угол α и отпускают (рис. 22). Определите максимальную
скорость движения тележки при колебаниях, если столкновения шарика со
штативом абсолютно упругие.
Решение. Обозначим: х1 и х2 — координаты центра масс штатива и шари-
ка в проекции на горизонтальную ось Х; g — ускорение свободного падения;
v — скорость движения шарика; u — скорость движения тележки со штативом;
L1 — длина математического маятника, «точка подвеса» которого находится в
точке С1 (рис. 23).
По условию задачи угол отклонения нити с шариком должен быть малым.
Поэтому оправданным будет допущение о том, что движение шарика происходят только по горизонтали. Все внешние силы, действующие на систему «штатив + шарик», а именно силы тяжести Mg, mg и сила реакции опоры штатива
направлены вертикально. Сила натяжения нити является внутренней силой и не
может изменить положение центра масс системы. Отсюда можно сделать вывод, что проекция центра масс системы на горизонтальную ось (точка С на
рис. 23) не перемещается в горизонтальном направлении, а значит и точка С1,
лежащая на пересечении вертикальной прямой, проходящей через точку С, и
нити, также будет неподвижна.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]