Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механические колебания. Сборник задач с решениями. Задачник для СПО
.pdf
111
По условию задачи колебания бусинки являются малыми, а это значит,
что
2
2
,
4
L
x
и уравнение движения бусинки примет вид:
3
0
0.
2
2
qQ
xx
L
Полученное уравнение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний (7), искомый период которых будет равен:
0
.
mL
TL
qQ
112
6. ПРОЦЕССЫ ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ
В КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ
75. На гладком горизонтальном столе находится брусок массой М, за-
крепленный к вертикальной стене невесомой пружиной жесткостью k. В брусок
попадает пуля массой m, имеющая в момент удара скорость v, направленную
вдоль оси пружины (рис. 59). Считая удар пули абсолютно неупругим, определить период и амплитуду горизонтальных колебаний бруска.
Решение. Обозначим: v
1 —
начальная скорость движения бруска с пулей.
В момент соударения пуля сообщает бруску кинетическую энергию,
вследствие чего он начнет двигаться к стене и сжимать пружину. Сжатие пружины будет продолжаться до тех пор, пока вся кинетическая энергия бруска не
превратится в потенциальную энергию деформации пружины. При этом смещение бруска от положения равновесия будет максимальным и равным амплитуде колебания.
Чтобы определить амплитуду колебаний, воспользуемся законом сохранения энергии для системы тел, состоящей из бруска, пружины и пули. В
начальный момент попадания пули в брусок полная энергия системы будет
равна кинетической энергии бруска и пули:
.
2
2
1
1
vMm
W
В момент времени, когда смещение бруска стало максимальным, полная
энергия системы тел будет равна потенциальной энергии упруго деформированной пружины:
.
2
2
2
kA
W
Согласно закону сохранения и превращения энергии:
113
,
21
WW
или
.
22
2
2
1
kA
vMm
Скорость бруска после удара пули определим из закона сохранения импульса:
,
1
vMmmv
откуда
Mm
mv
v
1
и
22
2
2
.
2
2
m M m v
kA
mM
Отсюда:
22
1
.
mv
A mv
m M k m M k
76. В чашку массой М, подвешенную на пружине с жёсткостью k, падает
с высоты h тело массой m и остаётся в чашке. Чашка вместе с телом после этого
начинает совершать вертикальные гармонические колебания. Полагая удар тела
о дно чашки абсолютно неупругим, определите амплитуду колебаний чашки.
Решение. Обозначим: х0 — величина статического растяжения пружины с
подвешенной чашкой и находящимся в нем телом; хm — величина максимального растяжения пружины при колебаниях.
По условию задачи можно определить два состояния системы: первое —
в момент падения тела в подвешенную на растянутой пружине чашку, второе
114
— в момент максимального смещения чашки с телом от равновесного положения. Поэтому задачу попытаемся решить с помощью уравнения закона сохранения и превращения энергии при движении системы из положения, соответствующего соударению тела с чашкой, до крайнего нижнего положения, когда
система смещена на максимальное расстояние, равное амплитуде колебаний.
Примем крайнее нижнее положение чашки с телом (при х = хm) за начало
отсчета потенциальной энергии тела в поле тяготения.
При свободном падении с высоты h тело приобретает скорость:
2.v gh
После неупругого удара тела о чашку (первое состояние) они приобретут
скорость v1, которую найдём из закона сохранения импульса:
11
2
,.
m gh
mv
mv m M v v
m M m M
Пришедшая в движение чашка с телом будет растягивать пружину до тех
пор, пока вся кинетическая энергия чашки и тела не перейдёт в потенциальную
энергию растянутой пружины. Далее система будет совершать гармонические
колебания около некоторого равновесного положения, координату которого x
0
можно определить из уравнения:
00
,.
m M g
kx m M g x
k
До падения тела пружина была растянута под действие силы тяжести
чашки Mg до длины:
.
k
Mg
a
Запишем закон сохранения механической энергии системы в двух отмеченных выше ее состояниях:
22
2
m
1
1
,
2 2 2
m
kx ka
M m v M m g x a
115
В правой части этого уравнения первое слагаемое — кинетическая энергия системы в начальный момент времени (при х = а), второе слагаемое — потенциальная энергия тел в поле тяготения, третье — потенциальная энергия
растянутой пружины в начальном состоянии. По закону сохранения энергии их
сумма равна максимальной потенциальной энергии растянутой пружины. Подставляя значения v1, x0 и a, получим после несложных преобразований:
2
2
2
mm
2
2 2 2
m
2
22
2
0.
2
.
M m g M M m g
m gh
xx
k M m k k
M m m g m gh
xg
k k M m k
Наибольшему отклонению чашки вниз при колебаниях будет соответствовать положительный корень этого уравнения (считаем смещение вниз положительным), а наименьшему (в крайнем верхнем положении чашки) — отрицательный. Следовательно, чашка будет совершать колебания между двумя этими крайними точками относительно равновесного положения х0 с амплитудой:
2 2 2
2
22
.
m g m gh g g h
Am
k k M m k k M m
77. На легкую пружину, укрепленную в вертикальном положении на го-
ризонтальном столе, падает с некоторой высоты шар, который после касания
остается на верхнем витке пружины. Скорость шара в момент касания пружины
равна v, максимальная деформация пружины —
max
x
. Определите амплитуду и
период колебания шара на пружине.
Решение. Обозначим: m — масса шара; k — жесткость пружины; L —
длина пружины в недеформированном состоянии; х0 — координата точки равновесного положения шара на пружине; А — амплитуда колебаний шара; g —
ускорение свободного падения.
По условию этой задачи можно определить два состояния системы: первое — в момент касания шара пружины, второе — в момент максимального
сжатия пружины. Это обстоятельство ясно указывает на то, задачу можно решить на основе составления уравнения закона сохранения и превращения энергии для этих двух состояний системы.
116
В первом состоянии полная механическая энергия системы будет складываться из кинетической энергии шара и потенциальной энергии шара в поле тяготения, которую будем отсчитывать от уровня стола:
2
1
.
2
mv
W mgL
(*)
В точке максимального сжатия пружины шар остановится, следовательно,
полная энергия системы будет равна сумме гравитационной потенциальной
энергии и потенциальной энергии сжатой пружины:
2
max
п max
.
2
kx
W mg L x
(**)
Приравнивая выражения (*) и (**), получим:
22
2 2 2 2
max max
max max max
, , .
2 2 2 2 2 2
xx
mv kx m v m m v
mgx gx gx
k k k
Из последнего уравнения определим период колебания шара на пружине
(пружинный маятник):
max
2
max
2 2 .
2
x
m
T
k
v gx
Амплитуду колебаний шара найдем из уравнения:
22
max max
max 0 max
22
max max
,.
22
x g v gx
mg
x x A A A A x
k
v gx v gx
78. Легкую пружину подвешивают за верхний конец вертикально, а на ее
нижнем конце закрепляют шарик массой m. Прикладывая некоторую силу к середине пружины ее медленно оттягивают вниз, совершая при этом работу А, а
затем пружину отпускают. Определите максимальную кинетическую энергию
шарика при его дальнейших гармонических колебаниях.
117
Решение. Обозначим:
п
W
— потенциальная энергия пружины;
к
W
— ки-
нетическая энергия шарика; k — жесткость пружины.
После того как пружину отпустят, установится ее равномерное растяжение по всей длине, т.е. если при совершении работы А, средняя точка пружины
сместиться на расстояние х, то теперь вся пружина будет растянута на это расстояние.
Согласно закону сохранения и превращения энергии:
пк
.WW
С другой стороны, величина совершенной работы А должна быть численно равна максимальной потенциальной энергии упруго деформированной верх-
ней половины пружины, которая, в свою очередь, при гармоническом колебательном движении шарика превратится в кинетическую энергию всей системы.
При оттягивании пружины вниз за середину, удлиняется лишь ее верхняя
половина, жесткость которой составляет 2k, и работа, равная потенциальной
энергии упруго деформированной верхней части пружины,
2
2
п
2 2 .
2
x
A k kx W
Отсюда приходим к выводу, что:
к
.
2
А
W
79. Легкую пружину жесткостью kи длиной
0
l
подвешивают за верхний
конец вертикально, а на ее нижнем конце закрепляют шарик массой m. Затем
пружину растягивают до длины l, отклоняют на угол и отпускают без
начальной скорости. Определите количество тепла, которое выделится в этой
системе после прекращения колебаний и возвращения системы в исходное состояние.
Решение. Из закона сохранения и превращения энергии следует, что количество выделенного тепла после прекращения возникших колебаний, должно
быть равно разности значений энергии системы в начальном и конечном состояниях, т. е:
118
12
.Q W W
Растянув пружину до длины l и отклонив ее на угол , система приобретает потенциальную энергию упругой деформации:
2
10
.
2
k
W l l
Вертикальную координату положения шарика в этом состоянии примем
за начальный (нулевой) уровень отсчета потенциальной энергии тела, находящегося в гравитационном поле Земли.
После прекращения вертикальных и горизонтальных колебаний шарика
пружина вернется в исходное вертикальное положение. В этом положении равновесия пружина с подвешенным к ней шариком имеет длину
1
l
, которую мож-
но определить из уравнения равновесия:
0
1 0 1
,.
mg kl
k l l mg l
k
В этом состоянии энергия системы будет равна
2
2 1 0
.
2
k
W mgh l l
Высоту можно определить из рис. 60:
0
1
cos cos ,
mg kl
h l l l
k
тогда
119
22
22
0
0 0 0 0 0
cos cos .
2 2 2 2
mg kl
k mg k k m g
Q l l mg l l l l l mg l l
k k k
80. В чашке пружинных весов, установленных на горизонтальном столе,
находятся две разные гири (рис. 61). Чашка совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой А и периодом Т. Если вторую гирю убрать из
чашки весов в момент нахождения чашки в крайнем верхнем положении, то колебания прекратятся. Определите массу второй гири, если масса первой равна
m1. Массой чашки и пружины пренебречь.
Решение. Обозначим: k — коэффициент жесткости пружины; L — длина
пружины в недеформированном состоянии; L1 — величина удлинения пружины в крайнем верхнем положении чашки весов; L2 — величина сжатия пружины в статическом состоянии с первой гирей в чашке; L
0 —
величина сжатия
пружины в статическом состоянии с двумя гирями в чашке; g — ускорение свободного падения.
Чтобы колебания прекратились, чашка должна после снятия второй гири
опускаться так, чтобы при подходе к новой точке равновесия весов скорость
чашки уменьшилась до нуля, т. е. условием прекращения колебаний будет равенство нулю кинетической энергии чашки с оставшейся первой гирей в новой
точке равновесия весов. Следовательно, на основании закона сохранения и превращения энергии, потенциальная энергия системы в крайнем верхнем положении должна быть равна потенциальной энергии системы в новом положении
равновесия:
22
12
1 1 1 2
.
22
k L k L
m g L L m g L L
Величина растяжения пружины L1 будет определяться разностью амплитуды колебания А и величины статического сжатия пружины L0:
120
10
,L A L
(*)
которую определим из условия равновесия весов с двумя гирями:
12
0 2 1 0
,.
m m g
k L m m g L
k
Жесткость пружины весов определим из формулы периода колебаний
пружинного маятника:
2
12
12
2
4
2 , .
mm
mm
Tk
kT
(**)
Величину сжатия пружины весов во втором положении определим из
условия равновесия:
1
1 2 2
.
mg
m g k L L
k
(***)
Подставим выражения (*) и (**) в уравнение закона сохранения и превращения энергии:
2
2
12
1
12
1
11
,
22
m m g
mg
kA
k
k
m m g
mg
k
m g L A m g L
kk
а после подстановки в это уравнение выражения (**) и решения его относительно m2, получим:
2
21
22
4
.
4
A
mm
gT A
Анализ полученного решения показывает, что ситуация, описанная в задаче, может произойти только при выполнении условия:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]