Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механические колебания. Сборник задач с решениями. Задачник для СПО
.pdf
81
лебания около положения равновесия. Определите, с какой частотой поплавок
будет совершать вертикальные колебания.
Решение. Введем обозначения: h — длина погруженной части поплавка в
жидкость в состоянии равновесия; g — ускорение свободного падения.
Рассмотрим два первых способа определения частоты или периода коле-
баний, предложенных в рекомендациях по решению задач.
Первый способ. Выберем произвольный момент времени при колебательном движении поплавка, например, когда он погружен в жидкость на глубину х
относительно положения равновесия.
На плавающий поплавок действуют сила тяжести:
Р = mg
и сила Архимеда:
FА = gSh.
Таким образом, в положении равновесия:
mg = gSh. (*)
Если поплавок погрузить в жидкость на глубину x, то сила Архимеда будет равна:
.
A
F gS h x
Направим ось ОХ вдоль движения поплавка в сторону смещения, т.е. вертикально вниз, и запишем уравнение движения поплавка в проекции на выбранную ось:
,mx mg gS h x gSx
или
2
0
0,xx
где
0
gS
m
— циклическая частота колебаний поплавка, которая связана с ча-
стотой соотношением
0
.
2
Следовательно,
82
1
.
2
gS
m
Второй способ. Если поплавок погрузить в жидкость на глубину x, то ре-
зультирующая сила, действующая на поплавок, будет равна:
F gS h x gSh gSx kx
,
где
k
= gS.
Подставив выражение k в формулу (8) для периода колебания тела под
действием квазиупругой силы:
F
2
m
T
k
,
получим:
1
.
2
gS
m
.
50. На два быстро вращающихся в разных направлениях валика, расстоя-
ние между осями которых равно L, положили горизонтальную доску (рис. 38).
Определите период горизонтальных колебаний доски, если коэффициент трения скольжения между доской и валиками равен μ.
Решение. Обозначим: N1 и N2 — силы реакции на доску со стороны валиков; F
тр1
и F
тр2
— силы трения, действующие на доску со стороны валиков; х —
83
смещение центра масс доски при ее колебаниях; m — масса доски; g — ускорение свободного падения.
На доску со стороны валиков действуют две силы реакции и две движущие силы трения скольжения, направленные внутрь доски во взаимно противоположных направлениях (рис. 39).
Равновесие доски при вращении валиков в указанном направлении будет
устойчивым, поскольку любое малое смещение центра масс доски от его равновесного положения увеличит ту силу трения, которая будет стремиться уменьшить это смещение.
В положении равновесия центр масс доски будет расположен на равных
расстояниях L/2 от обоих валиков. Если он сместится на расстояние х от равновесного положения, то условием равновесия доски относительно оси вращения
левого валика будет уравнение:
2
0.
2
L
mg x N
Сумма проекций сил на вертикальное направление так же должна быть
равна нулю:
12
0.N N mg
Из этих двух равенств находим:
12
11
,.
22
xx
N mg N mg
LL
Запишем уравнение движения балки в горизонтальном направлении:
84
тр тр 1 2
12
2,
2
0.
x
mx F F N N mg
L
g
xx
L
.
Из этого уравнения следует (см. формулу (7)), что доска во время быстрого вращения валиков будет, проскальзывая относительно валиков, совершать
под действием возвращающей квазиупругой силы горизонтальные гармонические колебания с периодом:
0
2
2.
2
L
T
g
51. Небольшое тело, подвешенное на невесомой пружине, совершает гар-
монические колебания в вертикальной плоскости. Определить, во сколько раз
изменится период колебаний тела, если пружину укоротить в два раза?
Решение. Обозначим: l — длина пружины в исходном состоянии; k —
жесткость пружины в исходном состоянии; m — масса тела.
Период колебания тела в исходном состоянии определяется по формуле:
2.
m
T
k
Под действием силы тяжести подвешенного тела исходная пружина рас-
тянется на:
.
mg
x
k
При этом середина пружины сместится лишь на х/2, т.е. жесткость по-
ловины пружины будет равна:
2.
2
mg
kk
x
85
Тогда период колебания тела на укороченной в два раза пружине изме-
нится в:
1
0,71
2
Tk
Tk
.
52. Коробка массой М стоит на горизонтальном столе. Коэффициент тре-
ния между столом и коробкой равен . Внутри коробки лежит брусок массой m,
который может без трения двигаться по дну коробки. Брусок прикреплён к
стене коробки пружиной жесткостью k (рис. 40). Определить, при какой амплитуде колебания скорости бруска относительно коробки она начнет смещаться
относительно стола?
Решение. Коробка начнёт двигаться по столу, когда максимальная сила
упругости пружины, возникающая при колебаниях пружины, станет больше
силы трения коробки с находящимся внутри бруском о поверхность стола, или
в предельном случае:
kA = (M+m)g.
Отсюда:
M m g
A
k
.
Тогда согласно формуле (3) искомая амплитуда колебаний скорости
бруска должна быть равна:
max 0
.
m M g m M g
k
xA
km
km
86
53. Гиря массой m подвешена на трех невесомых нитях так, что оси всех
трех пружин лежат в одной вертикальной плоскости, ось средней пружины
жесткостью
1
k
вертикальна, а оси двух крайних пружин жесткостью
2
k
каждая
образуют с вертикалью углы (рис. 41). Определите период малых колебаний
гири на этих пружинах.
Решение. Ось ОХ направим вертикально вниз, начало отсчета совместим
с точкой крепления гири в положении равновесия системы.
Если гирю сместить вниз на небольшое расстояние х1, то оси крайних
пружин займут положение, показанное на рис. 42 штриховой линией. Поскольку смещение гири от положения равновесия мало, то можно считать, что удлинение крайних пружин будет равно:
21
cos ,xx
а действующая со стороны каждой из крайних пружин сила упругости будет
направлена вверх под углом к вертикали и возрастет на величину:
22
cos .F k x
Действующая на гирю сила со стороны средней пружины увеличится на
величину:
11
.F k x
87
Тогда уравнение движения гири в проекции на вертикальную ось примет вид:
22
1 2 1 2
1
2 cos , cos 0.mx k x k x x k k x
m
а искомый период малых колебаний гири будет равен:
2
12
2
2.
cos
m
T
kk
54. Две пружины с коэффициентами жёсткости k1 и k2 соединены в одном
случае последовательно в другом — параллельно. Найдите отношение периодов вертикальных колебаний некоторого груза на соединённых таким образом
пружинах.
Решение. Решение этой задачи сводится к нахождению эффективного ко-
эффициента упругости kдвух последовательно и параллельно соединенных
пружин.
Случай а): под действием силы тяжести груза Р каждая из пружин неза-
висимо от другой растянется на длину:
12
12
;
PP
xx
kk
.
Для системы последовательно соединённых пружин можно записать:
12
12
PP
P kx k x x k
kk
,
откуда:
12
12
kk
k
kk
.
Тогда период колебания груза массой m:
12
1
12
22
k k m
m
T
k k k
.
88
Случай б): Силу тяжести груза Р, действующую на систему параллельно
соединённых пружин, разложим на две составляющие, одна из которых Р1 приложена к пружине 1, а другая Р2 к пружине 2. При параллельном соединении
пружин обе пружины могут быть растянуты только на одинаковую длину х.
Для каждой из пружин можно записать закон Гука:
1 1 2 2
;P k x P k x
.
Для системы пружин:
Р = kx,
или
Р1+ Р2 = kx;
k1x + k2x = k
k = k1 + k2.
Тогда период колебания груза массой m, прикрепленного к двум парал-
лельно соединенным пружинам будет равен:
2
12
22
mm
T
k k k
.
В результате находим:
1 2 1 2
1 1 2 1 2
12
2 1 2 1 2
12
.
k k m k k
T k k k k
kk
T k k m k k
kk
55. К нижним концам двух закрепленных наверху пружин жесткостью k1
и k2 привязана нерастяжимая нить, по которой может свободно скользить невесомый блок. К оси блока на такой же нити подвешена гиря массой m (рис. 43),
которая совершает малые гармонические колебания. Определите период колебаний гири.
89
Решение. Введем обозначения: х1 и х2 — растяжения первой и второй
пружин при смещении гири вниз на расстояние х от положения равновесия;
0
иT Т
— силы натяжения нити, на которой висит гиря в состоянии равновесия и
при смещении гири вниз на расстояние х от положения равновесия;
01 1
иТT
—
силы натяжения нити, привязанной к первой пружине в состоянии равновесия и
при смещении гири вниз на расстояние х от положения равновесия;
02 2
иTT
—
силы натяжения нити, привязанной ко второй пружине в состоянии равновесия
и при смещении гири вниз на расстояние х от положения равновесия;
01 1
иFF
—
силы упругости первой пружины в состоянии равновесия и при смещении гири
вниз на расстояние х от положения равновесия;
02 2
иFF
— силы упругости вто-
рой пружины в состоянии равновесия и при смещении гири вниз на расстояние
х от положения равновесия; g — ускорение свободного падения.
В отличие от задачи № 54 в этой задаче пружины уже нельзя рассматри-
вать как параллельно соединенные, т.к. подвижный блок висит на нити, по которой он может скользить, и при движении груза, подвешенного на этом блоке,
пружины будут растягиваться на разные величины.
Выберем начало отсчета на оси ОХ, направленной вертикально вниз, в
точке оси блока в положении равновесия системы. В состоянии равновесия системы в силу невесомости блока и пружин и третьего закона Ньютона должны
выполняться равенства:
0 0 01 02 01 02 01 01 02 02 01 02
, , , , , .mg T T T T T T T F T F mg F F
(1)
При колебательном движении гири на нее будут действовать силы тяже-
сти и натяжения нити. Поэтому уравнение движения гири в проекции на ось
ОХ будет иметь вид:
.mx mg T
Поскольку:
90
1 2 1 2 01 1 1 02 2 2
,T T T F F F k x F k x
то уравнение движения гири с учетом равенств (1) можно переписать в виде:
01 1 1 02 2 2 1 1 2 2
.mx mg F k x F k x k x k x
(2)
Растяжения пружин связаны со смещением гири соотношением:
12
.
2
xx
x
(3)
Так как Т1 = Т2, то:
01 1 1 02 2 2 1 1 2 2
.F k x F k x k x k x
(4)
Из выражений (3) и (4) выразим растяжения пружин:
21
12
1 2 1 2
22
,
kk
x x x x
k k k k
и подставим их в уравнение движения гири (2):
2 1 1 2
12
1 2 1 2 1 2
2 2 4
,
k k k k
mx k x k x x
k k k k k k
или
2
0
0,xx
где
12
0
12
2.
kk
m k k
Следовательно, искомый период колебания гири будет равен:
12
0 1 2
2
.
m k k
T
kk
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]