Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механические колебания. Сборник задач с решениями. Задачник для СПО
.pdf
41
Таким образом, искомый период малых колебаний системы будет равен:
2 2 .
2
LL
T
gg
24. Математический маятник массой m, подвешенный на нити длиной L,
начинают раскачивать так, что каждый раз, когда шарик проходит положение
равновесия, на него в течение короткого промежутка времени t действуют силой F, направленной параллельно скорости. Определите амплитуду колебания
маятника после n полных качаний.
Решение. Обозначим: А — амплитуда колебаний маятника, - циклическая частота колебания, Т — период колебания маятника.
Согласно второму закону Ньютона:
Ft = (mv).
Поскольку масса маятника неизменна, то это уравнение перепишем в виде:
Ft = m (v1-v0),
где v0 — начальная скорость маятника, которая по условию задачи равна нулю.
Запишем систему уравнений:
Ft = m (v1-v0);
Ft = m (v2-v1);
Ft = m (vn-v
n-1
).
Сложим почленно эти уравнения и получим:
Ft = mvn.
Откуда:
vn=
.
m
tF
42
Из уравнения гармонического колебания:
0
sinx A t
для скорости шарика в точке равновесия после n колебаний можно записать:
vn = A= A
.
g F t
Lm
Отсюда:
.
F t L
A
mg
25. Математический маятник массой m, подвешенный на нити длиной L,
совершает гармонические колебания так, что зависимость угла отклонения нити от вертикали со временем описывается уравнением
00
sin t
. Опре-
делите силу натяжения нити в момент времени t = t.
Решение. Обозначим: Q — сила натяжения нити, v — линейная скорость
шарика в момент времени t, — угол отклонения нити от вертикали,
— уг-
ловая скорость шарика в момент времени t = t.
На маятник действуют сила тяжести mg и сила натяжения нити Q
(рис. 10), благодаря которым маятник приобретает ускорение а:
.mg Q ma
.
В проекции на направление нити это уравнение можно записать в виде:
43
2
cos .
mv
Q mg
L
Используя связь между линейной и угловой скоростью маятника:
v =
L,
которая для момента времени t = t будет иметь вид:
v = L = L0 cos t+0),
получим:
Q = mg cos 0 sin t+0 + mL
2
0
2 cos2 t+0.
26. Шарик массой m, подвешенный на невесомом стержне длиной L, со-
единен с одним из концов горизонтальной недеформированной пружины жесткостью k (рис. 11). Другой конец пружины укреплен на вертикальной стене так,
что получился математический маятник с пружинной связью. Определите период его малых колебаний в плоскости рисунка.
Решение. Первый способ. При смещении стержня от вертикали на малый
угол на шарик будут действовать сила тяжести, сила реакции стержня и сила
упругости, которая при малых смещениях шарика от положения равновесия бу-
дет направлена практически по касательной к траектории движения шарика.
Запишем уравнение движения шарика в проекции на ось ОХ, направлен-
ную по касательной к траектории его движения:
sin , 0.
x mg g k
mx mg kx mg kx mg kx k x x x
L L L m
44
Это уравнение совпадает с уравнением (7), если положить, что:
0
.
gk
Lm
Отсюда:
2.
mL
T
mg kL
Второй способ. При малом горизонтальном отклонении х шарика от по-
ложения равновесия система приобретает, во-первых, потенциальную энергию
упругой деформации
2
2
kx
и, во-вторых, поднимаясь при этом на высоту h
(рис. 12) от положения равновесия, — потенциальную энергию в поле силы тяготения
mgh
, где:
22
.h L L x
(*)
Выражение (*) можно упростить, воспользовавшись известной формулой
приближенных вычислений (см. матем. прилож. разд. 2). При х 1:
2
22
.
2
x
a x a
a
Тогда:
2
22
.
2
x
h L L x
L
Кинетическая энергия шарика будет равна
22
.
22
mv mx
Полную механическую энергию системы в этом случае можно предста-
вить в виде:
22
.
22
mg x mx
Wk
L
45
Это выражение соответствует формуле (12) при:
1
,.
22
mg m
A k B
L
Следовательно, на основании формулы (15) период гармонических коле-
баний математического мятника с пружинной связью будет равен:
2 2 .
B mL
T
A kL mg
Примечание. Из анализа полученного решения следует, что при
0k
получим обычную формулу периода колебания традиционного математического
маятника, а при
k
период колебаний будет монотонно возрастать и в конце
концов колебания прекратятся вовсе.
Определите, как изменится ответ задачи, если пружину заменить полос-
кой эластичной резины, которая имеет ту же длину и жесткость?
27. На подвешенном невесомом вертикальном стержне закреплены на
расстояниях l1 и l2 от точки подвеса два маленьких шарика массами m1 и m2 соответственно. Определите период малых колебаний этого маятника в вертикальной плоскости.
Решение. Обозначим: α — угол отклонения стержня от вертикали; ω —
угловая скорость стержня; g — ускорение свободного падения.
При отклонении стержня от вертикали на угол каждый из шаров подни-
мется от положения равновесия на высоту (рис. 13):
1,2 1,2
1 cos .hl
46
При этом система приобретет потенциальную энергию:
2
п 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1 cos 2 sin .
2
W m gh m gh g m l m l g m l m l
Выражая линейные скорости шаров через угловую скорость стержня
,
получим:
1,2 1,2
.vl
Тогда кинетическая энергия системы будет равна:
2 2 2
22
1 1 2 2
к 1 1 2 2
.
2 2 2
m v m v
W m l m l
Поскольку в задаче рассматриваются малые колебания ( 1), то
sin
2
можно заменить на
2
, и выражение для полной механической энергии приоб-
ретет вид:
22
1 1 2 2
22
1 1 2 2
.
22
m l m l
g
W m l m l
Если это выражение сопоставить с формулой (12), то очевидно, что:
22
1 1 2 2
1 1 2 2
,.
22
m l m l
g
A ml m l B
Таким образом, в соответствии с формулой (15) система совершает гар-
монические колебания с периодом:
22
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2 .
B m l m l
T
A
g ml m l
47
Примечание. Полученный в задаче результат нетрудно обобщить на слу-
чай n тел с массами
12
, ,...,
n
m m m
, закрепленных на невесомом стержне на рас-
стояниях
12
, , ...,
n
l l l
соответственно от точки подвеса:
2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
...
2.
...
nn
nn
m l m l m l
T
g ml m l m l
28. Небольшой брусок попеременно скользит вниз и вверх по гладкой
внутренней поверхности сферического сегмента радиуса R, закрепленного на
горизонтальном столе. Повторяя многократно это движение, брусок совершает,
таким образом, малые гармонические колебания. Определите период колебания
бруска.
Решение. Введем обозначения: N — сила реакции опоры; g — ускорение
свободного падения.
Первый способ. При движении бруска на него будут действовать силы
тяжести и реакции опоры, поэтому уравнение его движения будет иметь вид:
.ma mg N
Запишем это уравнение в проекции на ось ОХ (рис. 14), направленную по
касательной к траектории движения бруска:
sin .mx mg
Поскольку в задаче рассматриваются малые колебания, то
sin ,
а дли-
на дуги окружности радиусом R, соответствующая малому углу , равна:
.S R x
48
Тогда уравнение движения бруска примет вид уравнения (7):
0.
g
xx
R
Отсюда искомый период колебаний:
2.
R
T
g
Второй способ. Проекция на ось ОХ результирующей силы, действующей
на брусок при отклонении его от вертикали на малый угол , будет равна:
sin .
x
F mg
Так как брусок совершает гармонические колебания, то сила
x
F
должна
быть связана со смещением х зависимостью:
,
x
F kx
где k — коэффициент возвращающей силы,
xR
— величина смещения бруска от положения равновесия.
Следовательно:
sin ,mg k R
или с учетом малости угла
:
,.
mg
mg k R k
R
Используя формулу (8), получим:
2.
R
Tg
Третий способ. Выберем в качестве обобщенной координаты при колебаниях — угол отклонения бруска на сферической поверхности от вертикали и
определим его полную механическую энергию при его отклонении от вертикали на произвольный угол . Для этого выберем нулевой уровень отсчета по-
49
тенциальной энергии бруска на уровне нижней точки сферы. Тогда при отклонении бруска от вертикали на угол он будет находиться на высоте:
cos 1 cos .h R R R
Следовательно, полная механическая энергия бруска будет равна:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
, 1 cos , 1 1 , .
2 2 2 2 2 2
mv m R mR mR mgR
W mgh mgR mgR
Как мы видим, это уравнение совпадает с уравнением (12), поэтому:
2
2
2 2 .
2
mR R
T
mgR g
Примечание. Полученный результат свидетельствует о том, что скольжение бруска по гладкой сферической поверхности радиуса R эквивалентно колебаниям обычного математического маятника с длиной нити равной R. Этот результат, очевидно, не является неожиданным, т.к. роль силы натяжения нити в
обычном математическом маятнике в этом случае играет сила реакции сферической поверхности.
29. Точка подвеса нити длиной L математического маятника расположена
на окружности большого круга полусферы радиуса R, а шарик, подвешенный
на другом конце нити, — на ее гладкой внутренней поверхности. Определите
период малых колебаний математического маятника по внутренней поверхности сферы.
Решение. Шарик маятника при колебаниях перемещается вдоль дуги
окружности радиуса
r
ВС, плоскость которой перпендикулярна большому
кругу полусферы.
50
Анализ ответа, полученного в предыдущей задаче, показал, что колебания
маятника на сферической поверхности эквивалентны колебаниям обычного математического маятника с длиной нити, равной радиусу сферической поверхности. Поэтому можно утверждать, что период колебания рассматриваемого в
этой задаче маятника будет равен:
2.
r
T
g
.
Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса rдуги окружности, который найдем из простых геометрических связей (рис. 15):
2
22
2
cos 1 sin 1 .
R R r
r L L L
L
Решив это уравнение относительно r, получим:
2
2
1,
4
L
rL
R
а период колебания маятника будет равен:
2
2
1
4
2.
L
L
R
T
g
Примечания. При
2LR
получается формула периода колебаний сво-
бодного тела на сферической поверхности, полученная в предыдущей задаче.
При
R
получим формулу периода колебаний обычного математического
маятника. Это связано с тем, что участок сферической поверхности, на котором
происходят колебания, в этом случае превращается в вертикальную плоскость.
30. Математический маятник с длиной нити L подвешен и расположен на
гладкой наклоненной под углом к вертикали плоскости. Определить период
колебания маятника на этой плоскости.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]