Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механические колебания. Сборник задач с решениями. Задачник для СПО
.pdf
101
Таким образом, полная механическая энергия системы при гармонических колебаниях колеса будет равна:
22
.
2
k
W x mx
Отсюда по формуле (17) период колебаний колеса будет равен:
2
2.
m
Tk
68. На брусок массой m, лежащий на гладком горизонтальном столе,
сверху положили другой брусок массой 2m. К верхнему бруску прикреплены
две растянутые пружины жесткостью 2k и 4k. Другие концы пружин прикреплены к вертикальным стенкам так, что их оси горизонтальны, совпадают и проходят через центр масс верхнего бруска (рис 52). Определить амплитуду гармонических колебаний брусков, с которой они будут совершать колебания по
плоскости без проскальзывания друг относительно друга, если коэффициент
трения между брусками равен .
Решение. Обозначим х — деформацию (удлинение и сжатие) каждой
пружины при колебаниях; k1 — общая (эффективная) жесткость двух пружин;
А — амплитуда колебаний; Т — период колебаний;
Из уравнения гармонического колебания для пружинного маятника, состоящего из двух пружин и тела массой 3m для максимального ускорения а
max
имеем:
2
2
2
1
max
1
22
3
23
kA
a A A A
Tm
m
k
.
102
Результирующая упругая сила, действующая на верхний брусок, будет
равна:
11
2 4 6 , 6 .kx kx kx k x k k
Тогда:
аmax =
2kA
m
.
Запишем условие равновесия бруска массой m:
mg = ma
max
, или a
max
= g.
Откуда искомая амплитуда колебания будет равна:
2
gm
A
k
.
69. К доске массой М, лежащей на гладком горизонтальном столе, при-
креплены две одинаковые растянутые пружины жесткостью k. Другие концы
пружин прикреплены к вертикальным стенкам так, что их оси горизонтальны,
совпадают и проходят через центр масс доски. На доску поставили брусок массой m так, что центры масс этих тел лежат на одной вертикали (рис. 53). На какое максимальное расстояние можно сместить доску вдоль оси пружин, чтобы
после ее отпускания брусок совершал гармонические колебания, если коэффициент трения между бруском и доской равен ?
Решение. По условию задачи верхний брусок должен совершать гармонические колебания. Поскольку между доской и бруском существует трение, то
гармонические колебания бруска могу происходить только при условии равенства нулю работы силы трения. А это возможно только в том случае, когда сила
103
трения является силой трения покоя, и, следовательно, ускорения обоих тел при
колебаниях должны быть одинаковы.
Уравнения второго закона Ньютона для доски и бруска в проекции на горизонтальную ось ОХ тогда можно записать в следующем виде:
max тр тр
2 , .Ma kx F ma F mg
Из написанных выше уравнений следует, что:
тр
2,
m
F kx
Mm
а искомая величина смещения доски должна удовлетворять неравенству:
max
.
2
g M m
x
k
70. Два бруска с массами m1 и m2, лежащие на гладкой поверхности стола,
соединены невесомой пружиной жёсткостью k. Пружина сжимается при помощи двух нитей, которые в некоторый момент времени перерезают (рис. 54), и
бруски начинают совершать линейные гармонические колебания. Определите
период колебания брусков.
Решение. Обозначим: L — длина пружины в недеформированном состо-
янии; L1 и L
2 —
расстояния от первого и второго брусков до центра масс системы
в недеформированном состоянии пружины; x и y — смещения брусков с массами m1 и m2 от центра масс системы при сжатой пружине.
Рассматриваемая система тел является замкнутой в горизонтальном
направлении. Следовательно, при любых смещениях тел при их горизонтальных колебаниях под действием упругой внутренней силы координата центр
масс системы останется неизменной.
Из определения центра масс механической системы тел имеем равенство:
104
1 2 2
1 1 1 2 2
12
, или .
L L m
L Lm L m
mm
В деформированном (сжатом) состоянии пружины расстояния от брусков
до центра масс системы должны удовлетворять уравнению:
1 1 2 2
12
,
.
m L x m L y
m x m y
Укорочение пружины при сжатии равно:
х+ y =
12
2
mm
x
m
.
Упругая сила, с которой пружина действует на какой-либо из брусков
(например, на первый), будет равна:
12
1
2
,
mm
F k x y kx k x
m
где
12
1
2
mm
kk
m
— коэффициент возвращающей силы. Используя выражение
для периода гармонических колебаний через коэффициент возвращающей
упругой силы, найдем выражение для периода колебаний первого (и второго)
бруска:
1 1 2
1 1 2
22
m m m
T
k k m m
.
71. На гладкой горизонтальной плоскости лежит клин массой М, на глад-
кой, наклоненной под углом к горизонту плоскости которого лежит закрепленный брусок массой m, связанный с клином недеформированной пружиной
жесткостью k (рис. 55). В некоторый момент времени брусок освобождают, и
вся система приходит в колебательное движение. Определить период колебаний системы.
105
Решение. Обозначим: L1 и L
2 —
расстояния от центров масс клина и брус-
ка до центра масс системы в недеформированном состоянии пружины; x1
2
— смещения клина и бруска в горизонтальном направлении от центра масс
системы при деформации пружины;
12
иxx
– горизонтальные проекции скоро-
стей клина и бруска в этот момент.
Рассматриваемая система тел в горизонтальном направлении является замкнутой, поскольку внешние силы, действующие систему «брусок — клин»,
являются вертикальными. Следовательно, при любых смещениях тел при их
колебаниях под действием внутренних сил упругости и реакции клина координата центр масс системы останется неизменной.
Из определения центра масс механической системы тел имеем равенство:
12
.ML mL
Если начало координат будет соответствовать такому положению бруска,
при котором пружина не деформирована, то в деформированном (растянутом)
состоянии пружины расстояния от клина и бруска до центра масс системы
должны удовлетворять уравнению:
1 1 2 2 1 2
,.M L x m L x Mx mx
С учетом геометрии перемещений и последнего соотношения найдем
удлинение пружины:
2
1
.
cos cos
xM
Lx
m
Нулевой уровень потенциальной энергии бруска, находящегося в поле тяготения Земли, примем на высоте бруска при максимально растянутой пру-
106
жине. Тогда потенциальная энергия механической системы тел будет равна потенциальной энергии упругой деформации пружины:
22
2
п1
2
.
2 2 cos
k L kM
Wx
m
Кинетическую энергию системы «клин — брусок» определим из уравнения:
2
2 2 2 2 2
2
1 2 1 2 1 1
к1
2
1.
2 2 2 2 2 2 cos 2 cos
Mv mv Mx mx Mx m Mx M M
Wx
mm
Если полная механическая энергия системы тел такова, что ее можно выразить в зависимости от обобщенной координаты х формулой вида:
22
,W Ax Bx
то (см. формулы 12–15) координата х совершает гармонические колебания с периодом:
2.
B
T
A
Следовательно, в этой задаче смещения тел от положения равновесия совершают гармонические колебания с периодом:
2
2
2
2
2
cos
2 2 cos 1 .
cos
M
M
mm
m
T
kM
Mk
m
72. Расположенный горизонтально цилиндрический сосуд длиной L, за-
полненный идеальным газом при температуре Т0 массой m и молярной массой
, разделён тонким поршнем массой М, который может двигаться без трения. В
равновесии поршень находится посередине цилиндра. При малых смещениях из
положения равновесия поршень совершает гармонические колебания. Определите период этих колебаний, считая процесс изотермическим.
107
Решение. Обозначим: S — площадь поршня, р — давление в сосуде,
р — изменение давления в каждой половине сосуда при смещении поршня из
положения равновесия, V — объём каждой половины сосуда.
В положении равновесия давление р на поршень слева и справа одинаково. При смещении поршня на малое расстояние х для газа, находящегося в обеих частях сосуда, будет справедливо уравнение Бойля — Мариотта:
.p p V Sx p p V Sx
Раскрыв скобки, получим:
pS
px
V
.
Результирующая сила, действующая на поршень со стороны газа при его
смещении, тогда будет равна:
F=pS=
2
.
pS
x kx
V
Знак минус означает, что сила направлена в сторону, противоположную
направлению смещения поршня, т.е. к положению равновесия. Следовательно,
под действием «квазиупругой» силы, пропорциональной смещению, поршень
массой М будет совершать гармонические колебания с периодом, определяемым формулой
2.
M
T
Выразив р из уравнения состояния идеального газа:
0
m
pV RT
,
окончательно получим:
T=2
00
2
V M M
L
S mRT mRT
.
108
Примечание: приведённое решение имеет физический смысл, только если
время установления теплового равновесия в газе много меньше периода колебаний.
73. Тонкое проволочное кольцо радиуса R и с равномерно распределен-
ным зарядом +Q закреплено так, что плоскость его вертикальна. Вдоль оси
кольца расположена гладкая непроводящая спица, на которую надета бусинка
массы m, имеющая заряд –q, противоположный заряду кольца. К бусинке с двух
сторон прикреплены одинаковые электрически изолированные от нее невесомые пружины жесткостью k каждая, оси которых совпадают со спицей, а концы
закреплены так, что в положении равновесия бусинка находится в центре кольца (рис. 56). Считая заряд бусинки точечным, определите период ее малых колебаний.
Решение. Обозначим: х — величина смещения бусинки от равновесного
положения; Fэ — электрическая сила, действующая на бусинку со стороны
кольца; Fу — равнодействующая сил упругости, действующих на бусинку со
стороны пружин; E — напряженность электрического поля, создаваемого всем
кольцом в точке х; 0 — электрическая постоянная.
Проведем ось ОХ вдоль спицы, а начало отсчета совместим с центром
кольца. При смещении бусинки на расстояние х от ее равновесного положения,
на нее будут действовать равнодействующая сил упругих деформаций пружин,
направленная к положению равновесия вдоль оси пружин и равная, согласно
закону Гука, 2kх и электрическая сила со стороны заряженного кольца.
109
Чтобы определить величину и направление этой силы, выделим малый
элемент кольца, ограниченный центральным углом (рис. 57). Учитывая, что
заряд выделенной дуги равен:
2
Q
Q
,
напряженность электрического поля заряженной дуги, которую примем за точечный заряд, в точке х будет равна:
2
2 2 2
0
0
1
.
4
8
QQ
E
r
Rx
Разложим Е на две составляющие: Ех — по нормали к плоскости кольца и
Е
у —
параллельно ей и просуммируем эти составляющие для всех элементов
кольца. При этом составляющие, параллельные плоскости кольца, в сумме дадут
нуль, поэтому на основании принципа суперпозиции можно утверждать, что
напряженность, создаваемая всем кольцом направлена вдоль оси ОХ и равна:
3
22
22
0
2
0
cos
.
4
4
Q Qx
E
Rx
Rx
Отсюда следует, что электрическая сила, действующая на бусинку, также
как и равнодействующая упругих сил, будет направлена вдоль оси ОХ к плоскости кольца. Следовательно, уравнение движения бусинки в проекции на ось
ОХ можно представить в виде:
уэ
3
22
2
0
2.
4
qQ
mx F F k x
Rx
По условию задачи колебания бусинки являются малыми, а это значит,
что
,xR
и уравнение движения бусинки примет вид:
3
0
1
2 0.
4
qQ
x k x
mR
110
Полученное уравнение является дифференциальным уравнением гармо-
нических колебаний (7), искомый период которых будет равен:
3
00
2
2.
2 /4
m
T
k qQ R
74. Два одинаковых положительных точечных заряда величиной закреп-
лены на расстоянии L друг от друга. Посередине между ними перпендикулярно
прямой, на которой расположены эти заряды, закреплена гладкая горизонтальная непроводящая спица, по которой может скользить бусинка массой m и отрицательным зарядом –q. Определить период малых колебаний бусинки. Силой
тяжести бусинки пренебречь.
Решение. Введем обозначение: х — величина смещения бусинки по вер-
тикали от положения равновесия; r — расстояние между бусинкой и зарядами
при смещении бусинки на расстояние х; F — сила Кулона;
0
– электрическая
постоянная.
Направим ось ОХ вдоль спицы, а начало отсчета совместим с точкой равновесного положения бусинки (рис. 58). При смещении бусинки на расстояние
х от ее равновесного положения, на нее будет действовать результирующая
двух равных по модулю кулоновских сил:
р
23
2
2
2
2
0
2
2
2
2
0
0
2
2 cos cos .
4
2
2
4
4
4
qQ qQ x qQx
FF
r
L
L
L
x
x
x
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]