Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
2.4. Динамика в специальной теории относительности
dt
мени и сокращения продольных размеров указывают на то, что значения ускорения, силы и других динамических характеристик, измеренные из разных инерциальных систем отсчета, также не совпадают.
2.4.1. Релятивистский импульс и зависимость
массы тела от скорости его движения
Импульс в ньютоновской механике определяется как произведение
массы тела на скорость его движения, которая в свою очередь является первой производной длины пути по времени, т. е.
ds
pm
= .
(2.10)
Поскольку скорости движения, рассматриваемые в ньютоновской
механике, много меньше скорости света, то m и dt, фигурирующие
в этом определении, можно считать массой и интервалом времени
(бесконечно малым), измеренными в системе отсчета, относительно
которой тело покоится. В специальной теории относительности масса и интервал времени, измеренные в системе отсчета, относительно
которой тело покоится, называются массой покоя и собственным вре-
менем тела, а обозначаются m
и dt0 соответственно. Перепишем вы-
0
ражение (2.3) в соответствии с этими обозначениями:
pm
ds
=
.
(2.11)
0
dt
0
Выражение (2.11) является определением релятивистского импульса
(или, другими словами, импульса в специальной теории относительности).
Релятивистский импульс — векторная физическая величина, численно равная произведению массы покоя и первой производной вектора перемещения по собственному времени тела.
Данное определение импульса обеспечивает неизменность (инвариантность) закона сохранения импульса при переходе из одной
инерциальной системы в другую, что согласуется с первым постула-
81
2. Специальная теория относительности
vm
том Эйнштейна. Кроме того, оно в пределе малых скоростей совпадает с определением импульса в ньютоновской механике, удовлетворяя тем самым принципу дополнительности, сформулированному
Н. Бором35.
Перепишем выражение (2.11) через время (t) той системы отсчета,
относительно которой наблюдается движение тела. Согласно второ-
2
му следствию из преобразований Лоренца
dt dt
0
v
1
, где v — ско-
2
c
рость движения тела. Подставляя это выражение в (2.11), получим
p
где введено обозначение
m
ds
0
2
dt
v
11
2
c
m
m
1
m
0
0
2
v
2
c
2
v
2
c
.
v
,
(2.12)
В соответствии с (2.12) и определением импульса отношение
m
1
0
v
c
m
2
2
является мерой инертности движущегося тела, т. е. мас-
сой движущегося тела. Эту массу называют массой движения или реля-
тивистской массой. В соответствии со всем вышесказанным масса (движения) тела зависит от его скорости и определяется выражением:
m
0
m
,
(2.13)
2
v
1
2
c
в котором m
— масса покоя; v — скорость движения тела.
0
Из (2.13) видно, что при стремлении скорости тела к значению скорости света в вакууме его масса обращается в бесконечность. В свою очередь, поскольку сила пропорциональна массе тела, то для разгона тела
35
Согласно принципу дополнительности Бора любая новая теория должна со-
держать предшествовавшую ей теорию как частный (предельный) случай.
82
2.4. Динамика в специальной теории относительности
dt
dt
dt
ds
dt
22
2
32
до скорости света потребуется сила, равная бесконечности, а таких сил
в природе не существует. Значит, тела с не нулевым значением массы
покоя не могут двигаться со скоростью света. Только частицы, обладающие нулевой массой покоя (m0 = 0), движутся с v = c. Этими частицами являются фотоны.
2.4.2. Связь энергии и массы тела
В соответствии с теоремой о кинетической энергии (гл. 1.2.4):
dК Fd sdA= =
,
(2.14)
чтобы изменить кинетическую энергию тела, на него должна действовать некомпенсированная сила, а это приведет к изменению его скорости. Следовательно, масса тела в результате действия некомпенсированной силы должна изменяться. В соответствии со вторым законом
Ньютона (1.13) для тел с изменяющейся массой
dmv
.
F
m
dv
Подставляя (2.14) в (2.15) и принимая во внимание, что
dm
v
(2.15)
v
=
, по-
лучим:
dК mvdv vdmmdv vdm
1
2
.
(2.16)
Далее, продифференцировав (2.13)
2
dm m
0
dv
2
21
c
/
2
v
2
c
2
и произведя в (2.16) с помощью полученного выражения замену dv
на dm, найдем
83
2. Специальная теория относительности
в соответствии с (2..13)
dK
32
/
m
2
c
m
0
2
v
1
2
c
2
vdm
m
11
m
0
v
/
c
2
2
dmc
2
.
Выполняя интегрирование этого соотношения от v = 0 до v (≠ 0)
и учтя, что кинетическая энергия тела, движущегося с нулевой скоро-
стью, равна нулю
vv
0
0
, установим выра-
dK Kv Kv Kv K
жение для кинетической энергии тела:
v
KdKdmc mc mc
v
0
v
v
0
2
2
0
2
,
(2.17)
где m — масса тела, движущегося со скоростью v (см. (2.13)).
2
Отметим, что размерность произведения mc
совпадает с размерностью энергии, а изменение этой величины совпадает с изменением
кинетической энергии тела. Так чем же является это произведение?
Логично предположить, что mc 2 — энергия движущегося тела36. Это
предположение было проверено и подтверждено множеством экспериментов. Наиболее прямыми из этого множества являются эксперименты по аннигиляции частиц и античастиц. В процессе аннигиляции
столкнувшиеся частица и античастица полностью исчезают, а вместе с ними исчезают их массы. Однако при этом выделяется энергия,
равная произведению суммы масс частицы и античастицы на квадрат
скорости света. В пользу того, что произведение mc 2 является энергией, свидетельствуют энергетический и массовый баланс ядерных реакций, в частности энергия, выделяющаяся при взрыве атомной бомбы. Таким образом, полная релятивистская энергия тела:
2
mc
Emc
2
0
.
(2.18)
2
v
1
2
c
В свою очередь, m
c 2 — энергия покоя (т. е. энергия покоящегося
0
тела37).
36
Без учета его потенциальной энергии.
37
Проверьте, устремив v к нулю в (2.18).
84
2.4. Динамика в специальной теории относительности
Вопросы для самоконтроля к главе 2
1. Дайте определение механическому принципу относительности.
2. В чем заключаются постулаты теории относительности?
3. Зависят ли значения скорости тела и скорости света от скоро-
сти движения системы отсчета?
4. Запишите преобразования Лоренца. При каких условиях они
переходят в преобразования Галилея?
5. Каково условие одновременности двух событий для всех на-
блюдателей?
6. Как изменяются размеры тел и длительности событий при пе-
реходе из одной инерциальной системы отсчета в другую?
7. При какой скорости движения тела релятивистское сокраще-
ние его длины составит 50 %?
8. Как записывается релятивистский закон сложения скоростей?
Какой вывод следует из этой записи?
9. Как выражается кинетическая энергия в релятивистской меха-
нике?
10. Как связаны между собой масса и энергия тела? Что называют
энергией покоя?
85
3. Физические основы
молекулярной физики
и термодинамики
Кроме механических систем, поведение которых досконально описывается законами динамики, физика вводит представления о макроскопических системах, состоящих из громадного числа частиц. Такие
системы нужны для изучения поведения веществ в различных агрегатных состояниях: газообразном, жидком, твердом, плазменном. Здесь
невозможно записать все уравнения движения и начальные условия
для каждой частицы, входящей в систему, и необходимы другие методы описания макроскопических систем. Таких методов два: статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический.
Молекулярная физика изучает модели веществ на основе представ-
лений об их строении и тепловом (хаотическом) движении частиц, составляющих систему. За основу принимаются усредненные динамические характеристики частиц, составляющих систему, и определяется
их связь с характеристиками всей системы. В молекулярной физике
нам прежде всего необходимо, опираясь на эксперименты с веществом, ввести (определить) основные характеристики (так называемые
параметры состояния). К ним относятся такие величины, как количество вещества, объем, температура, давление. Далее необходимо установить связь между параметрами состояния, рассматривая движение
частиц (молекул и атомов). Иначе говоря, надо связать наблюдаемые
параметры системы с усредненными динамическими характеристиками частиц (импульсами и энергиями).
Термодинамика, в отличие от молекулярной физики, не интересуется конкретным строением веществ, а изучает общие свойства макроскопических систем, находящихся в состоянии термодинамического
равновесия. В рамках термодинамики исследуются связь между этими
общими свойствами и переходы между равновесными состояниями.
Термодинамика базируется на двух началах — фундаментальных зако-
нах, установленных на основе обобщения экспериментальных данных.
86
3.1. Основные представления молекулярно-кинетической теории
Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика взаимно дополняют друг друга, образуя единое целое, но отличаясь различными
методами исследования.
3.1. Основные представления
молекулярно-кинетической теории
Повторим постулаты молекулярно-кинетической теории из школьного курса:
1) все тела состоят из частиц (атомов, молекул, ионов и др.);
2) частицы движутся непрерывно и беспорядочно;
3) частицы взаимодействуют между собой (действуют силы притя-
жения и отталкивания).
Положение 1 («атомистика») сложилось с древних времен. В настоящее время образы атомов и молекул получают с помощью электронных
микроскопов и электронных проекторов. На искусной работе с ионными
пучками основаны современные технологии в микроэлектронике. Строение молекул изучают оптическими, радиочастотными и другими методами.
Положение 2 («хаотичность теплового движения») ярко иллюстрируется броуновским движением. Микроскопические параметры теплового движения, например средние смещения атомов при тепловых
колебаниях, исследуются, в частности, по рассеянию кристаллами нейтронов, электронов и рентгеновских лучей.
Взаимодействие частиц между собой доказывается очевидными фактами сохранения формы твердых тел и упругой реакции тел на сжатиерастяжение.
Учтем, что приведенные положения являются постулатами. Их справедливость следует из многочисленных экспериментов и наблюдений,
а не выводится логически из каких-либо законов физики.
3.1.1. Термодинамические параметры
состояния системы
Объем (
) — очевидный параметр. В СИ измеряется в м 3. В задачах
(и в быту) часто используется внесистемная единица — литр (л), 1 л = 10−3 м 3.
87
3. Физические основы молекулярной физики и термодинамики
F
F
2
Давление (p) — скалярная физическая величина, характеризующая
распределение силы по поверхности, равная проекции силы на направление нормали к площадке, на которую сила действует, и отнесенная к единице этой площади. Для газов эта сила определяется ударами
молекул о стенку сосуда, при которых стенке передается некоторый
импульс. При равномерном распределении силы (
) по поверхности
площадью S давление равно
F
p
= ,
S
где F — проекция силы
на нормаль к поверхности. При неравно-
мерном распределении силы давление по определению равно
dF
p
= ,
dS
где dF — проекция силы
dF
на нормаль dS.
Давление измеряют в паскалях (1 Па = 1 Н/м 2). В задачах встречаются и внесистемные единицы: миллиметр ртутного столба (1 мм рт. ст. =
= 133 Па), атмосфера (1 атм ≡ 760 мм рт. ст. = 1,01 · 10 5 Па).
Температура (Т) — параметр состояния, связанный с понятием теплового равновесия и средней энергии теплового движения.
В соответствии с Международной практической шкалой температур тройной точке водорода (тройная точка вещества — это состояние, при котором три фазы этого вещества — газообразная, жидкая,
твердая — находятся в тепловом равновесии) приписывается температура 13,81 К (– 259,34 °С), кислорода — 54,361 К (– 218,79 °С),
точке замерзания воды — 273,16 К (0,01 °С), точке кипения воды —
373,15 К (100 °С) и т. д.
Для того чтобы с помощью этой физической величины описывать
и среднюю энергию теплового движения молекул введена постоянная Больцмана k = 1,38 · 10
−23
Дж/К. По определению этой констан-
ты записывают
3
где
ε
— средняя энергия теплового движения молекулы одноатом-
kT,
(3.1)
ного газа. К этому важному соотношению мы вернемся в гл. 3.1.9.
88
3.1. Основные представления молекулярно-кинетической теории
M
Параметром состояния также является количество вещества
m
где m — масса вещества; М — молярная масса (масса одного моля). Ко-
личество вещества измеряется в молях.
3.1.2. Равновесные состояния системы
и равновесные процессы
Основные формулы молекулярной физики имеют смысл для равновесных состояний систем. В молекулярной физике и термодинамике
в систему включают некоторое количество вещества, которое обменивается или не обменивается энергией в каких-либо формах с окружающими физическими объектами. Если никакого обмена энергией нет,
будем называть систему замкнутой. Если обмен энергией осуществляется только за счет работы, совершаемой системой, а обмена теплом
не происходит, то систему будем называть адиабатически замкнутой.
В качестве постулата примем утверждение, что замкнутая система сама по себе может приходить в состояние равновесия и оставаться в таком состоянии сколь угодно долго. Под равновесным состоянием
подразумевают такое, в котором любые части системы не обмениваются ни энергией, ни частицами. Температура любых макроскопических
частей системы в состоянии равновесия одинакова, и направленные
потоки частиц внутри системы отсутствуют. Разумеется, равновесие
между частями системы является динамическим, т. е. энергия, притекающая к любой части системы от других ее частей, равна энергии,
отдаваемой этой частью соседним. Подобный баланс устанавливается
и для частиц, составляющих систему, хотя частицы не являются неподвижными, а участвуют в тепловом (хаотическом) движении. На языке
параметров состояния это означает равенство температур между частями системы и равенство давлений.
Таким образом, когда мы указываем параметры состояния (V, p, T,
ν), то всегда подразумеваем, что система находится в некотором равновесном состоянии. Только для таких состояний имеют смысл точки на графиках зависимости давления (p) от объема (V) или на любом
другом графике, отражающем связь между параметрами состояния.
,
89
3. Физические основы молекулярной физики и термодинамики
M
VT∞
pT
∞
Система может выйти из состояния равновесия только под действием внешних факторов. Ясно, что замкнутость системы для перехода в другое состояние (с другими значениями параметров состояния)
должна быть нарушена. Примем здесь еще один постулат. Вообразим,
что процесс перехода из одного состояния в другое происходит через
непрерывное множество равновесных состояний. Такой воображаемый процесс в физике называют равновесным. Обратимся к равновес-
ным состояниям и равновесным процессам в газах, на примере которых главным образом будем изучать молекулярную физику.
3.1.3. Идеальный газ
Состояние газов и процессы изменения состояний изучены прежде
всего экспериментально. Для разреженных газов при температурах заметно выше температуры перехода в жидкое состояние получено уравнение состояния (уравнение Клапейрона — Менделеева):
pV RT
m
RT
(3.2)
и сформулированы газовые законы для изопроцессов. Изопроцессами
называют такие равновесные процессы, при которых один из параметров состояния остается постоянным. Напомним три основных изопроцесса:
1) изотермический, Т = const, p
= p2V2 (или pV = const), — для за-
1V1
данной массы газа при изотермическом процессе произведение давления на объем постоянно (закон Бойля и Мариотта);
2) изобарический, р = const,
T
(или
2
), — для заданной мас-
VTV
112
=
сы газа при изобарическом процессе объем пропорционален температуре (закон Гей-Люссака);
3) изохорический, V = const,
=
(или
T
1
2
), — для заданной
pTp
1
2
массы газа при изохорическом процессе давление пропорционально
температуре (закон Шарля).
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]