Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
1.3. Вращательное движение
dS
dϕ
R
ϕ
R
()
а(
)(
dS
dR
dS
ϕd
R
R
V
ϕd
Учтя тот факт, что эти три вектора:
ленный по касательной к траектории;
, направ, направ-
ленный перпендикулярно плоскости вращения;
, лежащий в плоскости движения и перпенди-
dS
кулярный к касательной к траектории (т. е.
и оси вращения (т. е.
d
), образуют тройку взаимно перпендикулярных векторов, запишем (1.38)
в векторном виде22:
где
dS dR
— вектор радиуса кривизны траектории.
,
(1.39)
)
Рис. 1.21
Радиус кривизны траектории — вектор, проведенный от оси вращения к вращающейся точке, лежащий в плоскости ее вращения и равный
радиусу окружности, которую описывает эта точка (в данный момент
времени). Радиус кривизны траектории перпендикулярен как траектории движения тела, так и его оси вращения.
Тогда, подставляя (1.39) в определения (1.32) и (1.33) и учитывая,
что интервал времени dt настолько мал, что R измениться не успевает, имеем:
RV RV
2
()а (в)
2
()
б
или в скалярном виде, когда вращение происходит вокруг единственной оси:
VR VR
/()
22
Квадратными скобками, в которые заключены два вектора, обозначается
их векторное произведение. При этом вектор, полученный в результате векторного
произведения, перпендикулярен каждому из сомножителей, а его модуль равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними:
dS dR dR
sin90
aR aR
/
dSdtd
dVdtd
(б
.
RR
dt
dt
R
Ra Ra
R
г
в)
(1.40)
г)
51
1. Механика
R
R
aV
d
2
d
3
d
1
1
2
В то же время вращение — это движение с изменяющимся по направлению вектором скорости, поэтому наряду с
зательно присутствует
a
(нормальное ускорение), которое в соответ-
n
a
при вращении обя-
τ
ствии с (1.9) и (1.40) может быть вычислено как
2
RV
V
a
n
VRR
2
.
При ускоренном вращении материальной точки —
При замедленном вращении материальной точки —
�� � ,
aV
�� � ,
.
.
1.3.2. Динамика вращательного движения
Динамика вращательного вращения, так же как и динамика поступательного движения, описывает причины возникновения или прекращения вращения и отвечает на вопрос: почему вращение происходит
с ускорением или без него? При каких условиях тело будет вращаться, каковы причины его прекращения и как рассчитать вектор углового ускорения?
Момент силы
Изложение данной темы также начнем с эксперимента. Попробуйте открыть дверь, толкая ее (т. е. прикладывая силу) в разных точках. Вы убедитесь, что для одного и того же результата (действия силы)
потребуются разные по величине усилия (силы). Причем, чем ближе
будет располагаться точка приложения силы к косяку, тем большее
усилие (сила) потребуется, чтобы открыть
дверь (рис. 1.22). Из этого эксперимента
следует, что результат действия силы зависит не только от величины и направле-
F
ния силы, но и от положения точки ее при-
F
F
3
ложения.
Чтобы характеризовать все три параметра силы (направление, величину и точку
приложения) с помощью одной физической величины, введем понятие момен-
Рис. 1.22
та силы.
52
1.3. Вращательное движение
MF
d
dr sin
Mr
r
F
M
FF
i
r
d
F
M
Момент силы — вектор, характеризующий действие силы относительно некоторой точки, численно равный произведению модуля силы
на плечо (d)
где
— плечо силы, равное длине перпенди-
куляра, опущенного из точки (относитель-
d=,
(1.41)
но которой вычисляется момент силы) на линию действия силы (рис. 1.23). Вектор момента
силы перпендикулярен вектору силы и радиусвектору, проведенному в точку приложения
силы из точки, относительно которой он вычисляется.
Поскольку
(рис. 1.23), а
F⊥ ,
, выражение (1.41) мож-
Рис. 1.23
но записать в векторном виде:
MrF
.
(1.42)
Направление вектора момента силы определяется по правилу буравчика: вращательное движение буравчика должно совпадать с на-
к
правлением кратчайшего поворота от
ное движение дает направление вектора
Момент импульса и момент инерции материальной точки
, тогда его поступатель-
.
некоторой оси ОО′ и испытывающую действие нескольких сил, равнодействующую которых обозначим
ся по всем силам, действующим на рассматриваемую материальную
точку)23. Момент равнодействующей этих сил относительно некоторой точки (например, точки А), лежащей на оси вращения, определяется выражением (1.42). Подставив в (1.42) второй закон Ньютона
(1.14), записанный через изменение импульса, получим
териальную точку, и их равнодействующей совпадают.
Рассмотрим материальную точку массой m, вращающуюся вокруг
(
MrFr
23
Следует также иметь в виду, что точки приложения сил, действующих на ма-
dp
dt
, где сумма выполняет-
i
,
53
1. Механика
М
r
dt
dt
FM
0
dt
O
А
O’
L
α
−α
r
R
m
p
90°
где
риальную точку;
– момент равнодействующей всех сил, действующих на мате-
– радиус-вектор (рис. 1.24);
p
— импульс матери-
альной точки.
Вынося далее знак производной за знак векторного произведе-
ния24, найдем, что
d
M
rp
dL
.
(1.43)
Введенная при записи (1.43) векторная физическая величина
L
= rp
(1.44)
называется вектором момента импульса ма-
териальной точки относительно некоторой
точки (в рассмотренном примере относительно точки А).
Полученное выражение (1.43) аналогично
выражению (1.13), определяющему понятие
силы. Из сопоставления этих двух выражений вытекает еще одно определение момента
силы. Согласно (1.43) момент силы — вектор-
ная физическая величина, характеризующая
Рис. 1.24
действие силы относительно некоторой точ-
ки, численно равная быстроте (скорости) изменения момента импульса относительно этой точки.
Вектор момента равнодействующей сил может быть представлен че-
рез векторную сумму моментов этих сил (см. сноску 22 на с. 51):
MrFrFr
rp
dp
dt
d
24
dt
ку векторное произведение вектора самого на себя равно нулю (
d
то
rp r
54
dr
dt
.
pr
dp
dt
i
i
i
dp
dt
i
i
mvvr
,
i
(1.45)
dp
d
, а посколь-
tt
vp r
vv
),
1.3. Вращательное движение
r
rp
LJ
M
где
i
— момент i-ой силы, действующей на материальную точку.
Подставив (1.45) в (1.43), получим
i
i
(1.46)
dt
dL
M
.
Равенство (1.46) аналогично второму закону Ньютона (см. (1.15)).
Роль сил в нем играют моменты сил, а роль импульса — момент импульса. Согласно (1.46) результатом действия моментов сил является
изменение момента импульса. При этом, как и в случае второго закона
Ньютона, векторная сумма всех моментов сил, действующих на материальную точку, равна быстроте изменения вектора момента ее импульса.
Теперь найдем проекцию вектора момента импульса материальной
точки на ось вращения, обозначив эту проекцию как L
25
. В соответ-
z
ствии с рис. 1.24, и расписав модуль векторного произведения векторов
p
и
с учетом того факта, что они перпендикулярны, найдем
LL rp rp
coscos cossin .
z
90
o
Rp
Расписав импульс материальной точки через произведение ее массы и линейной скорости и выразив последнюю через угловую скорость
(см. (1.40)), получим
LRmV Rm RmR
z
2
,
(1.47)
где R — радиус кривизны траектории (т. е. радиус окружности, вдоль ко-
торой движется материальная точка). Согласно (1.47) проекция момента импульса материальной точки на ось ее вращения прямо пропорциональна угловой скорости. При этом коэффициент пропорциональности
не зависит от угловой скорости и других кинематических характеристик
вращения. В соответствии с чем и по аналогии с определением импульса выражение (1.47) можно переписать к виду
,
где J = mR
z
2
называется моментом инерции материальной точки отно-
(1.48)
сительно оси ее вращения.
25
Здесь и далее декартова система координат выбрана так, что ее координатная
ось Оz сонаправлена и совпадает с осью вращения.
55
1. Механика
F
F
Выполнив проецирование соотношения (1.46) на ось вращения
и подставив в полученное равенство выражение (1.48) с учетом (1.33)26,
найдем, что
dJ
dL
M
z
z
dt
dt
d
J
,
J
(1.49)
dt
где M
— проекция на ось вращения момента равнодействующей сил,
z
равная сумме проекций (на ту же ось) моментов этих сил.
Из выражения (1.49) следует, что момент силы (являющийся характеристикой действия силы) прямо пропорционален угловому ускорению, а коэффициентом пропорциональности является момент инерции. Сопоставив (1.49) со вторым законом Ньютона (1.15) (согласно
которому коэффициентом пропорциональности между силой и ускорением является масса — мера инертности тела), можно сделать заключение, что момент инерции (так же как и масса) является мерой
инертности тела, только уже относительно его вращения.
Основное уравнение динамики вращательного движения.
Момент инерции тела
Рассмотрим абсолютно твердое тело массой m, к одной из точек
которого приложена сила
. Пусть также ось вращения этого тела за-
дана и не изменяет своего положения в пространстве.
Разобьем все тело на столь малые фрагменты, что их можно считать
материальными точками. Обозначим массу каждого из этих фрагментов через
dm
, где i — номер фрагмента. При этом нумерацию фраг-
i
ментов проведем следующим образом. Выделим тот фрагмент, к которому непосредственно приложена сила Fи присвоим ему номер 0.
Все остальные фрагменты пронумеруем в порядке их следования, начиная с 1. Затем (см. рис. 1.25), выбрав на оси вращения некоторую
точку О, зададим положение каждого фрагмента (относительно точ-
ки О) с помощью радиус-вектора
ri
i
…012, ,,
— номер фрагмента).
На каждый фрагмент действуют силы его взаимодействия с остальными фрагментами, которые непосредственно с ним соприкасаются.
Эти силы — внутренние силы. На фрагмент же с номером 0 наряду
с внутренними силами действует внешняя сила
.
26
В рассматриваемом случае неподвижной оси вращения угловая скорость изменяется только по величине, но не по направлению, поэтому угловое ускорение
совпадает с производной по времени от ее модуля.
56
1.3. Вращательное движение
dm
dm O
1
F
R
1
r
dt
Mi
,,
М
F
MM
ik
i = 0
f
f
0
Рис. 1.25
Запишем уравнение (1.46) для каждого из этих фрагментов:
внутр
0
внутр
,,
i
внутр
ki
0
(1.50)
12
…
внутр
i
,
— момент равнодейству-
где
dL
dL
— момент силы
0
MM i
dt
i
;
ющей внутренних сил, действующей на i-й (в том числе и нулевой)
внутр
M
ki
,
фрагмент;
ментов;
L
i
— момент импульса i-ого фрагмента, определяемый соот-
— момент силы взаимодействия k-ого и i-ого фраг-
ношением (1.44).
Суммируя уравнения (1.50) по i (включая и уравнение с
) и учи-
тывая, что сумма моментов сил действия и противодействия равна
нулю
2 7
iк
M
внутр
ki
,
0
, имеем
27
Силы действия и противодействия действуют вдоль одной прямой, поэтому
их плечи равны. Согласно третьему закону Ньютона эти силы равны и направлены
в противоположные стороны, поэтому моменты сил действия и противодействия
равны и противоположно направлены.
i
dL
i
dt
00
MM MM
внутр
i
i
iк
вну,ттр
ki
M
.
(1.51)
57
1. Механика
LL
LL
MR
jj
MF
jj
=
MJ
Вынося знак производной за знак суммы и вводя обозначение
i
, перепишем (1.51) к виду
0
i
dL
M
= .
(1.52)
dt
Введенная при записи (1.52) векторная величина
i
0
i
, равная
сумме моментов импульса каждого фрагмента, на которые было разбито теле, называется моментом импульса тела.
Выражение (1.52) следует обобщить на случай действия не одной,
а нескольких сил (Fj, j = 1, …, N; N — число сил). При этом получается равенство, совпадающее с (1.52) с единственным отличием: вместо
момента одной силы в правой его части фигурирует сумма моментов
всех внешних сил, действующих на тело.
В результате всего вышесказанного можно сформулировать основ-
ной закон (уравнение) динамики вращательного движения: векторная
сумма моментов сил, действующих на тело, равна быстроте (скорости) изменения вектора момента импульса этого тела:
где
(
j
F
d
) — момент j-й силы, действующей на тело.
j
Выполнив проецирование векторного равенства (1.53) на ось вращения, совпадающую с координатной осью Оz,
N
z
M
j
1 по всем
j
после подстановки в полученное равенство соотношение (1.48) и выполнения дифференциирования (с учетом того, что тело абсолютно
твердое) получим
N
j
58
jN
я
dLdtd
z
j
1
M
j
dt
по всем
точкам тела
dL
1,
dt
точкам тела
(1.53)
z
L
,
i
,
i
1.3. Вращательное движение
MJ
JJd
ii
mm
уп
VR
22
ρ
22
LL
где Ji = dmiR
2
— момент инерции i-го фрагмента относительно оси вра-
i
щения; Ri — радиус кривизны траектории движения i-го фрагмента.
Угловое ускорение всех точек одинаково, его можно вынести за знак
суммы. После чего, введя обозначение J для суммы моментов инерции
всех фрагментов, на которые было разбито тело, окончательно имеем
z
1,
j
где
по всем
точкам тела
по всем
точкам тела
jN
2
mR
— называется моментом инерции тела
относительно оси вращения.
В силу определения интеграла полученное выражение для J мож-
но записать в интегральном виде:
m
N
2
JdmR dm
по всем
точккам тела
по всемутел
i
limlim
mm
00
Rdmdmd
овсему объему тел
m
i
1
i
аа
2
R
i
(1.54)
dV
,
— плотность тела, V — объем тела.
где
Теперь можно сформулировать определение момента инерции тела.
Момент инерции тела относительно оси вращения — скаляр, характе-
ризующий инертность тела относительно вращения, численно равный
где R — радиус кривизны траектории движения объема dV (т. е. радиус
окружности или дуги окружности, вдоль которой движется объем dV).
Момент импульса. Закон сохранения момента импульса
Согласно вышеизложенному момент импульса тела равен вектор-
ной сумме моментов импульса каждой точки этого тела:
JRdm RdV
по всем
точкам тела
,
,
i
59
1. Механика
MM
ii
L
ω
MM
i
iki
11
11
Lrpdmrv
ii
где
i
i
i
i
— момент импульса i-ой точки (см. (1.44),
рис. 1.25 и определение импульса на стр. 23).
В случае однородного тела, симметричного относительно оси вращения, сумма моментов импульса каждой точки этого тела направлена вдоль оси вращения в ту же сторону, что и вектор угловой скорости. Действительно, такое тело можно разбить на пары равных
по массе, расположенных симметрично относительно оси вращения,
фрагментов (см. рис. 1.25). Сумма моментов импульса каждой пары
(см. на рис. 1.25)
вательно,
и
сонаправлены. Приняв во внимание этот факт, пере-
будет направлена по оси вращения, а следо-
пишем равенство (1.48) в векторном виде:
LJ
.
Таким образом, момент импульса однородного тела, симметричного относительно оси вращения, — вектор, численно равный произведению вектора угловой скорости на момент инерции тела относительно оси вращения.
Теперь рассмотрим систему вращающихся относительно общей
оси и взаимодействующих между собой тел. Тогда, записав для каждого из этих тел основное уравнение динамики вращательного движения (1.53), выделив моменты внешних и внутренних сил, получим
L
i
где
— момент импульса i-го тела;
всех внешних сил, действующих на i-е тело;
ней силы, действующей на i-е тело со стороны k-го тела. Суммируя
(1.55) по всем телам системы, имеем
Поскольку производная от суммы равна сумме производных
(от каждого слагаемого), т. е.
60
d
LMM
i
dt
N
dL
ki
i
dt
N
i
dL
i
dtddt
ik
внутр
M
0
ik
внутр
,
(1.55)
i
— момент равнодействующей
i
N
i
ik
M
N
L
i
— момент внутрен-
внутр
.
i
,
а согласно третьему за-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]