Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
3.2. Явления переноса
t
nt
/.
22
движения. Около нового направления снова построим цилиндр,
который опять «изломается» при очередном столкновении. За время ∆t
произойдет столько столкновений, сколько молекул содержится внутри цилиндра диаметром 2σ и высотой
ZnVnut
цилотн отн
24
. Для числа Z получаем
отн
()
Остается подставить это выражение в формулу (3.17) и воспользо-
ваться формулой (3.18). Окончательно имеем
t
nt
отн
2
1
.
(3.19)
2
2
n
Как и ожидалось, средняя длина свободного пробега убывает с ростом концентрации молекул n (а значит, и с ростом давления) и имеет меньшую величину для крупных молекул.
При решении задач значение эффективного диаметра обычно берут из таблиц. Эти значения имеют порядок (2 − 3) Ò 10
−10
м. Например,
концентрация молекул в воздухе при нормальных условиях имеет порядок 1026 м−3. Средняя длина свободного пробега молекул в воздухе
оказывается величиной порядка 10−7 м. Справедливость выведенной
формулы (к которой нельзя относиться как к абсолютно точной из-за
модельных упрощений при ее выводе!) подтверждается экспериментами по явлениям переноса.
Если с помощью специального насоса откачивать газ из сосуда, его
давление и концентрация (n) молекул будут уменьшаться. В соответствии с (3.19), средняя длина свободного пробега молекул будет возрастать. При понижении давления до долей Па средняя длина свободного
пробега увеличится до размеров сосуда. Столкновения между молекулами станут крайне редкими. Такое состояние системы называют вакуум.
Для получения вакуума, играющего большую роль во многих областях техники, используют специальные вакуумные насосы. С вакуумом приходится иметь дело в металлургии, электровакуумной технике
(внутри кинескопа телевизора или компьютерного монитора создан
3.2.2. Вакуум
111
3. Физические основы молекулярной физики и термодинамики
dx
St
St
dx
высокий вакуум). В быту часто используют термосы с вакуумированными стенками для теплоизоляции.
Кроме описанного понятия технического вакуума, используют также понятие физического вакуума как некоторого нулевого состояния
системы, возбуждения в которой соответствуют наблюдаемым микрочастицам.
3.2.3. Явления переноса в термодинамически
неравновесных системах. Опытные законы
и уравнения диффузии, теплопроводности
и внутреннего трения
К явлениям переноса относят необратимые процессы, в результате
которых в системе происходит пространственный направленный перенос какой-либо физической величины (электрического заряда, массы, импульса, энергии и т. д.) на основе теплового движения частиц.
Рассмотрим конкретные примеры явлений переноса.
1. Диффузия. Представим себе, что в системе нарушено равновесное
распределение частиц по объему. Энтропия такого состояния снижена
по сравнению с энтропией равновесного состояния. Тепловое движение частиц способствует постепенному устранению неоднородности.
Развивается явление диффузии — проникновения молекул одного вещества между молекулами другого за счет теплового движения в системе.
Имеются случаи, когда молекулы взаимно диффундирующих веществ не отличаются друг от друга. Например, две железные пластинки с чистыми поверхностями, приведенные в контакт, могут прочно
соединиться друг с другом за счет диффузионного проникновения атомов с одной пластины в другую. Для случая идентичных атомов это
явление называют самодиффузией.
Явление диффузии (и самодиффузии) наблюдают в газах, жидкостях и твердых телах. Конкретные механизмы в этих случаях разные,
но имеются и общие закономерности, выявляемые экспериментально. Основным здесь является закон Фика, который для случая диффузии вдоль оси x имеет вид:
112
dn
ND
или
j
x
N
dn
D
.
(3.20)
3.2. Явления переноса
∆N
St
dx
St
dx
St
υ
х
В приведенном выражении
– число атомов диффундирующего вещества, которые проходят через площадку S, перпендикулярную
оси х, за время ∆t при градиенте концентрации вблизи площадки, рав-
ном по модулю dn / dx. Величина D — коэффициент диффузии; знак
минус указывает на то, что диффузионный перенос атомов осуществляется в направлении, обратном градиенту концентрации.
N
j
Величина
x
— проекция вектора плотности диффузионного
потока на направление диффузии. Модуль этого вектора равен числу
частиц, диффундирующих в единицу времени через единичную площадку. Закон Фика можно сформулировать так: плотность диффузион-
ного потока пропорциональна градиенту концентрации.
Закон Фика часто записывают не для числа частиц, а для массы
диффундирующего вещества. Чтобы перейти к этой записи, умножим
левую и правую части первой формулы (3.20) на массу одной молекулы m0. Получим
Nm D
0
()
0
или
mD
d
.
dnm
Здесь m — масса вещества, прошедшего в результате диффузии через площадку S за время ∆t; ρ — плотность диффундирующего компо-
ddxρ
нента;
— градиент плотности.
Опыт также показывает, что величина коэффициента диффузии
увеличивается с ростом температуры. При этом влияние температуры
принципиально разное в случае газов и твердых тел, что связано с разными механизмами диффузии.
2. Внутреннее трение. Это явление переноса наблюдается в том случае, когда в жидкости
или газе происходит направленное движение вещества, причем в разных местах скорость движения разная.
Рассмотрим, например, движение жидкости
или газа в трубе (рис. 3.13). Вдоль оси трубы модуль скорости направленного движения υн максимален, а вблизи стенок минимален. Градиент модуля скорости направленного движения
направлен против оси х (в сторону нарастания модуля υн). Между сло-
н
Рис. 3.13
113
3. Физические основы молекулярной физики и термодинамики
dx
Т2 Т
υ
S
x
dx
St
dx
ями жидкости (т. е. на воображаемую площадку S, параллельную оси
трубы) действует сила внутреннего трения. Ее величина, в соответствии
с опытом, равна (закон Ньютона):
d
F
y
н
S
.
Рассмотренное свойство движущихся жидкостей и газов называ-
ют также вязкостью.
3. Теплопроводность. Явление теплопроводности имеет место в том
случае, когда в системе установлен градиент температуры.
Пусть, например на противоположных стенках тела, поддерживаются разные температуры Т1 > Т2 (рис. 3.14). Градиент температуры
всегда направлен в сторону наиболее быстрого ее возрастания. Теплота будет передаваться от горячей стенки к холодной (плотность теплового потока направлена в сторону, обратную градиенту температуры).
кв
1
Рис. 3.14
Количество перенесенной теплоты Q через площадку S за время
∆t, а также проекция плотности теплового потока jQ на ось x определяются законом Фурье:
dT
j
,
Q
Q
dT
. (3.21)
Коэффициент теплопроводности χ, как следует из (3.21), имеет
смысл количества теплоты, переносимой через единичную площадку в единицу времени при градиенте температуры, равном единице.
Физические механизмы теплопроводности в газах и твердых телах,
как отмечалось, разные. Объяснение явлений переноса в газах рассмотрим в следующей главе на основе МКТ. Теплопроводность твердых тел
рассматривается в одном из заключительных разделов курса физики.
114
3.2. Явления переноса
λ
n
S
x
0
υ
υ
→
N
←
6
12
dx
St
3
3.2.4. Молекулярно-кинетическая теория
явлений переноса. Зависимость коэффициентов переноса
от давления и температуры
Вывод закона Фика на основе МКТ проведем в следующей моде-
ли (см. рис. 3.15).
Слева и справа от площадки S на расстоянии средней длины сво-
бодного пробега
выберем два маленьких кубика. Концентрации
молекул в кубиках примем равными n1 и n2, причем концентрацию слева будем считать большей. В этом случае градиент концентрации окажется направленным справа налево, а диффузия пойдет слева направо.
n
1
2
Рис. 3.15
Считаем, что молекулы из левого и правого кубиков летят во все
стороны равновероятно; к выделенной площадке движется только шестая их часть. Число частиц ∆N, проходящих через площадку, получим как разность между числом частиц
и числом частиц
NN NnStnS t
, летящих справа налево:
1
6
1
nn St
12
.
Разность концентраций свяжем с величиной градиента концентра-
dn
ции
и расстоянием между кубиками:
dx
эту разность в (3.22), получаем:
1
N
.
N
, летящих слева направо,
1
6
nn
21
dn
dx
(3.22)
2
. Подставляя
dn
115
3. Физические основы молекулярной физики и термодинамики
pp~,
~,
pp
10
~.
Сравнение с (3.19) показывает, что МКТ правильно объясняет закон Фика (пропорциональность диффузионного потока градиенту
концентрации). Более того, теория раскрывает смысл коэффициента диффузии:
1
D
.
(3.23)
3
Этот коэффициент определяется произведением средней длины свободного пробега молекул и средней скорости их теплового движения.
Аналогичным образом МКТ объясняет явления внутреннего трения и теплопроводности. Для первого из них рассматривается перенос импульса направленного движения между соседними слоями жидкости или газа, если эти слои движутся с разными скоростями. При
объяснении теплопроводности рассматривается перенос энергии теплового движения.
Для коэффициента внутреннего трения в газах МКТ предлагает
следующую формулу:
1
.
(3.24)
3
Для коэффициента теплопроводности в газах получается
1
cv.
(3.25)
3
В формулах (3.24) и (3.25) использованы обозначения: ρ — плотность газа, с
— удельная теплоемкость.
V
Формулы (3.23), (3.24), (3.25) позволяют выяснить зависимость коэффициентов переноса от давления газа и его температуры. Для этого
вспомним, что средняя длина свободного пробега вне области вакуума обратно пропорциональна давлению, средняя скорость от давления
не зависит, плотность прямо пропорциональна давлению, а удельная
теплоемкость от него также не зависит. В результате получаем (не для
вакуума!):
Dp
10 1
10
pp
pppp p
1010 0
Значит, коэффициент диффузии с ростом давления уменьшается,
а коэффициенты вязкости и теплопроводности от давления не зависят, пока длина свободного пробега определяется соударениями между
116
3.3. Основные законы термодинамики
молекулами. Ситуация меняется при снижении давления до области
вакуума, когда длина свободного пробега определяется размерами сосуда. Здесь рассуждать о диффузии вообще нет смысла, коэффициенты вязкости и теплопроводности становятся прямо пропорциональными давлению. При снижении последнего до нуля нулевой становится
и теплопроводность, т. к. отсутствуют носители тепловой энергии —
молекулы. Эксперименты подтверждают эти выводы.
Аналогичным образом решается вопрос о зависимости коэффициентов переноса в газах от температуры. Здесь надо учесть, что средняя
длина свободного пробега молекул в рассмотренном варианте МКТ
не зависит от температуры, как и плотность и удельная теплоемкость.
Средняя скорость молекул пропорциональна Т
1/2
. Окончательные за-
писи сделайте самостоятельно.
Интересна зависимость коэффициентов переноса от сорта газа.
Здесь особое место занимают гелий и водород, молекулы которых
имеют сравнительно малые размеры и малую массу. Благодаря этому
обстоятельству для этих газов велики средние длины свободных пробегов, средние скорости теплового движения и удельные теплоемкости. В результате становится понятной их высокая теплопроводность
и высокие коэффициенты диффузии.
3.3. Основные законы термодинамики
Состояние макросистемы определяется внешними условиями и при
любом их изменении меняется. При этом изменяются и макроскопические параметры, характеризующие это состояние. Процессы, связанные с этими изменениями, называется тепловыми. Их мы и будем
изучать в этой главе.
3.3.1. Обратимые и необратимые процессы,
круговые и некруговые процессы
В главе 3.1.2 мы ввели основные для термодинамики понятия рав-
новесного состояния и равновесного процесса. Напомним, что в случае
равновесного процесса система проходит через непрерывную последо-
117
3. Физические основы молекулярной физики и термодинамики
′
A
AA
вательность равновесных состояний. При этом имеется возможность
изменять состояние системы (за счет внешнего воздействия) в любом
направлении, в том числе и в обратном. Через ту же самую последовательность состояний можно вернуться и в исходное состояние. Поэтому говорят, что равновесный процесс обратим.
Неравновесные процессы, напротив, невозможно провести в обратном направлении через прежнюю последовательность состояний.
Например, процесс горения спички завершается окислением углеводородов до воды и углекислого газа. Выделяющееся при этом тепло
рассеивается в окружающее пространство. Ясно, что в обратном направлении этот процесс невозможно провести, начиная со сбора рассеянной энергии и заканчивая восстановлением волокон древесины.
Горение — типичный неравновесный и необратимый процесс. В дальнейшем мы всегда будем обращать внимание на равновесность/неравновесность или обратимость/необратимость процессов.
Частным случаем обратимых процессов являются такие процессы,
при которых система возвращается в исходное состояние. Подобные
процессы будем называть круговыми процессами (или циклами). Соот-
ветственно, некруговым назовем такой равновесный процесс, при котором не происходит возвращение к исходным параметрам состояния.
Все реальные процессы неравновесные и необратимые, и рассмотрение равновесных (обратимых) процессов является необходимой для
физического анализа идеализацией физической ситуации.
3.3.2. Работа газа при его расширении
Одной из двух форм обмена энергией между системами является
совершение механической работы. Будем четко различать работу (А)
рассматриваемой системы над другими системами, внешними по отношению к ней (или над внешними телами), и работу
внешних сил
над рассматриваемой системой. Если речь идет об одном и том же изменении параметров состояния системы, то такие две работы равны
по модулю и противоположны по знаку:
.
Установим общую формулу для расчета работы газа при его равновесном расширении. Для этого рассмотрим газ (это наша система) в цилиндре под поршнем, находящийся в состоянии равновесия (рис. 3.16). Это означает, что сила давления газа на поршень pS
118
3.3. Основные законы термодинамики
= = =
Ap
p
h
dh
V
уравновешена силой (внешней по отношению к системе), действующей со стороны поршня на газ. Дадим газу расшириться на элементарный объем dV=Sdh. При этом сила давления газа на поршень
совершит элементарную работу
dA FdhpSdhpdV
cos0
, которая
на p(V)-диаграмме изобразится площадью узкого прямоугольника
(рис. 3.17). Полная работа при расширении газа от объема V1 до объема V2 выражается интегралом
V
2
dV
.
V
1
(3.26)
На рис. 3.17 эта работа изображается площадью под кривой p(V).
Знак работы определяется знаком косинуса угла между направлением действия силы давления газа на поршень (или на другие перемещающиеся части оболочки системы) и направлением перемещения. При увеличении
объема работа оказывается положительной,
при уменьшении — отрицательной. Например, на рис. 3.17 изображен процесс, для которого работа положительна (если V
— на-
1
чальный объем, а V2 — конечный).
Из исходного определения ясно, что работа
при расширении газа в существенной степени
Рис. 3.16
определяется видом процесса, а не только начальным и конечным состояниями системы.
dA
В идеальном случае можно осуществить расширение, вообще не совершая работы. Попробуй-
А
те изобразить на p(V)-диаграмме такой процесс.
Теперь договоримся о следующих обозначениях термодинамических величин. Будем
использовать символ δ для обозначения ма-
V1 V
Рис. 3.17
2
V
лых изменений величин (А и Q), зависящих
от вида процесса и поэтому точно не определенных. Символ дифференциала d будем использовать для изменений величин (U, S), зависящих только от начального и конечного состояний системы.
Для круговых процессов (циклов) будем обращать внимание на «направление» процесса. Если на p(V)-диаграмме (рис. 3.18) процесс
обозначен по часовой стрелке, то положительная работа на участке
119
3. Физические основы молекулярной физики и термодинамики
V
b
a
.
.
1
p
A< 0
.
.
1
b
а
p
V
δ
1 а2 оказывается больше по модулю отрицательной работы на участке 2 b1, и в целом за цикл имеем A > 0. И наоборот, для правого цикла
отрицательная работа на участке 2 а1 по модулю больше положительной работы на участке 1 b2, в этом случае A < 0.
A> 0
•
2
Рис. 3.18
•
2
Формулы для расчета работы в различных изопроцессах мы полу-
чим в гл. 3.3.6.
3.3.3. Количество теплоты
Второй формой обмена энергией между системами является теплопередача. Она имеет место при теплообмене между телами, имеющими
разные температуры. Переданную энергию будем обозначать Q. Договоримся о знаках: если система получает тепло от окружающих тел
(систем), то количество теплоты Q > 0. Если же система отдает тепло
окружающим телам (системам), то Q < 0.
Количество теплоты, как и работа, измеряется в джоулях (Дж).
Количество теплоты характеризует процесс, а не состояние системы (так же как и работа). Малое количество теплоты будем обозначать
Q.
3.3.4. Теплоемкость
Теплоемкостью тела (системы) (С
) назовем скалярную физиче-
общ
скую величину, характеризующую способность всего тела принимать
тепловую энергию при нагреве, равную количеству теплоты, необхо-
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]