Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
1.2. Динамика поступательного движения
=
.
кинетической и потенциальной энергий называется полной механической энергией (W):
W = К + П.
Свойства полной механической энергии представлены ниже.
1. Значение полной механической энергии определено с точностью до произвольной постоянной величины, т. е. начало ее отсчета
может быть выбрано произвольно.
2. Полная механическая энергия может быть как больше, так
и меньше или равна нулю. Например, энергия электрона, вращающегося вокруг атомного ядра и притягивающегося к нему, меньше нуля.
Его кинетическая энергия, которая всегда > 0, меньше значения модуля
потенциальной энергии его притяжения к ядру, которая < 0 (при этом
принято говорить, что электрон находится в связанном состоянии).
3. Аддитивность. Полная механическая энергия суммы тел (системы тел) равна сумме полных механических энергий каждого из этих тел.
Кроме перечисленного выше, полная механическая энергия может изменяться только в результате действия неконсервативных сил.
Это свойство механической энергии называется законом ее сохранения
и превращения. Оно является частным проявлением фундаментального закона физики — закона сохранения энергии. По этой причине в пе-
речисление свойств полной механической энергии не включается,
а формулируется отдельно в виде закона.
Закон сохранения и превращения механической энергии: изменение
полной механической энергии тел равно работе неконсервативных
сил, действующих на эти тела:
Докажем этот закон, используя соотношения, полученные в гл. 1.2.4.
Пусть на некоторое тело действуют как неконсервативные, так
и консервативные силы. Суммарная работа этих сил (т. е. их равнодействующей) согласно первому свойству работы (см. гл. 1.2.4) может
быть представлена в виде суммы работ только консервативных и только неконсервативных сил:
dE dA
dA dA dA
неконсерв
консервнеконсерв
.
(1.23)
41
1. Механика
dA dA dA d
К.
AdПK
Fd
С другой стороны, согласно теореме о кинетической энергии (см. гл.
1.2.4) работа равнодействующей всех сил, действующих на тело, равна
изменению его кинетической энергии:
консервнеконсерв
В свою очередь, согласно теореме о потенциальной энергии (см. гл.
1.2.4):
dA d
консерв
П.
Тогда
dd
неконсерв
или
ddTd dW dAППK
неконсерв
.
Что и требовалось доказать.
Закон сохранения и превращения механической энергии имеет
важное следствие, но прежде, чем его сформулировать, введем понятие консервативной системы тел.
Консервативная система тел — совокупность тел, на которые дей-
ствуют только консервативные силы (как внутри системы, так и вне ее).
Следствие — закон сохранения полной механической энергии: полная
механическая энергия консервативной системы тел остается постоянной.
Значит, W = const (или dW = 0), если
F
неконсерв
0.
Докажем этот закон, обозначив сумму всех неконсервативных сил
(т. е. их равнодействующей), действующих на тела, одним символом —
F
неконсерв
.
Согласно закону сохранения и превращения механической энергии (1.23):
где (см. (1.16))
Если рассматриваемая система тел — консервативная система,
F
неконсерв
то
тельно, dА
42
= 0
неконсерв
,
dA
неконсервнеконсерв
=
dW = dA
S
неконсерв
.
(см. определение консервативной системы). Следова-
= 0, тогда и dW = 0. Однако дифференциал некой ве-
1.2. Динамика поступательного движения
2
V
m
m
m
+ m
2
V
u
личины равен нулю, только если эта величина — const. Таким образом,
полная механическая энергия консервативной системы сохраняется:
W = К + П = const.
При этом кинетическая энергия может превращаться в потенциальную
энергию и наоборот (а их сумма — W — будет оставаться неизменной).
Данный закон является частным случаем одного из самых фунда-
18
ментальных законов физики — закона сохранения энергии
, который,
в свою очередь, является следствием свойств времени и был сформулирован раньше, чем закон сохранения полной механической энергии
19
1.2.6. Применение законов сохранения
Рассмотрим применение законов сохранения импульса и полной
механической энергии при решении физических задач на примере соударения двух тел. При этом ограничимся описанием лишь двух предельных случаев: абсолютно неупругого и абсолютно упругого ударов.
.
Абсолютно неупругий удар
Абсолютно неупругим ударом называется удар, в результате которого тела после соударения движутся как единое целое (слипаются).
m
Рассмотрим два тела массами
V
и
соответственно и соударяющих-
1
2
ся друг с другом абсолютно неупруго
(рис. 1.17). При этом будем считать, что
они образуют замкнутую систему
(т. е. на них не действуют внешние силы
или сумма внешних сил равна нулю).
В этом случае суммарный импульс
1
m
и
, движущихся со скоростями
2
V
1
Рис. 1.17
1
1
2
тел — величина постоянная.
18
Энергия никуда не исчезает и не возникает из ниоткуда, оставаясь постоянной
величиной при любых взаимодействиях. В этом законе говорится не только о механической энергии, но и обо всех других видах энергии, известных на сегодняшний день.
19
Английский врач обнаружил, что венозная кровь англичан, проживающих в Африке, более светлая, чем у проживающих в холодной (относительно Африки) Англии,
несмотря на то что работа, совершаемая теми и другими, и их питание были одинаковы. Из этого факта он сделал вывод, что первые получают больше энергии, чем вторые.
43
1. Механика
22
12
12
12
2
m1 m1 m2 m
V
V
u
u
«До»
«После»
Запишем суммарный импульс этих тел до удара:
ppmV mV
12 11
и после удара:
pp mmu
12
(поскольку тела движутся как единое целое, то их скорости одинаковы и обозначены одним символом
u
). Cогласно закону сохранения
импульса:
mV mV mmu
11 22
.
Найдем скорость тел после удара:
u
m
1
mm
12
V
1
mm
m
2
V
.
2
При таком ударе возникают неконсервативные силы (силы сопротивления), которые переводят часть механической энергии соударяющихся тел в тепловую энергию.
Абсолютно упругим ударом называется удар, при котором тела взаимодействуют между собой посредством только упругих (консервативных) сил, т. е. после удара они восстанавливают свою форму и двигаются по отдельности.
Рассмотрим абсолютно упругий удар двух тел массами
жущихся со скоростями
бражен частный случай, когда одно тело догоняет другое и после соударения тела движутся в одном направлении).
44
Абсолютно упругий центральный удар
При описании абсолютно
упругого соударения ограничимся рассмотрением лишь централь-
2
2
1
ного удара. Удар называется центральным, если линии действия
сил, возникающих вследствие уда-
Рис. 1.18
ра, проходят через центры масс соударившихся тел.
V
V
и
1
вдоль одной прямой (на рис. 1.18 изо-
2
m
m
и
, дви-
1
1.2. Динамика поступательного движения
2222
uu
12
22
2
≡
22
uV
22
.
uu
12
Vu
11
Vu
22
22
Поскольку при абсолютно упругом ударе действуют только консервативные силы, полная механическая энергия соударяющихся тел
сохраняется. Приняв значение потенциальной энергии соударяющихся тел равным нулю (выбрав для этого за начало отсчета П точку
соударения), запишем закон сохранения полной механической энергии в момент удара:
2
(1.24)
где
mV mV mu mu
11222211222
,
и
— скорости первого и второго тел после соударения соот-
ветственно.
Считая, что тела образуют замкнутую систему, запишем также закон сохранения импульса:
mV mV mu mu
.
11 22 11
(1.25)
Перепишем (1.24) и (1.25), собирая слагаемые с одинаковыми массами в одних и тех же частях этих равенств. При этом учтем, что ква-
2
драт вектора равен квадрату его модуля (
), и проведем в (1.23)
сокращение на 1/2.
mV umuV
1121
mV umuV
11 12
2
2222
2
(1.26)
,
.
(1.27)
Расписывая разность квадратов скоростей, фигурирующую в (1.26),
как скалярное произведение их разности на их сумму, перепишем
(1.27) к виду
mV uV umuV
11 111222
Из определения центрального удара следует, что вектора
и
параллельны, следовательно их по парные суммы
и
mV mu
11 11
тоже параллельны. Кроме того, согласно (1.27) разности
mu mV
и
22
равны. В то же время, если два вектора
параллельны, то из равенства их скалярных произведений на третий
(1.28)
,
,
1
2
45
1. Механика
bab
Vu
12
0
uV
22
uV
21
вектор следует, что они равны (т. е.
еcли и , то ab ac
// с = =
). Поэ-
тому, сопоставив (1.26) и (1.28), можно заключить, что
Vu
.
11
(1.29)
Решая систему векторных уравнений (1.25) и (1.27), найдем:
2
mV mmV
u
22 121
1
mm
12
(1.30)
и
2
mV mmV
u
11 212
2
mm
12
.
(1.31)
Рассмотрим частные случаи.
1. Абсолютно упругое соударение легкого и массивного тел (на-
пример, молекулы со стенкой сосуда).
В этом случае одна из масс, фигурирующих в (1.28) (будем счи-
тать, что это m
) много больше другой, т. е. m1 >> m2. Тогда, пренебрегая
1
в (1.28) всеми слагаемыми, пропорциональными отношению m1 / m2
(<<1), перепишем эти равенства:
Из полученных соотношений следует, что в результате абсолютно
упругого соударения легкого и массивного тел вектор скорости массивного тела не изменяется.
Если массивное тело до удара покоилось (
т. е. вектор скорости легкого тела в результате его абсолютно упругого
соударения с покоящимся массивным телом изменяет свое направление на противоположное, оставаясь неизменным по модулю.
2. Абсолютно упругое соударение тел одинаковой массы.
При m
тате абсолютно упругого соударения обмениваются скоростями.
46
uVV
212
uV
11
= m2 из (1.28) следует, что
1
uV
11
2
;,
,
.
0
uV
= =, a
12
=
1
), то
, т. е. тела в резуль-
1.3. Вращательное движение
1
>>
>>
>>
VVV
1
>>
1.3. Вращательное движение
Под вращательным движением тела понимается такое его движение, при котором каждая точка тела движется по окружности (или дуге
окружности), причем центры этих окружностей лежат на одной прямой (если тело вращается относительно оси, проходящей через тело,
то оно может быть мысленно разделено на части, каждая из которых
будет двигаться по окружности своего радиуса).
Как и в случае поступательного движения, описание движения
по окружности может быть разбито на два этапа:
— описание вращения как такового, без выяснения причин его
возникновения и ответа на вопрос: почему это вращение таково? Этот
раздел теории вращательного движения называется «Кинематика вращательного движения»;
— описание причин возникновения, прекращения вращения и ответ на вопрос: почему это вращение таково? Этот раздел называется
«Динамика вращательного движения».
1.3.1. Кинематика вращательного движения
Проведем эксперимент. Закрепив один из концов линейки, повернем ее на некоторый угол ϕ. Несмотря на то, что угол поворота ϕ для
всех точек линейки одинаков, последние переместятся на разные расстояния (рис. 1.19). При этом, чем дальше расположена точка от оси
вращения, тем больше ее перемещение и значение пройденного пути:
RRR
32
, тогда
SSS
321
SSS
и
321
.
Отметим еще один вывод, следующий из этого эксперимента. Точки 1, 2 и 3 переместились на разное расстояние за одно и то же время.
Следовательно,
32
.
Таким образом, введенные ранее линейные характеристики движения (такие как перемещение, путь, скорость и ускорение) не являются удобными для описания вращения тела. Их значения для разных
47
1. Механика
dϕ
dd
ω
,.
ε
S
1
S
2
S
3
R
3
R
2
R
1
3
2
1
ω
ϕd
R
ϕd
точек одного и того же тела отличны друг от друга, поэтому линейные характеристики движения,
оставаясь правильными, верными, не характеризуют вращение тела как целого20.
Для удобства описания вращательного дви-
жения вводятся угловые переменные (рис. 1.20):
— бесконечно малое21 угловое перемещение
(
Рис. 1.19
) — вектор, численно равный (т. е. по мо-
дулю) бесконечно малому углу поворота тела
(
) и направленный вдоль оси вращения
так, что если смотреть с его конца — вращение
должно происходить против часовой стрелки;
— угловой путь (ϕ), или, другими словами,
угол поворота (из предыдущего определения следует, что модуль вектора углового перемещения
совпадает со значением углового пути);
Рис. 1.20
— угловая скорость (
) — векторная физиче-
ская величина, характеризующая быстроту вра-
щения тела, равная первой производной от вектора углового перемещения по времени:
Направления вектора угловой скорости и вектора углового пере-
мещения совпадают;
— угловое ускорение (
теризующая быстроту изменения угловой скорости, численно равная
первой производной от вектора угловой скорости по времени:
20
Попробуйте ответить на вопрос: чему равны перемещение, скорость и ускоре-
ние линейки в случае ее вращения?
21
Введение вектора конечного перемещения невозможно, т. к. такой вектор не бу-
дет удовлетворять правилу сложения векторов. Проведите эксперимент, положив спичечный коробок этикеткой вверх, поверните его справа налево на 90°, а затем от себя
на те же 90° и заметьте его конечное положение. После этого, вернув коробок в исходное
положение, поверните его сначала от себя на 90°, а затем справа налево на 90° и сравните положение коробка с полученным в первой последовательности поворотов. Первое и второе положения не совпадают, следовательно, повороты относительно разных
осей не переставляются друг с другом, т. е. их сумма зависит от порядка суммирования.
48
d
dt
d
(1.32)
dt
) — векторная физическая величина, харак-
1.3. Вращательное движение
;,
dt
22
,.
ϕ
21
ω
ω
t
t
ω
21
t
ε
21
т. к.
d
d
, то
d
dt
dt
d
(1.33)
dt
d
dt
Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения и совпадает по направлению с вектором угловой скорости, если ω возрастает
во времени и направлен в противоположную сторону в противном случае.
Аналогично случаю прямолинейного движения (см. гл. 1.1.2 и формулу (1.10)) найдем соотношения обратные равенствам (1.32) и (1.33):
t
2
dt
12
(1.34)
t
1
и
t
21
2
dt
t
1
,
где
— вектор углового перемещения за время
12
векторы угловой скорости в моменты времени
По аналогии с поступательным движением строится классификация вращательного движения:
— равномерное вращение — вращение с неизменной угловой скоростью, т. е.
В этом случае
зультате чего
— равнопеременное вращение — вращение с неизменным угловым ускорением, т. е.
Вынося
const
tt t
и
1
2
.
;
и
2
—
1
соответственно.
можно вынести за знак интеграла (см. (1.34)), в ре-
12
cons
ttt ;
.
(1.35)
в (1.34) за знак интеграла после интегрирования, получим
21
ttt .
49
1. Механика
=
2
const
t
const 0
2
const0
2
;;
0
0
dt →
0
dR
t
Принимая
мени за
00 1
0
и обозначив угловую скорость в этот момент вре-
1
, окончательно имеем:
Подставив (1.36) в (1.34), найдем
t.
(1.36)
0
t
t
.
0
(1.37)
В проекции на ось вращения (если такая ось одна) уравнения (1.35),
(1.36) и (1.37) имеют вид:
— равномерное движение
— равноускоренное вращение (
t,
0
— равнозамедленное движение (
t,
0
,
0
0
;
):
2
t
t
;
):
2
t
t
.
Из сравнения (1.34) и (1.37) с (1.10) и (1.12) следует, что уравнения
кинематики вращательного движения совпадают с точностью до замен
VSa
с уравнениями кинематики поступательного
движения. При этом, если векторы углового ускорения и угловой ско-
рости сонаправлены (
ным (
), если же направлены в противоположные стороны (
то — равнозамедленным (
), то вращение называется равноускорен-
).
),
Из геометрии известно, что длина дуги окружности радиуса R, опирающейся на центральный угол ϕ, равна произведению величины
центрального угла, выраженной в радианах, на радиус этой окружности (рис. 1.21). Выбрав время, а следовательно, и угол поворота такими, что радиус кривизны траектории, вдоль которой движется точка,
не успел бы измениться (т. е.
50
Связь угловых и линейных характеристик
0
d
dS
и
.
), получим, что
(1.38)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]