Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
из рис. 1.2, вектор перемеще-
rr
12
А
В
А
В
О
′
О
′
О
О
1
2
О
Траектория
S
r
r
ния равен изменению6 радиусвектора, задающего положение
тела в пространстве:
1.1. Кинематика поступательного движения
Sr
21
7
.
1
2
Механическое движение тела
в самом общем случае можно
представить в виде суммы двух видов движения — поступательного
Рис. 1.2
и вращательного.
Поступательное движение — это такое движение, при котором пря-
мая, проведенная через любые две точки тела, остается параллельной
самой себе (рис. 1.3, а).
Вращательное движение — движение, при котором каждая точка
тела движется по окружности. Причем центры этих окружностей лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения (рис. 1.3, б).
а б
Рис. 1.3
Любое движение абсолютно твердого тела (а. т. т.) можно свести
к сумме двух движений — поступательного и вращательного. При поступательном движении а. т. т. все его точки движутся по одинаковым
6
Чтобы найти изменение физической величины нужно из конечного ее значе-
ния вычесть начальное.
7
Греческой буквой обозначается изменение той величины, символ которой
стоит за ней.
11
1. Механика
40
Sr
20
∆
∆
траекториям, поэтому можно заменить такое движение а. т. т. на движение одной материальной точки — его центра масс. Следовательно,
поступательное движение а. т. т. не требует отдельного рассмотрения
наряду с изучением движения материальной точки.
1.1.2. Кинематика поступательного движения
Данный раздел подробно изучался в школьном курсе физики. В настоящем курсе на примере кинематики вводятся интегрально-дифференциальные исчисления, лежащие в основе изложения всех последующих разделов курса общей физики.
Основным понятием интегрально-дифференциальных исчислений
является бесконечно малая величина.
Бесконечно малой величиной в физике называется столь малое изменение какой-либо физической величины, что другие физические величины можно считать неизменными.
Например, автомобиль за три часа переместился на шестьдесят
километров. При этом за первый час он прошел путь, равный 40 км,
двигаясь с постоянной скоростью; в течение второго часа автомобиль
покоился (водитель отдыхал); за третий час автомобиль преодолел расстояние 20 км, причем его скорость также оставалась постоянной.
Очевидно, что в течение первого (второго и третьего) часа величина интервала времени — столь малого, что скорость автомобиля не успевает измениться, — ∆t ≤ 1 ч. По этой же причине малым перемещени-
ем будет являться
Sr
км для первого часа (
0
для
второго и
Sr
км для третьего). Однако по мере истечения
первого (второго и третьего) часа значения интервала времени и перемещения, которые можно принять за малые (столь малые, что скорость не успевает измениться), будут стремиться к нулю. Исходя из вышесказанного, чтобы величины интервала времени (∆t) и перемещения
S
), в течение которых скорость автомобиля не изменялась бы, не за-
(
S
висели от момента начала их измерения, ∆t и
следует выбрать стре-
мящимися к нулю, т. е. бесконечно малыми.
12
1.1. Кинематика поступательного движения
dS
dt
Бесконечно малое (элементарное) изменение какой-либо величины
принято обозначать совокупностью двух символов: символа d, размещенного перед символом той величины, бесконечно малое изменение
которой имеется в виду. Так, dt — элементарный (бесконечно малый)
интервал времени,
dS
— вектор элементарного (бесконечно малого)
перемещения (или, что то же самое, бесконечно малого изменения
вектора перемещения). Особо следует отметить, что вектор элемен-
тарного перемещения (
) направлен по касательной к траектории.
Отношение бесконечно малых изменений двух величин 8 называ-
dS
ется первой производной. Так, отношение
является первой произ-
dt
водной вектора перемещения по времени.
Проиллюстрируем введенные выше понятия на примере скорости
и ускорения.
На практике под скоростью тела мы понимаем отношение пройденного пути ко времени, за который этот путь был пройден. Однако такое определение скорости неполностью описывает процесс движения. В рассмотренном выше примере найденное таким способом
значение скорости существенно отличается от ее значений в каждый
момент времени. Действительно, отношение всего пройденного автомобилем пути ко времени движения —
St 60 км 3 ч20 км ч
В то время как в первый час движения скорость автомобиля равнялась
40 км/ч, во второй — 0 км/ч, в третий — 20 км/ч.
Для того чтобы найти истинное значение скорости автомобиля,
следует разбить весь интервал времени его движения на бесконечно
малые отрезки (за которые значение скорости не успевало бы измениться). После чего определить скорость автомобиля как отношение
бесконечно малого перемещения к бесконечно малому интервалу времени (за который это перемещение было совершено):
.
dS
V
= .
В соответствии с вышесказанным в физике существуют два понятия скорости — средняя и мгновенная.
Средняя скорость — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения тела в пространстве, численно равная
8
В нашем случае физических величин.
13
1. Механика
t
V
dt
dS
21
21
21
отношению вектора перемещения к интервалу времени, за который
это перемещение было совершено:
S
V
9
. (1.1)
Мгновенная скорость — векторная физическая величина, характе-
ризующая быстроту перемещения тела в пространстве, численно рав-
10
ная первой
производной вектора перемещения по времени:
dS
= .
(1.2)
При этом вектор мгновенной скорости направлен по касательной
к траектории (так же как и
).
Рассмотрим теперь пример ускорения. Ускорение характеризует
быстроту изменения скорости (т. е. ускорение — это скорость изменения скорости).
Среднее ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, численно равная отношению из-
менения вектора скорости (
VV V
) к интервалу времени (
tt t
),
за который это изменение произошло:
tt
21
.
a
V
t
VV
Мгновенное ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, численно равная первой
производной вектора скорости по времени:
dV
a
= .
dt
Однако скорость (мгновенная скорость) в свою очередь есть первая
производная вектора перемещения по времени. Тогда
14
dS
dV
dt
d
dt
dt
a
9
Здесь и далее угловыми скобками
10
В качестве примера второй производной см. ускорение (формула (1.3)).
2
dSdtdS
...
обозначается средняя величина.
2
.
2
(1.3)
2
dt
1.1. Кинематика поступательного движения
dV
VV
12
1
2
VV
12
V
V
VV
21
dt
dt
aa
a
a
τ
V
a
22
1
1
Vd
2
V
Таким образом, ускорение — вторая
V
производная от вектора перемещения
по времени (символ второй произво-
дной по времени
2
d
читается как d два
2
dt
V
Vd
τ
по dt дважды).
Скорость как векторная величина может изменяться и по величине
(т. е. по модулю), и по направлению
Рис. 1.4
(см. рис. 1.4):
dV dV dV
где
dV
— изменение вектора скорости по длине (модулю),
τ
,
n
(1.4)
dV
— из-
n
менение вектора скорости по направлению. Поскольку полное изменение вектора скорости (
и
ничтожен. Следовательно,
В свою очередь
dV
тически параллельны, поэтому разность длин вектора
V
вектора
на
1
можно считать разностью их модулей:
2
) бесконечно мало, то угол между векторами
параллелен
τ
dV
перпендикулярен как
n
и
. Сами же вектора
V
V
,
1
V
и проекции
2
, так и
прак-
2
V
.
dV
(
).
В соответствии с (1.4) и (1.3):
dV
dVdtdV
n
,
n
— нормальное уско-
n
a
где
— тангенциальное ускорение, характеризующее быстроту измене-
τ
ния вектора скорости по величине (модулю), а
рение, характеризующее изменение вектора скорости по направлению.
Свойства нормального и тангенциального ускорений:
a
перпендикулярно
1)
n
параллельно
2)
τ
aaa
3)
n
.
a
,
и траектории;
V
и касательно к траектории;
В соответствии со значением нормального ускорения механическое движение подразделяется на:
1) прямолинейное движение — движение с неизменным по на-
правлению вектором скорости, т. е. с
a
= 0;
n
15
1. Механика
≠
12
VV
12
dV VV
21
D
А
В
C
1
r
dϕ
dϕ
rd
2
r
1
1
2
vd
dϕ
VV
12
n.
Vr
2
⊥⊥
2) криволинейное движение — движение с изменяющимся по на-
a
правлению вектором скорости. В этом случае
0
(например, дви-
n
жение по параболе тела, брошенного под углом к горизонту).
Связь скорости движения тела
и нормального ускорения
Рассмотрим криволинейное движение. Траектория этого движения — кривая линия. Выберем промежуток времени (dt) столь малым,
что изменением кривизны траектории можно пренебречь. Тогда рассматриваемый отрезок траектории будет являться дугой окружности
радиуса
Rrr
(см. рис. 1.5). Будем также считать, что за этот
промежуток времени скорость не успела измениться по величине
=
(
), изменившись лишь по направлению (
V
).
V
Понятно, что в общем случае такой промежуток времени должен
быть бесконечно малым. Угол поворота (
бесконечно малым, поэтому длина хорды АВ, равная
радиус-вектора), будет совпадать с длиной дуги АВ (рис. 1.5). Найдем
длину вектора
∆СВD имеем11:
11
Углы dϕ и ∆CBD равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами,
Vr
т. к.
16
, a
1
1
2
V
Рис. 1.5
) за это время также будет
dV
. Из равнобедренного треугольника (т. к.
d
dV V
22si
.
(1.5)
dr
(изменению
= =
V
)
1.1. Кинематика поступательного движения
φ
= =
12
dr
R
dt
Учитывая тот факт, что синус малого угла равен значению угла, вы-
раженному в радианах, из (1.5) получим
dV Vd
.
(1.6)
Из геометрии известно, что длина дуги (в нашем случае ∪АВ), опи-
d
рающейся на некоторый центральный угол (в нашем случае
), равна
произведению величины этого угла, выраженной в радианах, на радиус
окружности (
на хорды
Подставляя выражение для
Rr r
). В то же время, как уже отмечалось ранее, дли-
и длина отсекаемой ею дуги (∪АВ) равны (рис. 1.5). Тогда
dr Rd
d
.
(1.7)
dr
, найденное из (1.7), в (1.6),
R
получим
dr
= .
(1.8)
с учетом (1.2) и (1.1), окончатель-
Выполняя деление (1.8) на
dV V
но получим
dVdtV
a
= = = =2.
n
RdrdtVRdrdtVR
(1.9)
ке, является операция интегрирования. Суть данной операции заключается в том, что она обратна процедуре дифференцирования, рассмотренной выше
на примере вычисления пройденного пути.
ного пути (или вектора перемещения) нужно значение скорости умножить на время движения. Однако как поступить, если в течение этого
времени скорость изменялась? Для вычисления вектора перемещения в этом случае воспользуемся понятием бесконечно малой величины.
возведению в степень — извлечение корня.
Другой математической операцией, широко используемой в физи-
12
. Проиллюстрируем операцию интегрирования
Исходя из практики, нам известно, что для нахождения пройден-
12
Обратной операцией сложению является вычитание, умножению — деление,
17
1. Механика
2
Vt()
td
+
ttdt
dt →
1
t
2
t
V
dt
t
dS
dt
Разобьем весь интервал времени (от начального значения
t
нечного —
) на бесконечно малые промежутки dt (рис. 1.6), в тече-
t
до ко-
1
ние которых скорость оставалась бы постоянной. Тогда перемещение
тела за эти промежутки времени можно найти обычным (привычным)
способом: умножив скорость на интервал времени:
где
этом
dS Vtdt
= () ,
— вектор скорости в течении времени dt (от t до
, т. к.
0
).
( )
t
(1.9)
t
, при
Рис. 1.6
t
Чтобы найти путь, пройденный за время от
все перемещения
за каждый интервал времени dt. Понятно, что
эта сумма будет суммой бесконечного числа (
нечно малых величин. Процедура такого суммирования
t
2
интегрированием и обозначается символом
∫
t
1
до
1
tt
21
, где
t
, следует сложить
2
dt
0
1 3
называется
t
t
и
называются
1
2
нижним и верхним пределом интеграла соответственно, а сам символ —
интегралом (определенным интегралом; определенным в том смысле,
13
Бесконечного числа бесконечно малых величин.
18
) беско-
1.1. Кинематика поступательного движения
2
Vt()
t
2
t
1
SS
=
tV
|,
t
t
2
Vt
aa
SS
V
( ) ( )
S
1
t
t∆
2
t
t
что пределы интегрирования определены). Таким образом, путь, прой-
t
денный телом за время от
t
до
1
, может быть найден как
t
2
SVtdt
12
t
1
.
(1.10)
Из рис. 1.6 видно, что геометрический смысл интеграла — это площадь, ограниченная графиком подынтегральной функции (в нашем
случае
ми верхнего (
), осью аргумента функции (в нашем случае t) и ордината-
) и нижнего (
) пределов интеграла.
Классификация прямолинейных движений.
1. Равномерное прямолинейное движение — движение с постоянной
V
как по направлению, так и по величине скоростью (
= const
).
В случае прямолинейного движения модуль вектора перемещения
и пройденный путь совпадают
=
, поэтому, найдя перемещение
за время от t1 до t2, найдем и пройденный путь. Согласно (1.10)
и т. к. движение равномерное (
const
, а постоянная величина может
быть вынесена за знак интеграла), получим
t
2
SVdt Vt Vt
t
1
t
2
t
1
21
t
где t′ — время, изменяющееся от
1
до
, является переменной инте-
грирования.
В свою очередь пройденный путь
SS
(сравните это выражение
tVtV=
с площадью, заштрихованной на рис. 1.7).
2. Прямолинейное равнопеременное дви-
жение — движение с неизменным по направлению вектором скорости и постоянным ускорением.
В этом случае
a = const
и не равно нулю.
Кроме того, т. к. движение прямолинейное, скорость изменяется только по ве-
Рис. 1.7
личине, поэтому ускорение совпадает с тангенциальным ускорением
(
), а
=
.
19
1. Механика
a = const
00
t
VV
00
td
t
t
t
S
( ) ( ) ( )
VtVtVtVV −=−=∆
a
( )
ta
V
t
t
t
S
t
t
t
V(t)
V(t)
td
00
Найдем сначала зависимость скорости от времени. За бесконечно
малый промежуток времени (dt) скорость изменится на величину (1.3):
dV adt
= .
Проинтегрируем это выражение от t0 до t (см. рис. 1.8, а), т. к.
его можно вынести за знак интеграла. Тогда, обозначив переменную интегрирования за t′, имеем:
t
dV VVtVtVtV adtadt
t
0
t
t
0
00
t
t
00
t
|
at t
t
.
0
Откуда
— начальный момент времени, а
где
0
,
(1.11)
t
— значение скоро-
Vt Vatt
сти в этот момент времени, т. е. начальная скорость. Теперь, подставляя (1.11) в (1.10) получаем
t
SVat
10 0
t
0
а б в
00
0
t
.
0
0
Рис. 1.8
Расписывая интеграл суммы на сумму интегралов и вынося посто-
янные множители за знак интеграла, получим
t
SVdt at
t
20
t
t
00
t
.
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]