Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
1.2. Динамика поступательного движения
dt
00
t
xx
2
tt
0
||
2
2
Выполняя во втором слагаемом замену переменных t″ = t′ − t0
tt
0
,
0
а затем, интегри-
(
dt dt dt t
, т. к. cons
t
SVdt atdt
),
0
t
0
2
0
2
0
), окончательно имеем
руя (напомним, что
xd
1
2
SVtt
SVtat
00
0
t
t
0
1
2
at t
или для пройденного пути (рис. 1.8, б, в):
SVtt
00
где знак «+» соответствует равноускоренному движению (
правлены), a знак «–» — равнозамедленному движению (
at t
2
0
,
(1.12)
и
сона-
и
противоположно направлены, а за положительное направление выбрано направление вектора скорости).
1.2. Динамика поступательного движения
Этот раздел механики изучает причины возникновения, прекра-
щения и изменения механического движения.
Моделью этого раздела остается материальная точка (т. к. движе-
ние поступательно).
1.2.1. Основные понятия динамики
В основе динамики лежит опытный факт, заключающийся в том,
что всякое воздействие на тело со стороны других тел вызывает изменение его скорости, т. е. сообщает данному телу ускорение. При этом
согласно опыту одинаковое воздействие на разные тела ведет к неодинаковому изменению их скорости. Другими словами, разные тела
имеют разную способность противиться изменению своего движения
21
1. Механика
VV
12
uu
12
22
(т. е. изменению вектора скорости). Это свойство тел получило специальное название — инертность. Инертность (тела) — способность
тела сохранять свое состояние движения (или покоя). Численной характеристикой инертности является масса. Масса (тела) — скалярная
физическая величина, являющаяся мерой инертности тела. Масса тела
обычно обозначается латинской буквой m и в международной системе единиц (СИ) измеряется в килограммах ([m] = кг).
Наблюдения за взаимодействием тел также показывают, что при условии взаимодействия тел только друг с другом произведения их масс
на изменение их скорости — одинаково и противоположно по знаку.
Если между двумя тележками разных масс зажать сжатую пружину,
то после распрямления пружины тележки придут в движение со скоростями, направленными в противоположные стороны. При этом
скорость тележки большей массы будет меньше, чем скорость тележки меньшей массы. Поскольку в начальный момент времени тележки покоились, результат этого эксперимента можно сформулировать
следующим образом — изменение скорости более тяжелой тележки
меньше, чем более легкой. Результаты измерений, проведенных в этом
эксперименте, свидетельствуют о том, что произведение массы тележек на соответствующее им изменение скорости — одинаково. Прону-
меровав тела и обозначив их скорости до взаимодействия как
а после взаимодействия —
и
, запишем этот опытный факт в виде
и
,
Данное равенство после раскрытия скобок можно переписать к виду
согласно которому одно и тоже действие на разные тела ведет к одинаковому изменению некой физической величины, численно равной
произведению массы на вектор скорости. Данная физическая величина получила название импульс тела (или в старой терминологии коли-
чество движения14).
14
Первоначально импульс тела был введен как мера количества движения.
В дальнейшем было установлено, что истинной мерой количества движения является кинетическая энергия.
22
mV umuV
11 12
mV mu mu mV
11 11 22 22
.
,
1.2. Динамика поступательного движения
pm
мс
∆
F
Импульс тела — векторная физическая величина, численно равная
V=
произведению массы тела на вектор его скорости
p
импульса —
кг
.
. Размерность
Таким образом, результат действия на тело других тел можно числен-
но характеризовать изменением импульса данного тела. Однако изменение импульса тела зависит не только от величины действия, но и от его
длительности (т. е. от величины интервала времени, в течение которого
тело испытывает это действие). В качестве обоснования этого утверждения можно привести следующий опыт. На столе, накрытом скатертью, расставлена посуда. Если медленно и с небольшим усилием потянуть за скатерть и стянуть ее со стола, то посуда придет в движение
и будет стянута со стола вместе со скатертью. Если же сдернуть скатерть со стола рывком (т. е. с большим усилием, но за короткое время),
то посуда не успеет изменить свою скорость (т. е. прийти в движение)
и останется на столе. Из этого опыта следует, что величина изменения
импульса тела (в результате некоторого действия) определяется как величиной действия, так и длительностью этого действия.
В соответствии с выше сказанным численная характеристика дей-
ствия тем больше, чем большее изменение импульса она вызывает и чем
меньше интервал времени, в течение которого это действие оказывается.
Другими словами, изменение импульса, произошедшее за короткий
интервал времени, вызвано большим по величине действием, чем такое же изменение импульса, но за более длительное время.
Из приведенных опытных фактов и их анализа следует, что чис-
ленная характеристика действия прямо пропорциональна изменению
импульса тела и обратно пропорциональна интервалу времени этого
действия. Данная физическая величина может быть записана как от-
p
ношение
. Это отношение получило название сила и обычно обо-
t
∆
значается символом
. Однако величина действия может со временем
изменяться, поэтому данное отношение характеризует величину действия лишь в среднем (т. е. совпадает со средней силой).
Для определения мгновенной силы воспользуемся бесконечно малым
интервалом времени (в течение которого действие не успевает измениться по величине). Тогда мгновенная сила — векторная физическая величина, характеризующая действие одного тела на другое, численно равная скорости изменения импульса тела (испытывающего это действие):
23
1. Механика
3
1
2
2
dp
F
= .
(1.13)
dt
Вектор силы изображается отрезком, начинающимся в точке при-
ложения силы и направленным в сторону действия силы (рис. 1.9).
F
F
F
Рис. 1.9
Сила измеряется в Ньютонах (
F Hкгмс
).
1.2.2. Законы динамики (законы Ньютона)
В основе динамики лежат три закона Ньютона, которые являются
опытными законами.
Первый закон Ньютона
Существуют такие системы отсчета, относительно которых тело
движется прямолинейно и равномерно, если на него не действуют силы
или действие всех сил компенсировано.
Данная формулировка первого закона Ньютона определяет осо-
бый класс систем отсчета, называемых инерциальными системами от-
счета, и способ обнаружения таких систем.
Инерциальная система отсчета — система отсчета, движущаяся рав-
номерно и прямолинейно.
Все последующие формулировки законов Ньютона справедливы
только относительно инерциальных систем отсчета. Так, первый закон Ньютона может быть также сформулирован следующим образом:
всякое тело покоится или движется равномерно и прямолинейно (относительно инерциальной системы отсчета), если на него не действуют
никакие силы или действие всех сил компенсировано.
24
1.2. Динамика поступательного движения
Fa
00
i
всех
15
.
В этой формулировке первый закон Ньютона определяет условия,
при которых тело находится в особом состоянии — состоянии покоя
или равномерного прямолинейного движения.
Второй закон Ньютона
Равнодействующая всех сил (сумма), действующих на тело, равна
быстроте изменения импульса этого тела:
dp
F
,
где
p
— импульс тела, а индекс i нумерует силы, действующие на это
i
i
(1.14)
dt
тело, и пробегает все значения.
В случае, когда масса тела не изменяется (т. е. ее можно вынести
за знак производной согласно определению импульса тела), второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: уско-
рение движения тела равно отношению векторной суммы (или равнодействующей) всех сил, действующих на это тело, к массе этого тела
и направлено вдоль линии равнодействующей этих сил:
нодействующей всех сил и определяет, каким будет движение тела,
если оно взаимодействует не с одним, а с несколькими телами.
правленными, равными по величине и приложенными к телу, на которое каждая из них действует. Другими словами, действие равно и противоположно противодействию.
(т. е. они парные силы). Эти силы будем обозначать символами F (или f)
с двумя индексами, указывающими, какое тело на какое действует
(см. рис. 1.10).
a
F
i
.
(1.15)
m
Второй закон Ньютона обобщает определение силы на случай рав-
Третий закон Ньютона
Тела взаимодействуют между собой с силами противоположно на-
Действие и противодействие возникают и исчезают одновременно
15 Символ «⇒» следует читать как «тогда» или «следует».
25
1. Механика
t
t
t 0
tt
2
1 2
F
21
F
12
Этот закон также является обобщением наблюдений за взаимодействием тел.
Поскольку изменения импульсов взаимо-
Рис. 1.10
действующих тел одинаковы по величине
и противоположны по знаку (см. гл. 1.1.2),
а также одинаково время их взаимодействия друг с другом, то
mu mV
11 11 22 22
mu mV
,
а, следовательно, в соответствии с (1.13) после устремления ∆t к нулю
mu mV dp mu mV d
(
,
11 11
0
F
12
и pp
1
dp
dt
22 22
dp
12
dt
.
F
21
0
) имеем
В заключение этого параграфа отметим, что, хотя задача описания механического движения тел решается на основе уравнений (1.14)
и (1.15), ее практическая реализация сопряжена с большими сложностями. Так, во многих случаях не удается установить все силы, действующие на тело, а для известных сил установить их зависимость
от координат и времени. К тому же задача о движении трех и более
тел не имеет точного решения. В связи с этим вводят дополнительные величины, такие как импульс (p), энергия (W). Оказывается, что
для этих величин выполняются законы сохранения, которые позволяют, не решая уравнения второго закона Ньютона, получить неполную, но важную для практических целей информацию о движении
взаимодействующих тел.
1.2.3. Закон сохранения импульса
Суммарный импульс замкнутой системы есть постоянная величина
(неизменная во времени). В свою очередь, замкнутой системой тел на-
зывается совокупность тел, на которые не действуют внешние силы,
или сумма всех внешних сил, действующих на эти тела, равна нулю.
Закон сохранения импульса является одним из самых фундаментальных законов в физике. Этот закон является следствием однородности
26
1.2. Динамика поступательного движения
dt
F
p
dt
00
0const
пространства, т. е. его трансляционной инвариантности. Трансляционная инвариантность пространства заключается в том, что все его
точки эквивалентны. Последнее является экспериментальным фактом для пространства, которое нас окружает. На самом деле любые
две точки пространства (правда, пустого, ничем не заполненного) абсолютно одинаковы, и невозможно одну из них предпочесть другой.
Представьте себя на абсолютно ровной пустой поверхности, края которой не видны. В какой ее точке Вы предпочтете находиться, и что
изменится, если Вы перейдете из одной ее точки в другую?
В современной теоретической физике именно из факта трансляционной инвариантности пространства и выводится закон сохранения импульса, а законы Ньютона, в частности первый, являются следствиями этого закона.
Докажем закон сохранения импульса из законов Ньютона, которые в данном изложении выбраны за основные.
Сначала рассмотрим замкнутую систему, состоящую из одного тела.
Согласно второму закону Ньютона (1.14):
dp
F
= ,
где
— вектор равнодействующей всех сил, действующих на тело, а
импульс этого тела. Если рассматриваемое тело представляет собой
замкнутую систему, т. е. на него не действуют никакие силы или их векторная сумма равна нулю, то
В свою очередь
Таким образом, для одного тела закон сохранения импульса доказан.
Рассмотрим теперь совокупность трех тел, которые взаимодействуют между собой и испытывают (каждое) некоторое внешнее воздействие.
Обозначим силу взаимодействия тел друг с другом (т. е. внутреннюю силу) символом
тело (первый индекс) на какое (второй индекс) действует, а равнодействующую внешних сил, действующих на тело, — символом
дексом, указывающим, на какое тело эта равнодействующая действует (см. рис. 1.11).
dp dt p
f
с двумя индексами, указывающими, какое
ij
F
dp
.
—
.
F
с ин-
i
27
1. Механика
2
1
3
f
32
f
12
F
f
f
F
3
F
1
f
f
3,
ii
31
21
2
23
13
Рис. 1.11
Тогда, записав для каждого тела второй закон Ньютона (1.14):
dp
fF
,
i
23
fF
i
,
i
13
fF
i
,
i
12
i
11
22
33
1
dt
dp
2
,
dt
p
d
3
dt
и, просуммировав эти равенства, получим
Учитывая тот факт, что производная суммы равна сумме производных
а также расписав сумму внутренних сил (сил действия и противодействия):
28
fffffff
ji
ij
23 13 12 32 21 31
Ff
iji
dp
dtddt
ji
i
dp
i
12312
ii
p
.
dt
,,,
,
i
согласно третьему
законуу Ньютона
ff
ij ji
0,
1.2. Динамика поступательного движения
pF
pp
Fp
i
i
0c
найдем, что
d
dt
i
.
i
i
i
Таким образом, производная по времени от суммарного импульса
тел равна сумме внешних сил, действующих на каждое из этих тел.
Это же утверждение можно сформулировать и по-другому — внутренние силы не могут изменить суммарный импульс системы.
Из последнего равенства следует, что если сумма внешних сил, действующих на каждое из тел, равна нулю, то
d
pF
dt
dt
d
ii
i
00;
ii
,const
ii
т. е. суммарный импульс системы остается постоянным как по направлению, так и по величине (модулю).
Таким образом, закон сохранения импульса доказан для трех тел.
Очевидно, что такое же доказательство можно провести и для случаев
четырех, пяти и т. д. тел, следовательно, доказанный для трех тел закон
сохранения импульса может быть обобщен на произвольное число тел.
В заключение отметим тот факт, что сумма внешних сил, действующих на систему тел, может оказаться равной нулю вдоль лишь одной из координатных осей, а не трех одновременно. Тогда закон сохранения импульса будет выполняться только для суммы проекций
импульсов тел на эту ось (вдоль которой не действуют внешние силы
или их действие компенсировано):
где γ = x или y, или z.
Рассмотренные выше кинематические и динамические характеристики неоднозначно характеризуют тело или совокупность тел относительно движения. Так, суммарный импульс двух или нескольких тел
i
onst,
i
1.2.4. Механическая энергия и работа
29
1. Механика
rV
,.
)c
()
FF
может быть равен нулю. Однако это не означает, что тела покоятся.
Или другой пример, пусть скорость тела и сумма сил, действующих
на него, равны нулю. Может ли это тело начать двигаться?
Для однозначности задания механического состояния вводится
еще одна характеристика — энергия (
координат и вектора скорости тела (
), которая является функцией
и
). При этом энергию можно
представить в виде суммы двух слагаемых, зависящих только от координат тела и вектора скорости:
WrVПrKV
Первое слагаемое называется потенциальной энергией, второе —
кинетической энергией. Для определения этих величин введем понятие работы.
Механическая работа
Известное из школы определение работы как произведение модуля вектора силы на модуль вектора перемещения и косинус угла меж-
ду этими векторами (
AFS
cos
) не всегда приемлемо. Так, если
сила изменялась (по модулю или направлению) в процессе перемещения, использование данной формулы для расчета работы невозможно (непонятно, какое значение модуля силы или угла следует использовать в расчетах). Чтобы избежать этих трудностей, введем понятие
элементарной работы — работы, совершаемой при элементарном (бесконечно малом) перемещении.
Элементарной работой называется скалярное произведение векто-
ра силы на вектор элементарного перемещения:
здесь
16
: α — угол между векторами силы и элементарного перемещения.
dA FdSFdS
Очевидно, что поскольку
dS
— бесконечно малое перемещение,
cos ,
(1.16)
то ни величина силы, ни значение угла α не успевают измениться.
Для вычисления работы, совершаемой при конечном перемещении, траекторию движения тела следует разбить на бесконечное число бесконечно малых участков. Сопоставить с каждым из этих участ-
16
dA FdSFdS
соответствующим ему символом без значка вектора, например:
30
cos(
— здесь и далее модуль вектора обозначается
os
≡
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]